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不等式的解法(教师版)


不等式(1)不等式的解法 (一)一元一次不等式(组): 1、例题分析 例 1、解关于 x 的不等式 (m ? 2) x ? 1 ? m

例 2、求关于 x 的不等式 m x ? 2 ? 2mx ? m .
2

例 3、.若关于 x 的不等式 2x-1>a(x-2)的解集为 R,求实数 a 的取值范围

>(二)一元二次不等式(组): 1、基础知识: 2、例题分析 例 1 解下列不等式
(1)(x-1)(3-x)<5-2x(2)x(x+11)≥3(x+1)2

(1 答:{x|x<2 或 x>4} (3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2) 答:空集

答: (2){x|1≤x≤ } (4) x ? x ? 1 ?
2

3 2

1 x( x ? 1) 3

答:R

1 例2、若0 ? a ? 1,则不等式 ( x ? a)( x ? ) ? 0的解是 a
A

( D

A

)

a?x?

1 a

B

1 ?x?a a

C

x?

1 或x ? a a

x?

1 或x ? a a

例 3 若 ax2+bx-1<0 的解集为{x|-1<x<2},求 a、b 的值. 解根据题意,-1,2 应为方程 ax2+bx-1=0 的两根,则由韦达定理知

? b ? ? ( ?1) ? 2 ? 1 ? ? a 得 ? ?? 1 ? ( ?1) ? 2 ? ?2 ? ? a
a? 1 1 ,b ? ? . 2 2

例 4 已知集合 A={x|x2-5x+4≤0}与 B={x|x2-2ax+a+2 ≤0},若B ? A,求a的范围.

解易得 A={x|1≤x≤4} 设 y=x2-2ax+a+2(*)

(1) 若B=?,则显然B ? A,由Δ <0得
4a2-4(a+2)<0,解得-1<a<2.

(2) 若B≠?,则抛物线(*) 的图像必须具有图1-16特征: 应有{x|x1≤x≤x 2 } ? {x|1≤x≤4}从而
? ?12 - 2a?1+a+ 2 ≥ 0 ? 2 ?4 - 2a? 4 +a+ 2 ≥ 0 ? ? 2a ?1≤ ≤4 ?2 ?

解得12 ≤a≤

18 7

综上所述得a的范围为-1<a≤

18 . 7

说明:二次函数问题可以借助它的图像求解. 例 5 解关于 x 的不等式(x-2)(ax-2)>0. 解 1°当 a=0 时,原不等式化为 x-2<0 其解集为{x|x<2};

2 2 2 2 ° 当a< 0时,由于 2 > ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) < 0,其解 a a {x| <x< 2}; a 集为 2 2 2 3° 当 0<a<1时,因 2 < ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) > 0,其解 a a {x|x< 2 或x> }; a 集为
4°当 a=1 时,原不等式化为(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2};

2 2 5° 当a>1时,由于 2 > ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) > 0,其解 a a 集是

2 {x|x< 或x> 2}. a
例 6 若不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|α <x<β }(0<α <β ),求 cx2+bx+a<0 的解集. 分析由一元二次函数、 方程、 不等式之间关系, 一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的, 这就使 “解 集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使用韦达定理: 解法一由解集的特点可知 a<0,根据韦达定理知:

? b - =α +β , ? ? a ? ? c =α ?β . ? ?a ?b =- ( α +β ) < 0, ? ?a 即? ? c =α ?β > 0. ? ?a
∵a<0,∴b>0,c<0.



b a b ? ? , a c c

b 1 1 =- ( + ) c α β c a 1 1 由 =α ?β ,∴ = ? a c α β ∴
对cx 2 +bx+a< 0化为x 2 +

① ②

b a x+ > 0, c c

由①②得

1 1 b a 1 1 , 是x 2 + x+ =0两个根且 > > 0, α β c c α β

b a 1 1 ∴x 2 + x+ >0即cx 2 +bx+a<0的解集为{x|x> 或x< }. c c α β
解法二∵cx2+bx+a=0 是 ax2+bx+a=0 的倒数方程. 且 ax2+bx+c>0 解为α <x<β ,

∴cx 2 +bx+a<0的解集为{x|x>

1 1 或x< } . α β

三、针对性练习 1.若 16-x2≥0,则( ) A.0≤x≤4 B.-4≤x≤0C.-4≤x≤4 D.x≤-4 或 x≥4 答案:C 2.不等式(x-2)(2x+1)>0 的解集是( ) 1 1 1 1 A.(- ,2) B.(-2, )C.(-∞,-2)∪( ,+∞) D.(-∞,- )∪(2,+∞) 2 2 2 2 答案:D 3.二次函数 y=x2-4x+3 在 y<0 时 x 的取值范围是__________. 答案:{x|1<x<3} 4.解不等式 0≤x2-x-2≤4. 解:原不等式等价于 2 ? ?x -x-2≥0,
? 2 ?x -x-2≤4, ?

