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福建省南安市第一中学2014-2015学年高二数学(理)寒假作业(3)


南安一中 2016 届高二年数学(理)寒假作业(三)综合练习
第Ⅰ卷
有一项是符合题目要求的) 1.下列几种推理过程是演绎推理的是( A.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 B.金导电,银导电,铜导电,铁导电,所以一切金属都导电 C.由圆的性质推测球的性质 D.两条平行直线与第三条直线相交,内错角相等,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的内 错角,则∠A=∠B 2.

f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的图象如图所示,则函数 f ( x ) 的图象最有可能的是图中的( ) )

选择题(共 60 分)2015.2

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只

3.用反证法证明命题 “自然数 a、b 、c 中恰有一个偶数”时,需假设原命题不成立,下列 假设正确的是( ) B.a、b 、c 都是偶数 D.a、b 、c 中至少有两个偶数

A.a、b、c 都是奇数 C.a、b、c 中或都是奇数或至少有两个偶数

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 (n ? N* ) ,当 n ? 2 时, S (2) ? ( ) 4.设 S (n) ? ? n n ?1 n ? 2 n ? 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. B. ? C. ? ? D. ? ? ? 2 2 3 2 3 4 2 3 4 5
5.如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为( A.-2 B.1 C.2 D.1 或 -2 ).

6.在下列命题中:①若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行; ②若 a 、 b 所在的直线是异 面直线,则 a 、 b 一定不共面; ③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面,则 a 、 b 、 c 三向量一定 也共面; ④已知三向量 a 、 b 、 c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为

p ? xa ? yb ? zc .其中正确命题的个数为(
A.3 B.2 C .1



D.0
2

7.一个物体作变速直线运动,速度和时间关系为 v(t ) ? 4 ? t m/ s ,则该物体从 0 秒到 4 秒

运动所经过的路程为(

) B. ?

16 m A. 3
2

16 m 3

C. 16 m

D.— 16 m

8. 如图过拋物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A,B,C,若|BC| =2|BF|,且|AF|=3,则拋物线的方程为( A. y ?
2

)

3 x 2 9 x 2

B

y 2 ? 3x
2

C. y ?
2

D. y ? 9 x ).

k k 9.若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是( x 3 A. D.

18. (本小题满分 12 分)

设数列 ?an ? 满足an?1 ? an2 ? nan ? 1 , a1 =2,n∈N*. (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 并由此猜想出 an 的一个通项公式; (Ⅱ)证明由(Ⅰ)猜想出的结论.
D

19. (本小题满分 12 分) 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部 分后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图, 侧(左)视图是底边长分别为 2 和 4 的直角梯形, 俯视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形. (Ⅰ)求出该几何体的体积; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 BCD; (Ⅲ)求直线 CE 与平面 BDE 的夹角正弦值. 俯视图 20. (本小题满分 12 分) 某地区的一种特色水果上市时间仅能持续 5 个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格 呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格下跌.经市场分析,价格模拟函数为以下 三个函数中的一个:① f ( x) ? p ? q ;② f (x) ?px ? qx ? 1 ;③ f (x) ?x(x ? q ) ?p
x 2 2

E

C A B

侧视图

. (以

5] ) 上三式中 p, q 均为常数,且 q ? 1 ) (注:函数的定义域是 [0, .其中 x ? 0 表示 4 月 1 日,
x ? 1 表示 5 月 1 日,?,依此类推.
(Ⅰ)请判断以上哪个价格模拟函数能准确模拟价格变化走势,为什么? (Ⅱ)若该果品 4 月 1 日投入市场的初始价格定为 6 元,且接下来的一个月价格持续上涨,

并在 5 月 1 日达到了一个最高峰,求出所选函数 f ( x) 的解析式; (Ⅲ)为保护果农的收益,打算在价格下跌期间积极拓宽境外销售,且销售价格为该果品上 市期间最低价格的 2 倍,请你预测该果品在哪几个月内价格下跌及境外销售的价格.

21. (本小题满分 12 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,短轴长为 4,离心率为 ,O 为坐标原点, 2 2 a b

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB ?若存在,求出该圆的方程,若不存在说明理由。
22. (本小题满分 14 分) a 设函数 f ( x) ? ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 . x (Ⅰ)讨论函数 h( x ) ?

f ( x) 的单调性; x

(Ⅱ) 如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] , 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立, 求满足上述条件的最大整数 M ; (Ⅲ)如果对任意的 s , t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

南安一中 2016 届高二年数学(理)寒假作业(三)综合练习

参考答案
一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1-6 DACCAD 7-12 CBDBBD

11.解析:易证 AO ? 平面 BCD ,以 O 为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OA 为 z 轴建立空 间直角坐标系,可求 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量.

?

