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高三数学第一轮复习章节测试2-9


第2章 第9节 一、选择题 1.(2010· 天津文)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) [答案] C [解析] 解法一:本题考查了函数的零点定理和导数. ∵f′ (x)=ex+1>0,∴函数 f(x)=ex+x-2 在 R 上单调递增, 又∵f(0)=-1<0,f(1)=e

-1>0,即 f(0)f(1)<0, ∴由零点定理知,该函数零点在区间(0,1)内. 解法二:∵f(0)=e0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e1-1>0,∴f(0)· f(1)<0,故 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是(0,1).故选 C. 2.若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围为( ) A.a<-1 B.a>1 C.-1<a<1 D.0≤a<1 [答案] B [解析] f(x)=2ax2-x-1 ∵f(0)=-1<0 f(1)=2a-2 ∴由 f(1)>0 得 a>1,又当 f(1)=0,即 a=1 时, 1 2x2-x-1=0 的两根为 x1=1,x2=-2不适合题意.故选 B. 3.(2011· 山东临沂)已知函数 f(x)=(x2-3x+2)g(x)+3x-4,其中 g(x)是定义域为 R 的函数,则 方程 f(x)=0 在下面哪个范围内必有实数根( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(2,4) [答案] B [解析] ∵f(1)=0×g(x)-1<0,f(2)=0×g(x)+2>0,故在(1,2)上必有实根. 4.关于方程 3x+x2+2x-1=0,下列说法正确的是( ) A.方程有两不相等的负实根 B.方程有两个不相等的正实根 C.方程有一正实根,一零根 D.方程有一负实根,一零根 [答案] D [解析] 令 y1=3x y2=-x2-2x+1=2-(x+1)2 则方程的根即为两函数图像交点横坐标

由图像知方程有一负根,一零根. 5.已知 f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n 是 f(x)的零点,且 m<n,则实数 a,b,m,n 的大小 关系是( ) A.m<a<b<n B.a<m<n<b

C.a<m<b<n D.m<a<n<b [答案] A [解析] 本题考查函数性质,主要是函数的零点、单调性.如图, f(a)=f(b)=1,f(m)=f(n)=0,结合图形知,选 A.

6.若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-1) D.(1,+∞) [答案] A [解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系.由于函数 f(x)是连 续的,故只需两个极值异号即可.f′ (x)=3x2-3,令 3x2-3=0,则 x=±1,只需 f(-1)f(1)<0, 即(a+2)(a-2)<0,故 a∈(-2,2). 7.(2010· 浙江理)设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的是( ) A.[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] [答案] A [解析] 本题判断 f(x)=0 在区间内是否成立,即 4sin(2x+1)=x 是否有解.如图:

5 1 5 1 显然在[2,4]内曲线 y=4sin(2x+1),当 x=4π-2时,y=4,而曲线 y=x,当 x=4π-2<4,有交 点,故选 A. 1 ?1? 8.(2011· 山东济南)若方程 2 x=x3的解为 x0,则 x0 属于以下区间( ? ? )

? 1? A. 0,3 ? ? ?1 ? C. 2,1 ? ?
[答案] B

?1 1? B. 3,2 ? ?
D.(1,2)

1 ?1? [解析] 构造函数 f(x)= 2 x-x3,易知该函数是 R 上的减函数. ? ?

?1? ?1?1 ?1?1 又 f 3 = 2 3- 3 3>0, ? ? ? ? ? ? ?1? ?1?1 ?1?1 f 2 = 2 2- 2 3<0. ? ? ? ? ? ?

?1 1? ∴x0∈ 3,2 ? ?
二、填空题 9.已知方程 f(x)=0 在(1,2)内有唯一解,用二分法求方程的近似解时,若要使精确度为 0.1, 则使用二分法的最多次数为________. [答案] 4 1 1 [解析] 每一次使用二分法, 区间长度为原区间长度的2, 设 n 次后达到精确度, 则只需2n<0.1, 即 n≥4. 10.若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x)>0 的解集是________.
? 3 ? [答案] ?x|-2<x<1? ? ?

