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2015-2016学年湖南省一中、株洲市八中、醴陵市一中湘东六校高二下学期期末联考数学(理)试题


湖南省东部六校 2016 年上期高二联考 理科数学试题
总分:150 分
由株洲市二中 浏阳市一中 一、

时量:120 分钟

考试时间 2016 年 7 月 2 日

湘潭县一中 攸县一中 株洲市八中 醴陵市一中联合命题

选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1. 已知集合 ? ? x 5 x ? x ? 0 , ? ? ?2,3, 4,5, 6? ,则 ? ? ? ? (
2

?

?

) D. ?5, 6?

A. ?2,3, 4? 2.复数 A.1﹣2i

B. ?2,3, 4,5? 的共轭复数是( ) B.1+2i C.﹣1+2i

C. ?3, 4?

D.﹣1﹣2i ,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为(

3.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a9 ?

?
3



A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

4.双曲线 A. y ? ?

x2 y 2 ? ? 1 ( b ? 0 )的焦距为 6 ,则双曲线的渐近线方程为( 4 b2
5 x 2
B. y ? ?



5 x 4

C. y ? ?

2 5 x 5

D. y ? ?

4 5 x 5

5.下列命题正确的个数为( ) 2 ①命题“若 x ? 1 ,则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”的逆否命题是“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ” ②若命题 P: ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ③若 p ? q 为真命题,则 p,q 均为真命题
2 2 ?

④“ x ? 3 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 ⑤在△ ABC 中,若 A ? B ,则 sin A ? sin B . A. 1 个 B.2 个 C.3 个

2

2 2 正视图 2 侧视图

D.4 个

6. 已知几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球表面积为 ( ) A. 8? B. 12? C. 24? D. 32?

2

2

俯视图

7. 下列三个数:a=ln A. a>c>b

,b=lnπ ﹣π ,c=ln3﹣3,大小顺序正确的是( C. b>c>a D. b>a>c



B. a>b>c

8.函数 f ? x ? ? 1 ? log 2 x 与 g ? x ? ? 2

1? x

在同一直角坐标系下的图象大致是(
第1页



A.

B.

C.

D.

9.在底面半径为 1,高为 2 的圆柱内随机取一点 P ,则点 P 到圆柱下底面的 圆心的距离大于 1 的概率为( ) A.

1 4

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

10. 如图所示的程序框图中,若 f ( x) ? x2 ? x ? 1 , g ( x) ? x ? 4 且 h( x) ? m
恒成立,则 m 的最大值是( A. 0 B. 1 ) C. 3 D. 4

?y ? 0 ? 11. 已知变量 x, y 满足 ? y ? x ,若目标函数 z ? ax ? by (b > a > 0) 的 ?y ? 2? x ?
最大值为 9,则 A. 1
2

2 8 ? 的最小值为( a b
B. 2

) C. 10 D.12

12.已知 F 为抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点,M 点的坐标为 (4, 0) , 过点 F 作斜率为 k1 的直线与抛物线交于 延长 AM ,BM 交抛物线于 C ,D 两点, 设直线 CD 的斜率为 k 2 , 且 k1 ? 2k2 , 则 a ?( A ,B 两点, A. 8 B. 8 2 C. 16 D. 16 2 )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 = . .

2? ? 14.二项式 ? x ? 1? ? x ? ? 的展开式中的常数项是 x? ?

6

a c 15.已知 a、b、c 成等比数列,a、x、b 成等差数列,b、y、c 也成等差数列,则 + 的值__________. x y 16.如图,空间四边形 ??CD 中, ?C?D ? 45? , cos ??C? ?

15 , 5
则 ?? ? ?D

?C ? 15 ? 10 , ?D ? 2 5 , ?C ? 6 .若点 ? 在线段 ?C 上运动,
的最小值为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,且 m ? n . (I)将 y 表示为 x 的函数,若记此函数为 f ( x) ,求 f ( x) 的单调递增区间;
第2页

(Ⅱ)已知 a , b, c 分别为 △ ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f ( ) ? 3 ,且 a ? 2, b ? c ? 4 ,求

A 2

△ ABC 的面积.

18 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 ABCD 是 正 方 形 , 侧 棱 PD ? 底 面 , PD ? DC , E 是 PC 的中点. ABCD (1)证明 PA // 平面 BDE ; (2)求二面角 B ? DE ? C 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分)某校高三学生有两部分组成,应届生与复读生共 2000 学生,期末考试数学成绩 换算为 100 分的成绩如图所示,从高三的学生中,利用分层抽样,抽取 100 名学生的成绩绘制成频率分布 直方图:

(1)若抽取的学生中,应届生与复读生的比为 9﹕1,确定高三应届生与复读生的人数; (2)计算此次数学成绩的平均分; (3)若抽取的 [80,90) , [90,100] 的学生中,应届生与复读生的比例关系也是 9﹕1,从抽取的 [80,90) ,

[90,100] 两段的复读生中,选两人进行座谈,设抽取的 [80,90) 的人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列与期
望值。 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,离心率为 a 2 b2

e?