??? ? 1 3 又 EC ? (? , , 0), 2 2
12.解析:设 F ( x) ?

??? ? ? EC ? n ? 点 E 到平面 ACD 的距离 h ? ? ? 3 ? 21 ,选 B. 7 7 n

f ? ? x ? ? f ( x) f ( x) ? 0 ,? F ? x ? 在 R 上递增, ,? F ?( x) ? x e ex f ? 0? f ? 2? ? f ? 0 ? ? F ? 2 ? ? 2 ,? f ? 2 ? ? e2 f ? 0 ? , 0 e e

且 F ? 0? ?

同理, F ? 0? ? F ? ?2? ,∴ e2 f (?2) ? f (0) , 选 D 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13. -4 14. 2014 15. ? ab 16. ①③④

14.解析: ∵ 2 x ? 5x ? 3x ? sin 2 x 为奇函数,
5 3



?

1007

?1007

(2 x5 ? 5x3 ? 3x ? sin 2 x)dx ? ?

1007

?1007

1dx ? 0 ? 2014 ? 2014

?2 16.①③④.解析:函数 f ( x ) 的图象如图,可得极值点 ?2 , f ? 2? ? e ? 1 , x ? 0 时,

;若 x ? 0,f ? x? ? ?1, x ? ??,f ? x ? ? 0 .由图象可知 f ( x) 有 3 个零点( x ? 0 是零点) 关于 x 的方程 f ( x) ? m 有解,则 ?1 ? m ? 1

三、解答题 17.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 1
2

? kl ? f ?( 1 ) ? 2 又 f (1) ? 2 ???4 分

?l : y ? 2 ? 2( x ? 1) 即: y ? 2 x
(Ⅱ)由 ?

???6 分

? y ? 2x

1 ? x1 ? ? , x2 ? 1 3 ? y ? 3x ? 1
2
1 ? ?

???8 分

? S ? ? 1 [2 x ? (3x 2 ? 1)]dx ? ? x3 ? x 2 ? x |1 1 ?
3 3

32 27

???12 分

2 18.解: (Ⅰ)由 a1=2,得 a2=a1 -a1+1=3,由 a2=3,得 a3=a2 2-2a2+1=4,???? 3


* 由 a3=4,得 a4=a2 3-3a3+1=5.由此猜想 an 的一个通项公式为:an=n+1(n∈N ).? 6

分 (Ⅱ)证明:①当 n=1 时,a1=2,猜想成立.???????????????? 7 分 ②假设当 n=k(k∈N*且 k≥1)时猜想成立,即 ak=k+1, 那么当 n=k+1 时,ak+1=ak(ak-k)+1=(k+1)(k+1-k)+1=k+2,?????? 11 分 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1=(k+1)+1. 猜想成立 根据①和②,对于所有 n∈N*,都有 an=n+1. ????????????? 12 分
D

19.解: (Ⅰ)由题意可知,四棱锥 B-ACDE 中, AE⊥平面 ABC,∴AE⊥AB ,又 AB⊥AC, 且 AE 和 AC 相交,所以,AB⊥平面 ACDE, 又 AC=AB=AE=2,CD=4, 则四棱锥 B-ACDE 的体积为
C A B E

1 1 (4 ? 2) ? 2 V ? S ACDE ? AB ? ? ? 2 ? 4 .??4 分 3 3 2
(Ⅱ)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,

D

z
E

? B(2,0,0), C(0, 2,0), E(0,0, 2), D(0, 2, 4)

? ? ?? ? ? ?? B E? ( ?2 , 0 , 2 D ) ,E?

( ?0 , ? 2 , 2 )
???5 分
C A

y
B

??? ? ??? ? BC ? (?2, 2,0), CD ? (0,0, 4)

?? ? 设平面 BDE 和平面 BCD 的法向量分别为 m ? ( x1, y1, z1 ), n ? ( x2 , y2 , z2 ) ?? ??? ? ?? ??? ? ?? m ? BE ? ?2x1 ? 2z1 ? 0, m ? DE ? ?2 y1 ? 2z1 ? 0 ,取 m ? (1, ?1,1) ?? ??? ? ?? ??? ? ?? m ? BC ? ?2x2 ? 2 y2 ? 0, m ? CD ? 4z2 ? 0 ,取 m ? (1,1,0)
?? ? ?? ? ?m ? n ? 1 ?1 ? 0 ? 0,?m ? n ,∴平面 BDE⊥平面 BCD
???6 分 ???7 分 ???8 分

x

(Ⅲ) CE ? (0, ?2, 2) , cos ? m, CE ??

??? ?

?? ??? ?

