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绝对值三角不等式


第二节 绝对值不等式
第1课时 绝对值三角不等式

【课标要求】
1.理解定理1及其几何说明,理解定理2. 2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题. 【核心扫描】 1.含绝对值不等式的两个性质定理的灵活运用.(重点)

2.含绝对值不等式的恒成立问题或最值问题.(难点)

自学导引
1.绝对值的几何意义 如图(1),|a|表示数轴上 坐标为a的点A 到原点的距离. 如图(2),|a-b|的几何意义是 数轴上A,B两点之间 的 距离.

2.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤ |a|+|b| ,当且仅 当 ab≥0 时,等号成立.

试一试:证明:若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|.
提示 |a+b|≤|a|+|b|?|a+b|2≤(|a|+|b|)2 ?(a+b)2≤|a|2+2|a||b|+|b|2 ?a2+2ab+b2≤a2+2|a||b|+b2 ?ab≤|ab|.

由ab=|ab|知ab≥0,
∴原不等式成立.当且仅当ab≥0时等号成立.

3.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当
且仅当 (a-b)(b-c)≥ 0 时,等号成立.

想一想:定理2的几何解释是什么? 提示 在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当

点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;当点B不在点 A,C之间时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.

基础自测 1.若两实数x,y满足xy<0,那么总有 A.|x+y|<|x-y| C.|x-y|<|x|-|y| ( ).

B.|x+y|>|x-y| D.|x+y|<|y|-|x|

解析 当xy<0时,|x+y|=||x|-|y||,|x-y|=|x|+|y|,

因为|x|+|y|>||x|-|y||,
所以|x+y|<|x-y|. 答案 A

2.对于|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,下列结论正确的是 ( A.当a,b异号时,左边等号成立 B.当a,b同号时,右边等号成立 ).

C.当a+b=0时,两边等号均成立
D.当a+b>0时,右边等号成立;当a+b<0时,左边等 号成立 答案 B

3.若|x-a|<h,|y-a|<k,则下列不等式一定成立的是 ( A.|x-y|<2h B.|x-y|<2k ).

C.|x-y|<h+k
答案 C

D.|x-y|<|h-k|

4.已知h>0,a,b∈R,命题甲:|a-b|<2h;命题乙:|a- 1|<h且|b-1|<h,则甲是乙的________条件.

答案 必要不充分

【变式1】 证明:|x-a|+|x-b|≥|a-b|. 证明 ∵|x-a|+|x-b|=|x-a|+|b-x| ≥|x-a+b-x|=|b-a|=|a-b|.

∴|x-a|+|x-b|≥|a-b|.

【变式2】 设f(x)=x2-x+c,|x-a|<1 求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)

? 与绝对值不等式有关的最值
? 例1、求函数y=|x+2|-|x-2|的最大值是________. 解析 y=|x+2|-|x-2|≤|x+2-x+2|=4.

答案 4
变式1.函数y=|x+1|+|x-2|的最小值及取得最小值时x的值分别 是 c ( ).

A.1,x∈[-1,2]
C.3,x∈[-1,2]

B.3,0
D.2,x∈[1,2]

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? 变式3.若|x-4|+|x+5|>a对于x∈R均成立,则a的取值范围为
__________.

解析 ∵|x-4|+|x+5|=|4-x|+|x+5| ≥|4-x+x+5|=9. ∴当a<9时,不等式对x∈R均成立.

答案 (-∞,9)
思考:若|x-4|— |x+5|>a对于x∈R均成立,则a的取值 范围为__________.

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变式4.(2013重庆)如果关于x的不等式|x ? 5 | ? | x ? 3 |? a的解集是?, 求a的取值范围

a?8

本题若解集不是空集,a的范围是多少?

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1 变式5. (2014重庆)若不等式|2 x ? 1| ? | x ? 2 |? a 2 ? a ? 2对任意实数x恒成立, 2 求实数a的取值范围。

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含绝对值不等式的恒成立问题

【例】 已知不等式|x+2|-|x+3|>m.
(1)若不等式有解;

(2)若不等式解集为R;
(3)若不等式解集为?.分别求出m的范围. [思维启迪] 解答本题可以先根据绝对值|x-a|的意义或绝 对值不等式的性质求出 |x + 2| - |x + 3| 的最大值和最小值, 再分别写出三种情况下m的范围.

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法一 因|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)

与两定点A(-2),B(-3)距离的差. 即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|. 由图象知(|PA|-|PB|)max=1, (|PA|-|PB|)min=-1. 即-1≤|x+2|-|x+3|≤1.

(1) 若不等式有解, m 只要比|x +2| -|x +3| 的最大值小即可,
即m<1;

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(2)若不等式的解集为R,即不等式恒成立,m只要比|x+2|-
|x+3|的最小值还小,即m<-1; (3)若不等式的解集为?,m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值 即可,即m≥1. 法二 由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1,

|x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1,
可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,即m<1. (2)若不等式解集为R,即m<-1. (3)若不等式解集为?,即m≥1.
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变式2.(2011· 江西高考)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,

则|x-2y+1|的最大值为________.

解析 |x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤

|x-1|+|2(y-2)+2|≤
1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5. 答案 5

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[思维启迪]

? ?|x-a|<m (1)利用绝对值三角不等式,推证? ? ?|y-a|<m

与|x

-y|<2m 的关系即可. (2)利用绝对值三角不等式定理,结合不等式的性质、基本不 等式定理等一一验证.

