tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 理学 >>

探求圆锥曲线离心率的取值范围的思维途径


高 

学教与学  2 0 1 0 . 5  

M ATt I S TEAcH I  G A  D 1. EAR  姐  { G I N S ENI OR Hl GH SCHOOL 

探 求 圆锥 曲线  离 心  率 的取 值 范 围 的  思 维 途 径 
武增 明  
求圆锥 曲线离 心率 的取 值 范 围的 问题 , 是 高考  轴上 的双 曲线 的右 焦点 , 与双 曲线 的两个 交 点分 

热点 , 这类 问题涉 及 多个 知识 点 , 综合 性 强 , 解法 灵 
活且 多种 多样 , 许 多学 生在 解决 这类 问题 时 感到 不  知从何人 手. 其实解 决 这类 问题 的关 键是 如 何挖 掘  寻找 问题 中的不等关 系?如何求 解 圆锥 曲线 离心 率  的取值范 围?其思 维途径何在 ?本 文试 图通 过实例 
对此问题做一些探 索.  


别在 左 、 右两 支上 , 则 双 曲线 离 心率 的取 值 范 围是 
(   ) .  

A . e > 拉 
C   1 < e <  

B . 1 < e <  
D . e > 矗 

解 析: 设 双曲 线方程为  一 告= 1   a > 0 , b >  
0 ) , 右焦点 为 F ( c , 0 ) , 直线 l 的方程 为 Y=2 (  一c ) .  
r ) , =2 (  一 c ) ,  



走 函数值域之路 

例1 ( 2 0 0 8年 高考全 国卷 Ⅱ ?理 9 ) 设 a>1 ,   则双 曲线 

一  

1的离心 率 e 的取值 范 围 

由 i 手 一 吾 = -  
得( b  一 4 a   )   +8 a   c  一0   ( 4 e 2 +b   )= 0 .  

是(  

) .  

A . ( √ 2 , 2 )   c . ( 2 , 5 )

B . ( √ 2 , √ 5 )   D . ( 2 , √ 5 )  

根 据 题 意 得 {  。 ,  


解 析 :   : 一 C a   :  

a  

:   、 /   2 +  + a     1 ,  
n 

1 6 a   c   +( b   一 4 a   ) ( 4 c   +b   )> 0 ,  

这 就是 以 e 为 函数值 , a为 自变 量 的函数 , 要 求 e的  取值 范围 , 就转化 为求此 函数 的值 域.  
一  

即 i _  
则b   一 4 a  > o, c   一5 a  > o, e >   ,   故答案选 D.  

● 

t = 一   l   |  
- ●  ’ ● 

【 点评】 将直线与双曲线方程联立后, 判别式大 
于零 , 同时注意 X 1   <0 . 此题 有一 种很 简捷的解 法 ,  

●  ’ ● _ ● 

/  

即数 形 结 合 法 , 依 题 意 得  > 2 , 由此 得 e >  
I  



l  D  l  

三、 走均值不等式 之路 
1  

图1  

例3 已 知 椭圆  + 告; l ( o > 6 > 0 ) 的 两 个 焦  
点为 F 。 、  , 椭 圆上 恒 存 在 一 点 P, 使  F 。   1 2 0 。 , 求椭 圆离心率 e的取值 范围.  
y  

下面用 换元法来求此 函数的值域 , 设  :f ( 0<  
“ 

=  

t <1 ) , 贝 U   e 。 = t 。 +2 t +2 ( 0<t <1 ) , 女 口 图 1 , 所 以 2<  

e   <5 , 于是  <e <  , 故答案选 B .  

【 点评】 通过对题 目已知条件的分析, 利用圆锥 
曲线 的性质 建 立 离心 率 e关 于有 关 变 量 的函数 关 
系, 通过 求函数值域 求得 e 的 取 值 范 围.  

\ 0 



乡  

二、 走判 别式之路 

例 2 斜 率为 2的直线 过 中心在 原点且 焦点 在 
?

5 4?  

高中数学教与学 
M ATH S TEA CH I N G AND LEARNI NG" I N SENIOR H I GH SCH OOL  , 。 ”  

解析 : 设I P F 。 I =m, l P  l =n ,   如 图 2,  

因 为 m +n> 2 c ,   所 以  +   >2 c ,  

则在 △  

中, 由余弦 定理得 
化 简得 e   一2 e 一1 <0 ,  
又 e> 1 。  

4 c   =, n  +n , 2—2 m凡 c o s 1 2 0  ̄  


( m +n ) 。 一 2 mn+m n  



( m +n )  一, n n ,  

所 以 1<e <   +1 ,  

由椭 圆的第 一定义知 , m+n=2 a ,  

于是 双 曲线 离心率 的取 值范 围是  e ∈( 1 , √ 2+1 ) .  