解 x2-x-2≥0,得 x≤-1 或 x≥2; 解 x2-x-2≤4,得-2≤x≤3. 所以原不等式的解集为新课标第一网 {x|x≤-1 或 x≥2}∩{x|-2≤x≤3} ={x|-2≤x≤-1 或 2≤x≤3}. 四、课后作业 一、选择题 1.下面所给关于 x 的几个不等式:①3x+4<0;②x2+mx-1>0;③ax2+4x-7>0;④x2<0.其中一定 为一元二次不等式的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:B 2.不等式 x(2-x)>3 的解集是( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|-3<x<1}C.{x|x<-3 或 x>1} D.? 解析:选 D.将不等式化为标准形式 x2-2x+3<0,由于对应方程的判别式 Δ<0,所以不等式 x(2-x)>3 的解集为?. 3.若集合 A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N*,x≤5},则 A∩B 是( ) A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5} 1 解析:选 B.A={x|- <x<3},B={1,2,3,4,5}, 2 ∴A∩B={1,2},故选 B. ?x2-1<0 ? 4.不等式组? 2 的解集是( )www.xkb1.com ?x -3x<0 ? A.{x|-1<x<1} B.{x|0<x<3}C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<3} 解析:选 C.原不等式组等价于: 2 ?x <1 ?-1<x<1 ? ? ? ?? ?0<x<1. ?x?x-3?<0 ?0<x<3 ? ? 5.二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为-2,3,a<0,那么 ax2+bx+c>0 的解集为( ) A.{x|x>3 或 x<-2} B.{x|x>2 或 x<-3}C.{x|-2<x<3} D.{x|-3< x<2} 解析:选 C.二次函数的图象开口向下,故不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|-2<x<3}. 1 6.若 0<t<1,则不等式(x-t)(x- )<0 的解集为( ) t 1 1 1 1 A.{x| <x<t} B.{x|x> 或 x<t}C.{x|x< 或 x>t} D.{x|t<x< } t t t t 1 1 解析:选 D.∵0<t<1,∴ >1,∴t< w w w .x k b 1.c o m t t 1 1 ∴(x-t)(x- )<0?t<x< . t t 二、填空题 7.函数 y= x2-2x-8的定义域为__________答案:{x|x≥4 或 x≤-2}.

8.当 a<0 时,关于 x 的不等式(x-5a)(x+a)>0 的解集是________答案:{x|x<5a 或 x>-a} 9.已知 x=1 是不等式 k2x2-6kx+8≥0(k≠0)的解,则 k 的取值范围是________.答案:(-∞,0)∪(0,2] ∪[4,+∞) 三、解答题 10. 求下列关于 x 的不等式的解集: (1)-x2+7x>6; 答案:不等式的解集是{x|1<x<6} . (2)x2-(2m+1)x+m2+m<0, 因式分解得(x-m)[x-(m+1)]<0. ∵m<m+1,∴m<x<m+1. 即不等式的解集为{x|m<x<m+1}. 1 11.已知方程 ax2+bx+2=0 的两根为- 和 2. 2 (1)求 a、b 的值;xkb1.com (2)解不等式 ax2+bx-1>0. , 答案:a=-2,b=3. (2)由(1)知, ax2+bx-1>0 变为-2x2+3x-1>0, 即 2x2-3x+1<0, 1 解得 <x<1. 2 1 ∴不等式 ax2+bx-1>0 的解集为{x| <x<1}. 2 12.求不等式 ax+1<a2+x(a∈R)的解集. 解:将原不等式化为(a-1)x<a2-1. ①当 a-1>0,即 a>1 时,x<a+1. ②当 a-1<0,即 a<1 时,x>a+1. ③当 a-1=0,即 a=1 时,不等式无解. 综上所述, 当 a>1 时,不等式的解集为{x|x<a+1};新课标第一网 当 a<1 时,不等式的解集为{x|x>a+1}; 当 a=1 时,不等式的解集为?.