2?2 6 ? 3 3? 8
6 3

???11 分

直线 CE 与平面 BDE 的夹角正弦值为

???12 分

20.解: (Ⅰ)应选 f ( x) ? x( x ? q)2 ? p .???? 1 分 因为① f ( x) ? p ? q x 中单调函数;② f ( x) ? px2 ? qx ? 1 的图象不具有先升再降后升特

) ? 0 , 征; ③ f ( x) ? x( x ? q)2 ? p 中, f ?( x) ? 3x2 ? 4qx ? q2 , 令 f ?( x 得 x ? q ,x ?

q , 3

f ?( x ) 有两个零点.出现两个递增区间和一个递减区间,符合价格走势;????? 4
分 (Ⅱ)由 f (0) ? 6 , f ?(1) ? 0 ,得 ? 去)

?6 ? p,
2

?0 ? 3 ?4 q ? q ,

?? 6 分

解得 ?

? p ? 6, (其中 q ? 1 舍 ? q ? 3.

? f ( x) ? x( x ? 3)2 ? 6 ,即 f ( x) ? x3 ? 6x2 ? 9x ? 6 (0 ? x ? 5) ;???? 8 分
(Ⅲ)由 f ?( x) ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,???? 9 分 x 0 6 (0,1) ↑ 1 极大值 10 (1,3) ↓ 3 极小值 6 (3,5) ↑ 5 ???? 11 分 26

f ( x)

, 3) 上单调递减, 所以函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? 6 在区间 (1
3 2

故这种水果在 5 月,6 月份价格下跌.且境外销售的价格为 2 ? 6 ? 12 (元)???? 12 分

21.解: (1)因为椭圆 E:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a,b>0),b=2, e= 2 2 a b

?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? 1 ??? 5 分 所以解得所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 b ? 4 ?
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ??? ? ??? ? ? 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

??? 7 分
2 2

则△= 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ② ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

要使 OA ? OB , 需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即

??? ?

??? ?

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 , 所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以 k ?
2

? m2 ? 2 8 3m 2 ? 8 2 6 2 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 , 所以 m ? , 即 m ? 或 3 8 3 ?3m ? 8

m??

2 6 , 因 为 直 线 y ? k x? m为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 3

r?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

m2 8 8 2 6 2 2 ? ,r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,??? 10 2 3 3m ? 8 3 3 1? 8

分 此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 或m?? , 而当切线的斜率不存在时切线为 3 3

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ?1 的 两 个 交 点 为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 与椭圆 8 4 3 3 3 3 3 ? ? ?? ? ? ?? 8 2 2 O A? O B ,综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有 3 ??? ? ??? ? 两个交点 A,B,且 OA ? OB .??? 12 分

x??

22. 解: (Ⅰ) h( x) ?

a 2a 1 x 2 ? 2a , ? ln x , h?( x) ? ? 3 ? ? 2 x x x x3

. . . . . . .1 分 . . . . . . . .2 分

( x) ? 0 ,函数 h( x)在(0,??) 上单调递增 ① a ? 0,h?

( x)的单调递增区间为( 2a ,??) . ② a ? 0 , h?( x) ? 0, x ? 2a ,函数 h . . . .3 分

h?( x) ? 0, x ? 2a ,函数 h( x)的单调递减区间为(0, 2a )
(Ⅱ)存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 考察 g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 , g '( x ) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) , 分

. . . . . . . . . .4 分

2 3

. . . . . . . . . . . . . . .6

x
g ( x)

0

2 (0, ) 3
递减

2 3
极(最)小值 ? 85
27

2 ( , 2] 3
递增

2

?3

1

. . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

2 85 由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27 112 , [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? 27
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; (Ⅲ)问题等价于当 s , t ? [ , 2] , f (s)min ? g (t )max , 即当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

. . . . . . . . . . . . . . . .9 分 . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

1 2

1 2

a ? x ln x ? 1恒成立, x
. . . . . . . . . . .11 分

2 等价于 a ? x ? x ln x 恒成立,

记 h( x) ? x ? x2 ln x ,所以 a ? hmax ( x)

h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,

h ' ( 1? ) 。 0

记 h?( x) ? (1 ? x) ? 2 x ln x ,当 x ? [ ,1) , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0
2 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,

1 2

1 2

当 x ? (1, 2] ,1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 ,即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 (1, 2] 上递
2

减,

x ? 1, h( x) 取到极大值也是最大值 h(1) ? 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分

所以 a ? 1 。 另解:设 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2ln x ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .14 分

∵ x ? [ , 2] , m '( x) ? ?3 ? 2ln x ? 0 ,∴ m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递 减, 且 h?(1) ? 0 ,∴当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 , 即函数 h( x) ? x ? x2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减, . . . . . . . . . .13 分 所以 h( x)max ? h(1) ? 1,所以 a ? 1 。 . . . . . . . . . . . . . . . .14 分

1 2

1 2

1 2

1 2


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