于 是 4 n   : m n ≤ (   ) ‘ = 。 2 ,  
所以3 a   ≤4 c   , e ≥   ,  

【 点评】 根据三角形 中恒有“ 两边之和大于第三  
边” 这 一 简单 的性质 , 是 建立 n 、 b 、 c 之 间的不 等关 系  
式 的 关键 .  

即 椭 圆 离 心 率 e e [  , 1 ) .  
【 点评 】解答本题 的关键是利 用均值 不等 式 , 寻 
找到 a - , 6 、 c 之 间的 不等关 系式 , 从 而获 解.  
四、 走 三角形性 质之路 

五、 走 圆 锥 曲线 的 范 围 之 路 

例5 设A 、 B是椭圆  + 告: l ( 。 > 6 > 0 ) 长 
轴 的两 个 端 点 , 若 椭 圆上 存 在 点 p, 使 得 厶4 朋 =   1 2 0 。 , 求椭 圆离心率  e 的取值 范 围.  
解析: 设 e ( x 。 , Y 。 ) , A (一a , 0 ) , B( a , 0 ) ,  
y o    
=  
, 

例4 ( 2 0 0 9年 高 考 重庆 卷 ? 理1 5 ) 已知 双 曲  线 等  一   =1 ( o>0 , 6>0 ) 的左 、 右 焦点 分别 为  F 。 (一c , 0 ) , F 2( c , 0) .若 双 曲 线 上 存 在 点 P, 使 

由t a n  A 船 =  
2   2 +

得 



=了 a,  
是  .  

双 曲 线 离 心 率 的取 值 范 围 
2   a y o




0 , ③ 

y  

又  X O   Y O= 1


/ 7 (  

④  ,  

由③ 、 ④ 解得  :  
因为 I Y o I ≤6 ,  

\  
幽3  

所 以 l  
即3 e   + 4 e   一 4≥0,  

解析 : 设I P F 。 I =m, I P  

n ,  

如图 3 ,   贝 l J 由正弦定 理得    n = S i n  L 因为 
所 以  = e ,  
f r   r ,  
, 

解 得  ≤口 <l ,  

故 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是 e e 【   , 1 ) .  .  
【 点评 】 利 用 圆锥 曲线的 范 围建 立关 于 。 、 c 的不  
等式, 从 而得 到 关于 e的不等 式 , 由此求 出 e的取值  范围 , 是求 e 的取值 范 围的一种基 本方 法.   六、 走渐近线 的性质 之路 

即 m= e n , ① 
因为 e >1 ,  

例6  ( 2 0 0 6年 高考 福 建卷 ?理 1 0) 已 知双 曲 

所 以点 P在双 曲线的右 支上 ,   于是根据 双 曲线 的第一 定义得 m—n= 2 a , ② 

线   2 一 告= 1 ( 0 > 0 , b > 0 ) 的右焦点为F , 若过点F  
且倾斜 角为 6 0 。 的直 线与 双 曲线 的右 支有 且 只有 一 

由① 、 ②解得 m=   2 a e Tn


= 

,  

个交 点 , 则 此双 曲线离 心率的取值 范 围是 (  
?

) .   5 5?  

训 t  

¨ … 一

 



d  

A . ( 1 , 2 ]   C . [ 2 , +∞)

I j . ( 1 , 2 )   D . ( 2 , +∞)  

的斜率不 小 于 过点 F且 倾 斜 角 为 6 0 。 的 直 线 的 斜 
L 

率, 即  ≥   , 解之得 e ≥2, 故答案选 c .  
r 上  

解析 : 此题 可 以用代 数方法求解 , 即将直线 与双 

曲线方程联立 , 根据 判别 式就 可确 定离 心率 的取 值 
范围 , 但计算 比较繁 琐 , 因此 考虑用 几何 方法 , 利用  渐 近线的几何特性去求 离心率 的取值 范围 
Y   ^  

【 点评 】渐近 线控 制 着双 曲线的形状 , 这与 离心  
率控制 着双曲线的 形状 有 着异 曲 同工之妙 , 许 多求 
双 曲 线 离心 率 的取 值 范 围 的 问题 就 可 以利 用 渐 近 线  的性 质 来 解 决.  

