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湖北省襄阳市枣阳二中2015-2016学年高一数学上学期期中试题


枣阳二中高二年级 2015-2016 学年度上学期期中考试数学试题
本试卷两大题 22 个小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★ 祝考试顺利 ★ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.840 和 1764 的最大公约数是( ) A.84 B. 12 C. 168 D. 252 2.过点(1,0)

且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

3.某学校有高一学生 720 人,现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方 法,抽取 180 人进行英语水平测试,已知抽取的高一学生数量是抽取的高二学生数、高三学 生数的等差中项,且高二年级抽取 40 人,则该校高三学生人数是 ( ) A.480 B.640 C.800 D.960 4 .若直线 y ? x 在第一象限上有一点 Q 到 P(0 , 2 ) 的距离为 ( ) B. (1 , 1) D. (2 , 2)

2 ,则点 Q 的坐标为

A. (0, 0) C. ( 2 , 2 )

5. 已知△ABC 三顶点坐标 A(1,2),B(3,6),C(5,2),M 为 AB 中点,N 为 AC 中点,则直线 MN 的方 程为( ) (A)2x+y-8=0 (B)2x-y+8=0 (C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0 6 . 从 某 大 学 随 机 选 取 8 名 女 大 学 生 , 其 身 高 x (cm) 和 体 重 y (kg) 的 回 归 方 程 为
? ? 0.849 x ? 85.712 ,则身高 172cm 的女大学生,由回归方程可以预报其体重 y

( )

A.为 60.316 kg B. 约为 60.316 kg

C.大于 60.316 kg

D.小于 60.316 kg ( )

7.甲、乙两人随意入住两间空房,则每人各住一间的概率是

1 A. ? 3 1 C. ? 2

1 B. 4
D.无法确定
x y

8.已知点 P ( x, y ) 在直线 x ? 2 y ? 3 上移动,当 2 ? 4 取得最小值时,过点 P ( x, y ) 引圆
1

1 1 1 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 的切线,则此切线段的长度为 2 4 2
A.

(

)

6 2

B.

3 2

C.

1 2

D.

3 2

9.在某次选拔比赛中,六位评委为 A, B 两位选手打出分数的茎叶图如图所示(其中 x 为数 字 0~9 中的一个) ,分别去掉一个最高分和一个最低分, A, B 两位选手得分的平均数分别 为 a , b ,则一定有( )

A. a ? b C. a ? b

B. a ? b D. a , b 的大小关系不能确定

10.一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6,将这颗骰 子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为 ( )

1 A. 12
11.已知 A.-180

1 B. 18
10

1 C. 36

7 D. 108
2 10

?1 ? x ?

? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ? a10 ?1 ? x ?
B.180 C.45 D.-45

,则

a8 ?





1 X ~ B (6, ) 3 ,则 P( X ? 2) =( 12.已知随机变量 X 服从二项分布
3 A. 16 4 B. 243 13 C. 243 80 D. 243



第 II 卷(非选择题) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

1 (3 x 3 ? 1)( x 2 ? )6 x 的展开式中常数项为 13.

14 . 设 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为

P? X ? k ? ?

c k ? k ? 1?

( c 为常数) , k ? 1, 2,3, 4 , 则

2

P ?1.5 ? k ? 3.5? ? ___.
15.直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,则

a 2 ? b 2 =________.
16.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多填 1 个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 种(用数字作答) 。

三、解答题(共 70 分)

17. (本小题满分 10 分)若 x,y 满足

?x ? y ? 1 ? 0 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ?3x ? y ? 5 ? 0 ?
2 2

,求:

(1) z ? 2 x ? y 的最小值; (2) z ? x ? y 的范围. (3)

z?

y?x x 的最大值;

18. (本小题满分 12 分) 为了解惠州市的交通状况, 现对其 6 条道路进行评估, 得分分别为: 5,6,7,8,9,10。规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表:

(1)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市 的总体交通状况等级; (2)用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条, 它们的得分组成一个样本, 求该样本的平均数与总体 的平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

19. (本小题 12 分)某校从参加某次知识竞赛的同学 中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成六组后,得到频率分布直方图(如 图) ,观察图形中的信息,回答下列问题. (1)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (2)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大 于 10 的概率.

3

(3 x ?
20.求二项式

2 15 ) x 的展开式中:

(1)常数项(答案可保留组合数) ; (2)有几个有理项; (3)有几个整式项.

21. (本小题满分 12 分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 日销售量(吨) 1 频数 频率 10 0.2 1.5 25 a 2 15

b

(1)求表中的 a , b 的值; (2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立.求: ① 5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率; ② 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元) 求 ? 的分布列和期望. 22.某区要进行中学生篮球对抗赛,为争夺最后一个小组赛名额,甲、乙、丙三支篮球队要 进行比赛,根据规则:每两支队伍之间都要比赛一场;每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,

1 没有平局,获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为 5 ,甲队获得第 1 1 一名的概率为 6 ,乙队获得第一名的概率为 15 .
1 , P2 ; (Ⅰ)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率 P

(Ⅱ)设在该次比赛中,甲队得分为 X ,求 X 的分布列及期望.