(三) 、分式不等式

一、基础知识 标准型:(1).

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0 (2). ?0?? g ( x) g ( x) ? g ( x) ? 0

二、分式不等式的解法:

例1、不等式 1 ? x ?

1 的解集为 1? x
D.{x|x>1 或 x=0}

A.{x|x>0B.{x|x≥1}C.{x|x>1} 选 C.

例2、与不等式

x ?3 ? 0的同解的不等式为 2? x
2?x ≥ 0 D.(x-3)(2-x)≤0 x?3

A.(x-3)(2-x)≥0B.0<x-2≤1 C. 选 B.

例3、不等式

ax ? 1的解集为{x | x ? 1或x ? 2},则 a的值为 x ?1

1 1 1 1 A、 a ? , B、 a ? , C、a ? , D、 a ? ? , 2 2 2 2
分析 可以先将不等式整理为 (a ? 1) x ? 1 < 0,转化为 x ?1

[(a-1)x+1](x-1)<0,根据其解集为{x|x<1 或 x>2}

可知a-1< 0,即a<1,且-

1 1 = 2 ,∴a= . a ?1 2

答选 C. 说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧.

例4、解不等式

3x ? 7 ?2 x ? 2x ? 3
2

解先将原不等式转化为

3x ? 7 ? 2≥0 x ? 2x ? 3
2

? 2x 2 ? x ? 1 2x 2 ? x ? 1 ≥ 0 ,所以 ≤ 0. x 2 ? 2x ? 3 x 2 ? 2x ? 3 1 7 由于 2x 2 +x+1= 2(x+ ) 2 + > 0, 4 8 即
∴不等式进一步转化为同解不等式 x2+2x-3<0,

即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集为{x|-3<x<1} . 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题.

例5、解关于 x的不等式
解 原不等式变为

x ? 1 ? a(a ? R) x ?1

x ax ? 1 ? a - (1-a) < 0,即 < 0, x ?1 x ?1

进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. (1)当 a>0 时,不等式化为

(x- <1};

a ?1 a ?1 a ?1 )(x-1) < 0,易见 <1,所以不等式解集为{x| <x a a a

(2)a=0 时,不等式化为 x-1<0,即 x<1,所以不等式解集为{x|x<1};

(3)a<0时,不等式化为(x- 不等式解集为{x|x<1或x>

a ?1 a ?1 ) ?(x-1) >0,易见 >1,所以 a a

a ?1 }. a

综上所述,原不等式解集为:

当a>0时,{x| a ?1 或x<1}. a
三、针对性练习 . 解下列不等式 (1).

a ?1 <x<1};当a=0时,{x|x<1};当a<0时,{x|x> a

3x ? 1 ?1 2? x

(2).-3<

1 x?4 ?1 ? 2 (3). 2 x ? x ?1 x

(四)含绝对值的不等式解法 一、基础知识 (1).绝对值的几何意义. | x | 是指数轴上一点 x 到原点的距离; | x1 ? x2 | 是指数轴上 x1 , x 2 两点间的距离. (2).解含绝对值的不等式的基本思想--去掉绝对值符号, 去绝对值有哪些主要方法? ①.定义法: x ? ?

? x x?0 ;②.公式法:|x|<a ? ?a ? x ? a ;|x|>a ? x ? a或x ? ? a ( a ? R ) ?? x x ? 0

③.平方法: (不等式两边都是非负时,才能同时平方! ) ; ④.零点分段法; ⑤数形结合. (3).解含绝对值不等式的基本型: ①.|fx)|<g(x) ? -g(x)<f(x)<g(x) ②.|f(x)|>g(x) ? f ( x) ? g ( x) 或 f(x)<-g(x) ③.|f(x)|>|g(x)| ? f(x) >g(x)
2 2

④.|f(x)|+|g(x)|>h(x)

二、例题分析 例 1 解下列绝对值不等式 (1)3<|2x-3| ? 5 (2)|4x-3|>2x+1

(3)|x-1|>|x+3|

(4)|

x ?1 |? 1 2x ? 3

(5)|x+2|+|x-1| ? 5

(6)2 x 2 ?| x ? 1 |

例 2 不等式|x2-3x|>4 的解集是________. 分析可转化为(1)x2-3x>4 或(2)x2-3x<-4 两个一元二次不等式.