) \   / ( /  
j  

探求 圆锥 曲线离 心率 的取 值范 围的思 维途 径 ,  
并非仅 有上 面介 绍 的 6种 方法 , 这 6种方 法仅是 基  本的、 重要 的 、 常见 的 、 常用 的方法 , 除此 之外还有 数 

形结合法 、 参数法 等 , 限于篇幅 , 在 此不再赘 述 , 留给 
读者在学 习中探究.  

右支有且只有一个 交点 , 如图 4 , 所 以渐近线 , y =  

因 挝  F 且 倾 斜 角  憾线 与 双 曲 线 b 的    

2 0 0 91 2 . 3 8 ~ 3 9  


喜  



邮发 

刊 物 名 称  高 中语 文 教 与学   初 中 语 文教 与学  

刊 期 

价 格 

代 号 
2—5 9 9   8 0— 3 3 6   月 刊  月 刊 

单 价 
6 . 0 0   6 . o 0  

全 年 价 
7 2 . 0 o   7 2 . ( ) 0  

2— 6 1 5  
8 0— 3 3 5  
2— 6 l 8  

高中数学教 与学 
初 中 数学 教 与学 
中 学 外语 教 与学 

月 刊 
月 刊 
月 刊 

6 . o 0  
6 . 0 0  
6 . 0 0  

7 2 . 0 0  
7 2 . 0 0  
7 2 . 0 o  

2— 6 2 6   2— 6 1 7   2— 6 1 6  
2—6 l 9  

巾学 物 理 教  学  中学 化 学 教  j 学  中 学历 史 、 地 理 教  学 
中学 政 治 及  他各科 教 与学  

月 刊  月 刊  月刊 
月 刊 

6 . 0 o   6 . O H 0   6 . 0 0  
6 . 0 O  

7 2 . 0 o   7 2 . 0 o   7 2 . 0 0  
7 2 . 0 o  

?

5 6?  



推荐相关:

高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳

2 故选 C. 五、运用函数思想求解离心率 2 例 8:设 a ? 1 ,则双曲线 ...求圆锥曲线中离心率取值... 暂无评价 3页 ¥2.00 用运动观点探求圆锥曲线....


圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)

圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)_高三数学_数学_高中教育_教育...对于方法一:需要清晰的思路,敏捷的思维,对 计算要求不高;对于方法二:对学生的...


圆锥曲线中离心率取值范围的求解

新野一中校友超级群 43227171 圆锥曲线离心率取值范围 的求解范围问题是数学中的一大类问题, 在高考试题中占有很大的比重, 圆锥曲线离心率取 值范围问题也是...


圆锥曲线离心率问题汇总

圆锥曲线离心率问题汇总_高三数学_数学_高中教育_教育...e ,则该离心率 e 的取值范围是 PF2 x2 y2 2...考查了数形结 合思想、方程思想,本题凸显解析几何...


求解圆锥曲线离心率的取值范围

求解圆锥曲线离心率的取值范围_数学_高中教育_教育专区。求解圆锥曲线离心率的取值...六、运用函数思想求解离心率 例 9:设 a ? 1 ,则双曲线 A. ( 2 ,2) ...


高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围

高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围圆锥曲线离心率的取值范围是...五、运用函数思想求解离心率 x2 y2 例 8:(08 全国卷Ⅱ)设 a > 1 ,则...


求离心率的取值范围解题策略

离心率的取值范围策略圆锥曲线共同的性质:圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 L(F 不在定直线 L 上)的距离 之比是一个常数 e。椭圆的离心率 ,...


浅谈圆锥曲线离心率取值范围

例谈离心率取值范围的求法离心率圆锥曲线中是非常活跃重要的一个量,而求离心...下面以数例说 明其途径和方法. 一. .利用数形结合思想建立不等关系 例 1....


圆锥曲线离心率的求法(已整理)

曲线离心率及其取值范围的几类方法; 2、培养学生...转化等途径确 定离心率 教学过程: 复习回顾:圆锥...(1, 2) 5、运用函数思想求解离心率 例 8、设 ...


圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

圆锥曲线离心率及其范围的求解专题(教师版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区...(4)分类讨论的思想方法,如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线标准方程的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com