4

参考答案 选择: 1_5AADCA 填空; 13.-33 6_10BCABA 11-12BD

1 1 r r 12 ?3 r ( x 2 ? ) 6 展开式通项为 T ? C6 ( x 2 )6? r (? ) r ? (?1) r C6 x ,令 12-3r=0 得:r=4,它的常 x x
4 5 数项是 (?1)4 C6 ? ?6 ; ? 15, 令 12-3r=-3 得:r=5,它的 x ?3 项系数为: (?1)5 C6
3 2 6 故 (3 x ? 1)( x ? ) 的展开式中常数项为: 3 ? (?6) ? (?1) ?15 ? ?33

1 x

14.

P? X ? k ? ?
试题分析: 由随机变量 X 的分布列为

c k ? k ? 1?

( c 为常数) , k ? 1, 2,3, 4 ,



c c c c ? ? ? ?1 1? ?1 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 3 ? ? 3 ? 1? 4 ? ? 4 ? 1?
c? 5 4.





P ?1.5 ? k ? 3.5 ? ? P ? X ? 2 ? ? P ? X ? 3? ?

5 5 5 ? ? 24 48 16 .

故答案为: . 考点:1.离散型随机变量的期望与方差;2.分布列的特点. 15. 2

1 试题分析:由题意可得,圆心 到两条直线的距离相等,且每段弧长都是圆周的 , (0, 0) 4

?

a b 2 ? ? cos 45? ? , ? a 2 ? b 2 ? 2, 2 2 2

考点:直线与圆的位置关系 16.3960 2 2 使 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 A4 =72 种, 同样, 使 2 个 b 既不同行也不同列的填法 2 2 2 也有 C4 A4 =72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 72 种,其中不符合要求的有两种情况: 2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;2 个 a 所在的方格内仅有 1 个方格内填有 b 1 2 2 的情况有 C16 A9 =16×72 种。所以,符合题设条件的填法共有 72 ? 72? 16×72=3960 种。

5

17. (1) zmin ? 4 ,(2) z ? ? ,25? ,(3) 3 2

?9 ?

? ?

试题分析: (1)先做出可行域,再结合 z=2x+y 的几何意义是纵截距, (2)所求的几何意义 是可行域到原点距离的平方的取值范围, 数形结合即可, (3) 目标函数 z ? 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,结合图形计算即可. 试题解析:

y y ? 1, 记k ? . k x x

作出满足已知条件的可行域为△ABC 内(及边界)区域,其中 A(1,2) ,B(2,1) ,C(3, 4) . (1)目标函数 z ? 2 x ? y ,表示直线 l : y ? ?2 x ? z , z 表示该直线纵截距,当 l 过点 A (1,2)时纵截距有最小值,故 zmin ? 4 . (2)目标函数 z ? x ? y 表示区域内的点到坐标系点的距离的平方,又原点 O 到 AB 的距
2 2

离d ?

| 3| 2

?

3 2 ?3 3? ?9 ? 2 2 且垂足是 D ? , ? 在线段 AB 上,故 OD ? z ? OC ,即 z ? ? ,25? 2 ?2 2? ?2 ?
y y ? 1 ,记 k ? . x x

(3)目标函数 z ?

则 k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率,当直线过点 A 时,斜率最大,即 kmax ? 2 ,即

? y? x? zmax ? ? ? ? 3. ? x ?max
考点:线性规划在解题中的应用. 18. (1)7.5 ,合格; (2)

7 . 15

试题分析:本题主要考查等可能事件的概率、古典概型、简单随机抽样、平均数、随机事件 等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由已知 中对其六条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10,计算出得分的平均分,然后将所得 答案与表中数据进行比较,即可得到答案;第二问,我们列出从这 6 条道路中抽取 2 条的所 有情况, 及满足样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过 0.5 的情况, 然后代入古

6

典概型公式中即可得到答案. 试题解析: (Ⅰ)6 条道路的平均得分为

1 (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ? 7.5 6

∴该市的总体交通状况等级为合格. (Ⅱ)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 ”. 从 6 条道路中抽取 2 条的得分组成的所有基本事件为:

(5,6) , (5,7) , (5,8) , (5,9) , (5,10) , (6,7) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) , (7,10) , (8,9) , (8,10) , (9,10) ,共 15 个基本事件
事件 A 包括 (5,9) , (5,10) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) 共 7 个基本事件, ∴ P ( A) ?