解析 (1)∵|x-a|<m,|y-a|<m, ∴|x-a|+|y-a|<2m, 又∵|(x-a)-(y-a) ≤|x-a|+|y-a|, ∴|x-y|<2m,但反过来不一定成立, 如取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,|3-1|<2×2.5, 但|3-(-2)|>2.5,|1-(-2)|>2.5, ∴|x-y|<2m 不一定有|x-a|<m 且|y-a|<m, 故“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的充分非必 要条件.

(2)|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a|=|a-b|+2|a|,∴|a+b| -2|a|≤|a-b|,①正确; 1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确; 1 1 |y|>3,∴|y|<3,
?|A|+|B|? ?x? 2 |x| 2 1 2 ? ? 2 又∵|x|<2,∴|y|<3,∴?y?<3,③正确;? =4(|A| ? 2 ? ? ? ?

+|B|2+2|A||B|)

1 ≥ (2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|, 4 |A|+|B| ∴2lg ≥lg|A||B|, 2 |A|+|B| 1 ∴lg 2 ≥2(lg|A|+lg|B|),④正确.

答案 (1)A (2)A

规律方法 |a±b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程,从右到 左是缩小过程,证明不等式可以直接用,也可利用它消去变 量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重

要工具,但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等
式的条件.

【变式 3】 已知函数 f(x)、 g(x), 设不等式|f(x)|+|g(x)|<a (a>0) 的解集为 M,不等式|f(x)+g(x)|<a (a>0)的解集是 N,则 集合 M 与 N 的关系是 A.N M C.M?N B.M=N D.M N ( ).

解析 ∵|f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|,若x0∈M, |f(x0)|+|g(x0)|<a,故|f(x0)+g(x0)|<a, 所以x0∈N.

答案 C

方法技巧 含绝对值的代数式的最值问题
【示例】 求函数f(x)=|x-3|+|x-1|的最小值,并求出取最小 值时x的范围. [思路分析] 恰当变形,利用定理2转化为定值. 解 根据定理2,f(x)=|x-3|+|x-1|≥|(x-3)-(x-1)|=

2,
当且仅当(x-3)(x-1)≥0,即x≥3或x≤1. 所以当x≥3或x≤1时,f(x)=|x-3|+|x-1|最小值为2.

方法点评 (1) 求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,
直接求 |a| +|b| 的最大值比较困难,可采用 |a+b| ,|a- b| 的最 值,及ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的 定理,达到目的,其巧妙之处令人赞叹不已. (2)求y=|x+m|+|x+n|和y=|x+m|-|x+n|的最值,其主要方

法有:
①借助绝对值的定义,即零点分段; ②利用绝对值几何意义; ③利用绝对值不等式性质定理.

题型一

利用绝对值的三角不等式证明变量不 等式

?1-x2??1-y2? 【例 1】 已知|x|<1,|y|<1,求证: ≤1. |1-xy|

[思维启迪] 本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为 普通不等式(1-x2)(1-y2)≤(1-xy)2.

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证明

|x|<1?x2<1?1-x2>0,

|y|<1?1-y2>0, x2+y2≥2xy?-x2-y2≤-2xy ?1-x2-y2+x2y2≤1-2xy+x2y2 ?(1-x2)(1-y2)≤(1-xy)2 ? ?1-x2??1-y2?≤|1-xy|

由于|x|<1,|y|<1,则|xy|<1,即 1-xy≠0. ?1-x2??1-y2? 所以 ≤1. |1-xy|

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规律方法 通过添一项、减一项的恒等变形,然后再进行组合, 构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键.

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题型二

利用绝对值的三角不等式证明函数 不等式

【例 2】 函数 f(x)的定义域为[0,1],f(0)=f(1),且对任意不 同的 x1,x2∈[0,1]都有|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|,求证:|f(x2) 1 -f(x1)|<2.
[思维启迪] 利用绝对值三角不等式进行证明.

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证明 设 0≤x1<x2≤1, 1 1 ①若 x2-x1≤ ,则|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|≤ . 2 2 1 即|f(x2)-f(x1)|< . 2 1 ②若2<x2-x1≤1,则 |f(x2)-f(x1)|=|f(x2)+f(0)-f(1)-f(x1)| =|f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)| ≤|f(x2)-f(1)|+|f(0)-f(x1)|

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<|x2-1|+|x1-0|. 1 1 而|x2-1|+|x1|=1-x2+x1=1-(x2-x1)<1- = . 2 2 综上所述,对任意不同的 x1,x2∈[0,1]都有 1 |f(x2)-f(x1)|<2.

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规律方法 对于绝对值符号内的式子,采用加减某个式子后, 重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不 等式的典型方法.

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题型三 绝对值三角不等式定理的应用 【例3】 (1)“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y, a,m∈R)的 A.充分非必要条件 ( ).

B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件

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变式 3.以下四个命题: ①若 a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|; ②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;
?x? 2 ③若|x|<2,|y|>3,则?y?<3; ? ?

|A|+|B| 1 ④若 AB≠0,则 lg 2 ≥2(lg |A|+lg |B|). 其中正确的命题有 A.4 个 C.2 个 B.3 个 D.1 个
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(

).


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