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2.1直线的参数方程1


第二章 参数方程
2.1 直线的参数方程1

请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: 两点式: 一般式:

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y2 ? y1 ? tan ? x2 ? x1

y ? kx ? b
x y ? ?1 a b

Ax ? By ? C ? 0( A, B不同时为零)

解:直线的普通方程为y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) 把它变成y ? y0 ? sin ? ( x ? x0 ) cos ? y ? y0 x ? x0 进一步整理,得: ? sin ? cos ? y ? y0 x ? x0 令该比例式的比值为t,即 ? ? t. sin ? cos ?

? x ? x0 ? t cos ? 整理,得到 ? ( t是参数) ? y ? y0 ? t sin ?

? 2 x ? 1 ? t ? ? 2 (t为参数) ? ?y? 2t ? 2 ?

M0 M ? ( x, y ) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0, y ? y0 ) ? ? 设 e 是直线 l 的单位方向向量,则e ? (cos ?, sin ? ) ?????? ? ?????? ? 因为M0 M // e,所以存在实数t ? R,使M0 M ? te,即

解:在直线上任取一点 M(x,y),则 ??????

( x ? x0, y ? y0 ) ? t (cos ?, sin ? ) 所以 x ? x0 ? t cos ?, y ? y0 ? t sin ? y
M(x,y)

即 x ? x0 ? t cos ?, y ? y0 ? t sin ?
所以,该直线的参数方程为 ? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?
M0(x0,y0)

? e
x

?
O

(cos ?, sin ? )

?????? ? 由M 0 M ? te,你能得到直线l 的参数方程中参数 t 的几何意义吗? ?????? ? ?????? ? 解: ? M0 M ? te, ?| M0 M | ? | te | , ? ? 又因为 e 是单位向量, ? | e | ? 1, ?????? ? y ?| M0 M | ? | t || e | ? | t | .
所以,直线参数方程中参数t的 绝对值等于直线上动点M到定点 M0的距离.
M0

M

? e

| t | = | M0M |(t几何意义)

O

x

?????? 此时,若t ? 0,则 M 0 M 的方向向上; ?????? 若t ? 0,则 M 0 M 的方向向下; 若t ? 0,则 M 点与 M 0 重合.

直线的参数方程可以写成这样的形式:

? x ? x0 ? at ( t为参数) ? ? y ? y0 ? bt 2 2 当 a ? b ? 1 时,t 有明确的几何意义,它表示 | t | ? | M0 M | , 此时我们可以认为 a ? cos ?,
b ? sin ? . ? 为倾斜角. 当 a ? b ? 1 时,t 没有
2 2

明确的几何意义. 那么, 如何转化,可以使参 数具有几何意义呢?

1. 直线参数方程

? x ? x0 ? t cos ? ( t是参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

探究:直线的 参数方程形式 是不是唯一的

2. 利用直线参数方程中参数 t 的几何意义

? x ? x0 ? at ( t为参数) ? ? y ? y0 ? bt

当a 2 ? b 2 ? 1时,
| t | = | M0M |

t 才具有此几何意义

其它情况不能用.



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