由(1) 可解得x<-1或x>4,(2)?.
答填{x|x<-1 或 x>4}.

三、针对性练习 1.不等式 4 ?| 2 x ? 3 |? 7 的解集是. 2.若 x ? R ,则(1-|x|)(1+x)>0 的解集是. 2 3.不等式 x -4|x|+3<0 的解集为. 4.设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R ,B={y|y=-x ( ? 1 ? x ? 2 )}, CR ? A ? B? =.
2

?

?

5.若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x 6.设 A= ?x || x ? a |? 2

?

?

? 2x ?1 ? ? 0? , 则 A∩B 是. ? 3? x ?

?

B= ? x |

? ?

? 2x ? 1 ? 1 ? 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. x?2 ?

(五)指数不等式与对数不等式的解法 一、基础知识 (1)解指数与对数不等式主要是利用指数函数与对数函数的单调性化归为一般不等式求解; (2)解指数对数不等式的基本方法:①.同底法; ②.换元法; ③.对数法。 (3)解对数不等式时千万要留意其真数必须大于 0,底数大于 0 且不能为 1,底数含变量要讨论! 二、例题分析 例 1、解下列不等式 (1). 3 ?
x

1 x (2). log3 ? ?2 27
2x

(2) (3). 2

? 2 x ? 2 ? 0 (4). 2 x ? 3
变题: log x (2 x ? 1) ? log x (3 ? x)

(5). loga (2 x ? 1) ? loga (3 ? x) (a>0 且 a ? 1)

三、针对性练习 1.解下列不等式 (1) 23?2 x ? 0.53 x
2

?4

x ?5) (2)2< log( ? 3 (3)log 2 ( x 2 ? 3x ? 2) <1 2

(4). (log2 x) 2 ? log2 x ? 2 ? 0 (5)log a

2 ?1 3

2.函数 y ? log3 ?x ? 2? 的图像与函数 y ? 1 ? log3 x 的图像交点的坐标是; ?1,1? 3. 若函数 f(x) =

2x ?2ax?a ?1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为_______.
2

2

4.已知 R 为全集,A={x|log 1 (3-x)≥-2

5 ?,B={x| x ? ? 1},求 2

RA∩B.

5.记关于 x 的不等式

(I)若 a ? 3 ,求 P ; (II)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围.

x?a ? 0 的解集为 P ,不等式 x ?1 ≤1 的解集为 Q . x ?1

不等式(2)——不等式解法巩固练习
练习一

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? ?( x ? 1) 2 ( x ? ?1) ? 1 设函数 f(x)= ?2 x ? 2( ?1 ? x ? 1) ,已知 f(a)>1,则 a 的取值范围是( ) ?1 ? ? 1( x ? 1) ?x 1 1 1 A (-∞,-2)∪(- ,+∞) B (- , ) 2 2 2 1 1 C (-∞,-2)∪(- ,1) D (-2,- )∪(1,+∞) 2 2
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2 已知 f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a2,b),g(x)>0 的解集是(
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a2 b , ),则 f(x)?g(x)>0 的解集 2 2

是__________ 3 已知关于 x 的方程 sin2x+2cosx+a=0 有解,则 a 的取值范围是_______
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1 4 解不等式 loga(x- )>1 x
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5 设函数 f(x)=ax 满足条件 当 x∈(-∞, 0)时, f(x)>1; 当 x∈(0, 1 ] 时, 不等式 f(3mx-1)>f(1+mx-x2)>f(m+2) 恒成立,求实数 m 的取值范围
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练习二 一、 选择题 (1)若 x∈R,下列不等式中解法正确的是 ( (A)x >2 ?x>± 2
2 2