7 . 15
7 . 15

答:该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为

考点:等可能事件的概率、古典概型、简单随机抽样、平均数、随机事件. 19. (I)估计本次考试成绩的中位数为 的概率为

220 ; (II)所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 3

1 . 2

试题分析: (I)由频率分布直方图知,前三组的频率和,所以中位数在第四组,设中位数为

0 . 0 3 0 .? 5 0 . 70+x, 则4

x?

x?
, 解得

10 10 220 70 ? ? 3 , 3 3 ;(II) 从而得组数据的中位数为

求出第 1 组和第 6 组的频数分别为为:6 人、3 人;从这 9 人中任取 2 人,共有 36 个基本事 件,满足抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的基本事件有 18 个,所以,所求的概率为

P?

18 1 ? . 36 2

试题解析: (Ⅰ)由频率分布直方图知,前三组的频率之和为 0.1 ? 0.15 ? 0.15 ? 0.4 ,

∴中位数在第四组,设中位数为 70+x,则 0.4 ? 0.030 x ? 0.5 ,解得 ∴该组数据的中位数为 70 ?

x?

10 3 ,
6分

10 220 ? ; 3 3

(Ⅱ)第 1 组的频数为:60×0.1=6 人(设为 1,2,3,4,5,6) , 第 6 组的频数为:60×0.1=3 人(设为 A,B,C) ;从这 9 人中任取 2 人,共有 36 个基本事 件, 满足抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的基本事件有 18 个, 所以,所求的概率为 P ?

18 1 ? . 36 2

12 分

考点:1、频率分布直方图;2、中位数;3、概率.

7

20. (1)T7=2

6

6 C15 (2)有 3 个有理项(3)两个整式项.

试题分析:展开式的通项为:Tr+1=

(?1) C ( x )
r r 3 15

15 ? r

(

2 x

)

r

=

(?1) 2 C x
r r r 15

30 ?5 r 6

6 30 ? 5r 6C =0,得 r=6,即常数项为 T7=2 15 ; 6 5 30 ? 5r (2)设 Tr+1 项为有理项,则 =5- r 为整数,∴r 为 6 的倍数, 6 6

(1)设 Tr+1 项为常数项,则

又∵0≤r≤15,∴r 可取 0,6,12 三个数,故共有 3 个有理项. (3) 5-

5 r 为非负整数,得 r=0 或 6,∴有两个整式项. 6

考点:二项式定理的运用 点评: 解决的关键是对于通项公式的准确表示, 并通过幂指数来确定所求的项, 属于基础题。 21.(1) a ? 0.5,b ? 0.3 ; (2)① 0.3125 ,②分布列见解析, E? ? 6.2 . 试题分析:第一问根据频率等于频数除以样本容量,得出 a ? 0.5,b ? 0.3 ,第二问根据题意 可知为二项分布,利用二项分布的公式,求得
2 P( X ? 2) ? C5 ? 0.52 ? (1 ? 0.5)3 ? 0.3125,

将 ? 的取值找到,求得对应的概率,做出相应的分布列,利用期望公式求得结果. 试题解析:(1)由题意知: a ? 0.5,b ? 0.3 (2)①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p ? 0.5 , 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨,

P( X ? 2) ? C5 ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? 0.3125 则 X ~ B(5,0.5) ,
2 2 3

②两天的销售量可能为 2,2.5,3,3.5,4.所以 ? 的可能取值为 4,5,6,7,8 , 则: P(? ? 4) ? 0.2 ? 0.04, P(? ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2
2

P(? ? 6) ? 0.52 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37, P(? ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 P(? ? 8) ? 0.32 ? 0.09 ,
? ? 的分布列为:
?

4 0.04

5 0.2

6 0.37

7 0.3

8 0.09
8

p

∴ E? ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2 考点:频率,二项分布,离散型随机变量的分布列,期望. 22. (1)甲队战胜乙队的概率为

11 2 1 ,甲队战胜丙队的概率 ; (2)分布列略, E ( X ) ? . 4 3 4

试题分析: (1)由独立事件同时发生的概率公式进行求解; (2)利用随机变量的分布列的求 解步骤进行求解,再利用随机变量的期望公式进行求解. 试题解析: (Ⅰ)由题意,甲队获得第一名,则甲队胜乙队且甲队胜丙队,

? 甲队获得第一名的概率为 P1 ? P2 ?

1 ; ① 6 1 1 同理:乙队获得第一名的概率为 (1 ? P1 ) ? ? . ② 5 15 2 1 由①②得: P1 ? , P2 ? . 3 4 2 1 所以甲队战胜乙队的概率为 ,甲队战胜丙队的概率 . 3 4
(Ⅱ) X 可能取的值为: 0,3,6 .

2 1 1 P( X ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? ; 3 4 4 2 1 2 1 7 P( X ? 3) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ; 3 4 3 4 12 2 1 1 P( X ? 6) ? ? ? 3 4 6 X 的分布列为: 0 3 X 1 7 P 4 12 E( X ) ? 0 ? 1 7 1 11 ? 3? ? 6 ? ? . 4 12 6 4

6 1 6

9


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