[解析] 由于函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3, 即方程 x2+ax+b=0 的两个根是- 2 和 3.
?-2+3=-a, ? 因此? 解得 a=-1,b=-6, ?-2· 3=b, ?

故 f(x)=x2-x-6. 所以不等式 af(-2x)>0,即-(4x2+2x-6)>0, 3 解得-2<x<1.

? 1? 11.若函数 f(x)=3ax-2a+1 在区间[-1,1]上无实根,则函数 g(x)= a-5 (x3-3x+4)的单调 ? ?
递减区间是________. [答案] (-∞,-1),(1,+∞) [解析] f(x)在[-1,1]上的图像是线段,若方程 f(x)=0 在[-1,1]上无实根, 则 f(-1)f(1)>0,即(-5a+1)(a+1)>0, 1 1 解得-1<a<5,a-5<0.

? 1? 由 g′ (x)= a-5 (3x2-3)<0,得 x<-1 或 x>1. ? ?
三、解答题 12.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间 [0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. [解析] 设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)≤0, 3 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m≤-2. ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则

? ? m-1 ?0≤- 2 ≤2 ? ?
Δ≥0

- 2-4≥0 ? ? ,∴?-3≤m≤1 , ? +1≥0 ? 4+ -

m≥3或m≤-1 ? ?-3≤m≤1 ∴? 3 ? ?m≥-2

3 ,∴-2≤m≤-1,

由①②可知 m≤-1. 13.对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.已知函数 f(x) =ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围. [解析] (1)f(x)=x2-x-3,因为 x0 为不动点, 因此有 f(x0)=x02-x0-3=x0,所以 x0=-1 或 x0=3. 所以 3 和-1 为 f(x)的不动点. (2)因为 f(x)恒有两个不动点, f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)=x, ax2+bx+(b-1)=0, 由题设知 b2-4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b2-4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a)2-4(4a)<0? a2-a<0.所以 0<a<1. 14.(2011· 广州模拟)已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求 出该零点. [解析] ∵f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m· 2x+1=0 仅有一个实根. 设 2x=t(t>0),则 t2+mt+1=0. 当 Δ=0 时,即 m2-4=0, ∴m=-2 时,t=1;m=2 时,t=-1 不合题意,舍去, ∴2x=1,x=0 符合题意. 当 Δ>0,即 m>2 或 m<-2 时, t2+mt+1=0 有两正根或两负根, f(x)有两个零点或无零点不合题意. ∴这种情况不可能. 综上可知:m=-2 时,f(x)有唯一零点,该零点为 x=0. 15.定义域为 R 的偶函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=lnx-ax(a∈R),方程 f(x)=0 在 R 上恰有 5 个 不同的实数解. (1)求 x<0 时,函数 f(x)的解析式; (2)求实数 a 的取值范围. [解析] (1)设 x<0,则-x>0, ∵f(x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax(x<0). (2)∵f(x)是偶函数, ∴f(x)=0 的根关于 x=0 对称,又 f(x)=0 恰有 5 个实数根,则 5 个根有两正根,两负根,一零 根,且两正根与两负根互为相反数, ∴原命题可转化为:当 x>0 时,f(x)的图像与 x 轴恰有两个不同的交点. 下面就 x>0 时的情况讨论.

1 ∵f′ (x)=x -a, ∴当 a≤0,f′ (x)>0,f(x)=lnx-ax 在(0,+∞)上为增函数, 故 f(x)=0 在(0,+∞)上不可能有两个实根. 1 a>0 时,令 f′ (x)=0,x=a. 1 当 0<x<a时,f′ (x)>0,f(x)递增, 1 当 x>a时,f′ (x)<0,f(x)递减, 1 ∴f(x)在 x=a处取得极大值-lna-1,则要使 f(x)在(0,+∞)有两个相异零点,如图.

∴只要:-lna-1>0,即 lna<-1,

? 1? 得:a∈ 0,e . ? ?


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