(B) (x-1) <2 ? 1- 2 <x<1+ 2 (D) x 2 ? 1 <1-2x ? x2-1<(1-2x)2 ? 3x2-4x+2>0 )

b (C)ax+b<0 ?x<a

∵△=16-24<0 ∴无解. (2)下列各对不等式中同解的是 ( (A)(2a+7)x>a+3 与 x>

a?3 (B)lg(x-a)2<0 与(x-a)2<1 2a ? 7 x?a x?a x?a (C) <1 与 ≤1 (D)(x-a)(x-b)>0 与 >0 x?b x?b x ?b 9 (3)不等式 4x> 的解集是 ( ) x 3 3 3 3 (A){x|x<- 或 x> } (B){x|x>- 且 x≠ } 2 2 2 2 3 3 3 3 (C){x|- <x<0 或 x> } (D){x|- <x< } 2 2 2 2 1 1 (4)不等式 ax2+bx+2>0 的解集是{x|- <x< },则 a+b 的值为 ( 3 2
(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14 (5)不等式(x-1) x ? 2 ≥0 的解集是 ( ) (A){x|x>1} (B){x|x≥1} (C){x|x≥1 或 x-2} (6)不等式 4 ? x ?
2

)

(D){x|x<-2 或 x≥2 }

x x

≥0 的解集是 (

)

(A){x|-2≤x≤2} (B){x|- 3 ≤x<0 或 0<x≤2} (C){x|-2<x≤0 或 0>x≤2} (D){x|- 3 ≤x<0 或 0<x≤ 3 } (D){x|8<x<22 } (7)不等式| x ? 2 -3|<1 的解集是 ( ) (A){x|5<x<16} (B){x|6<x<18} (C){x|7<x<20 }

?1? (9)不等式 ? ? ?2?
(A){x|x<100}

lg x

>4 的解集是 (

)

1 ? ? ? 100? ? (10)若集合 M={x|x2-5x-6<0 } ,N={x|lg(x+1)2<2},全集 I=R,则 M ? N 为 ( )
(B){x|0<x<100}(C){x|x<

1 } 100

(D) ? x | 0 ? x ?

(A){x|x≤1}∪{x|6≤x<9} (B){x|-1<x<6}(C){x|-11<x≤-1 或 6≤x<9} (D){x|-11<x<9} 2 (11)不等式 log 2 X 2 ?1 (3x +2x-1) <1 的解集是 ( ) (A){x|-2<x<0} (C){x|-2<x<-1 } (B){x|0<x<1 或-2<x<-1} (D){x|-2<x<-1 或

2 <x<1 } 2
)

(12)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,对任意实数 x 恒成立,则 a 的取值范围是 ( (A)(-2,2) (B)(-2,2] (C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪[2,+∞) (13)如果 loga
3? (A) ? ? 0, ? ? 5?

3 <1,则 a 的取值范围是 ( 5
3 ? (B) ? ? ,1? ?5 ?
3x?a
2

)
3 ? ∪(1,+∞) (D) ? ? 0, ? ? 5?

3 ? (C) ? ? ,?? ? ?5 ?

1? (14)不等式 ? ? ? ?2?

x 2 ? 2 ax

<2

对一切实数 x 都成立,则 a 的取值范围是

(

)

(A)a>

3 4 5 4
(B)-

(B)a<

3 4

(C) 0<a<

3 4

(D)

3 <a<1 4
)

(15)若关于 x 的方程 x2-x-(m+1)=0 在[-1,1]上有解,则 m 的取值范围是 ( (A)m≥-

5 ≤m≤-1 4

(C)-

5 ≤m≤1 4

(D)m≤1

二、填空题

3x ≥1 的解集是__________. (2)不等式(x2-4x-5)(x2-4)≤0 的解集是__________. x ?2 (3)使不等式 2 x ? 5 >x+1 成立的 x 的取值范围是_______. (4)不等式|2x2-5|>3x 的解集是________.
(1)不等式
2

1? ? (5)不等式 lg ? x ? ? <0 的解集是__________. x? ?
三、解答题 (1)解不等式 5 ? 4x ? x 2 ≥x.

log 1 ( x 2 ? 2 x )

(6)不等式 5

3

≥0.2 的解集是_______

(2)解不等式 log3x+logx27<4.

(3)解不等式| 3x ? 6 -2x|≥1.

(4)已知:a>0,a≠1,解不等式

loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)>loga2.

(5)若(a-2)x2+1≤(a-2)x 对任意实数 x 都成立,求 a 的取值范围.

(6)如果偶函数 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,且 f(log427?log272)=0,求不等式 f(logax)>0 (a>0 且 a≠1)的解集.


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