8 1 , 过左焦点的直线与椭圆交于 M , N 两点,MN ? , 且n 2 i s 3 2

?M FN n i s? 2

? M N Fn i s ? ? M F 2 N

2



(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 过点 D (4, 0) 的直线 l 与椭圆有两个不同的交点 A, B , 且点 A 在 D、B 之间, 试求 △AOD 和 △BOD 面积之比的取值范围(其中 O 为坐标原点) .

第3页

a2 21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ,g ( x) ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x
(Ⅰ)若 x ? 1 是函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x1,x2 ??1, e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围. 请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答,若多做,按所做的第一个题目计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P , E 为⊙ O 上一点,AE=AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , (Ⅰ)求 PF 的长度. E (Ⅱ)若圆 F 与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度。
A C F O B D P

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?

? x ? cos? ) ? 2 ,圆 C 的方程为 ? ??为参数? . 4 ? y ? sin ?

(1) 把直线 l 化为直角坐标方程和圆 C 的方程化为普通方程; (2) 求圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分,选修 4—5:不等式选讲)已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| . (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a2 ? a 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围。

第4页

理科数学答案 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 A 5 D 6 B 7 A 8 C 9 C 10 C 11 B 12 B

?y ? 0 ? 11.【解析】画出不等式组 ? y ? x 表示的可行域,如图中阴影部分所示,即△ AOB 区域,将目标函数 ?y ? 2? x ?
z ? ax ? by 变形得 y ? ?

a z a x ? ,由 b > a > 0 得 ?1 ? ? ? 0 ,由图可知,当目标函数 z ? ax ? by 对应 b b b

的直线经过点 A 时, z 取得最大值.由 ?

?x ? y ? 2 ? 0 ,解得 A (1,1) .所以目标函数的最大值为 ?y ? x

2 8 1 2 8 1 2b 8a 1 2b 8a +10) ? (2 ? ? 10) ? 2 ,当且仅当 zmax ? a ? b ? 9 .则 ? ? (a ? b)( ? ) ? ( ? a b 9 a b 9 a b 9 a b
2 8 a ? 3, b ? 6 时取等号,即 ? 的最小值为 2.故选 B. a b

1 a a a2 2 x? y? , 12. 【解析】 如下图所示, 设直线 AB : 代入抛物线方程, 可得 y ? 设 A( x1 , y1 ) , y ? ? 0, k1 4 k1 4

B( x2 , y2 ) , y 1 ? y2 ?
y2 ?

a2 a x ?4 , y1 y2 ? ? ,∴直线 AM : x ? 1 y ? 4 ,代入抛物线方程,可得 4 k1 y1

?4 a ?4 a a( x1 ? 4) ,同理, y4 ? , y ? 4a ? 0 ,设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) ,∴ y3 ? y1 y2 y1
?

a2 y ? y4 y3 ? y4 a a 1 yy 1 a k2 ? 3 ? ? ? ? ? ? 1 2 ? ? ? 4 ? k1 , x3 ? x4 1 ( y 2 ? y 2 ) y3 ? y4 ?4a ? ?4a 4 y1 ? y2 4 a 16 3 4 a y1 y2 k1
又∵ k1 ? 13、2

2k2 ,∴
14、160

a 1 ? ? a ? 8 2 ,故选 B. 16 2
15、2 16、7

17.【解析】 (I)由 m ? n 得 m ? n ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? y ? 0 ,……………(2 分) 所以 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? 1 ? cos 2x ? 3 sin 2x ? 2sin(2x ? ) ? 1 …(4 分)
2

由?

? ? ? ? ? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ?, k ? Z 得 ? ? k ? ? x ? ? k ?, k ? Z , 2 6 2 3 6
第5页

? 6

? ? ? ) ? 1 的单调递增区间为 [? ? k ?, ? k ?], k ? Z .………(6 分) 6 3 6 ? A ? ? ? (Ⅱ)? f ( ) ? 3,? 2sin( A ? ) ? 1 ? 3 ,即 sin( A ? ) ? 1 ,? A ? ? ? 2k ?, k ? Z , 6 2 6 6 2 ? 又 0 ? A ? ? ,? A ? , ………………………(8 分) 3
即函数 y ? 2 sin(2 x ? 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,即 4 ? b ? c ? bc ,
2 2 2 2 2

4 ? (b ? c)2 ? 3bc ,又 b ? c ? 4 ,? bc ? 4 ,
1 1 3 ? S△ABC ? bc sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

……………(10 分)

……………………(12 分)

18.解法一:(1)连结 AC ,设 AC 与 BD 交于 O 点,连结 EO . ∵底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, ∴ OE // PA ,…(4 分) ∵ OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE ,∴ PA // 平面 BDE .…(6 分) 解法二: (1)以 D 为坐标原点, 分别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 设 PD ? DC ? 2 , 则 A(2, 0, 0), P(0, 0, 2), E (0,11), B(2, 2, 0) . ??? ? ???? ??? ? ?? ? ∴ PA ? (2,0, ?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2, 2,0) ,设 n1 ? ( x, y, z ) 是平面 BDE 的一个法向量, 则由
? ? ? ???? ? ? ? ? ?n1 ? DE ? 0 ? y ? z ? 0 得? ,取y ? ?1, 得n1 ? (1, ?1,1). ? ? ??? ? ?? ? ?n1 ? DB ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0

??? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ∵ PA ? n1 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ PA ? n1 , 又PA ? 平面BDE ,∴ PA // 平面BDE. ……(6 分) ?? ? ?? ? ??? ? (2) 由(1)知 n1 ? (1, ?1,1) 是平面 BDE 的一个法向量, 又 n2 ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量.设二面角 ?? ? ?? ? B ? DE ? C 的平面角为 ? ,由题意可知 ? ?? n1 , n2 ? .
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 2 3 ? ?? ? ? ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? .……………………(12 分) 3 | n1 | ? | n2 | 3?2

19.解(1)因为抽取的应届生与复读生的比为 9﹕1,所以应届生抽取 90 人,复读生抽取 10 人,应届生的 人数为 90 ? 20 ? 1800 ,复读生的人数为 2000 ? 1800 ? 200 .…(3 分) (2) 10 ? (0.01 ? a ? 0.02 ? 0.03) ? 1,? a ? 0.04 , 平均分为 10 ? (0.01? 65 ? 0.04 ? 75 ? 0.02 ? 85 ? 0.03 ? 95) ? 82 …(6 分)
第6页

(3)根据频率分布直方图可知,抽取的 [80,90) , [90,100] 的学生分别为 100 ? 0.2 ? 20,100 ? 0.3 ? 30 , 抽取的复读生的人数分别为 2,3 人 抽取的 [80,90) 的人数为随机变量 ? ,可知 ? ? 0,1, 2
1 1 2 C32 3 C2 C3 3 C2 1 可知 p (? ? 0) ? 2 ? ; p (? ? 1) ? ? ; p (? ? 2) ? 2 ? ,…(10 分) 2 C5 10 C5 5 C5 10

?
p

0

1

2

3 3 10 5 3 3 1 4 可知 E (? ) ? ? 0 ? 1? ? 2 ? ? .……(12 分) 10 5 10 5

1 10

20. 【 解 析 】( Ⅰ ) 在 △MF2 N 中 , 由 正 弦 定 理 得 2 MN ? MF2 ? NF2 , 由 椭 圆 定 义 得

MN ? MF2 ? NF2 ? 4a ,所以 4a ? 3 MN ? 8 ,故 a ? 2 ,又 e ?
以椭圆的标准方程为

1 2 2 2 ,所以 c ? 1 , b ? a ? c ? 3 ,所 2

x2 y 2 ? ? 1 .……5 分 4 3

x2 y 2 ? ? 1 联立, (Ⅱ)依题意知直线 l 的斜率存在且不为 0,设 l 的方程为 x ? my ? 4 ,与椭圆方程 4 3
消去 x 整理得 (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 ,
2 由 Δ ? 0 ,解得 m ? 4 .
]

………………7 分

?24 m ? ? y1 ? y2 ? 3m2 ? 4, ? 设 A( x , y ), B( x , y ) ,则 y1 ? y2 ? 36 . ? 3 m2 ? 4 ?
1 1 2 2

① ②
………………8 分

令? ?

S△AOD S△BOD

1 OD ? y 1 y 2 ? 1 且 0 ? ? ? 1. ,则 ? ? 1 OD ? y2 y2 2 ,

………………9 分

?24m ? (? ? 1) y2 ? ? ? 3m 2 ? 4 (? ? 1) 2 16m 2 将 y1 ? ? y2 代人①②得 ? ,消去 y 2 得 , ? ? 3m 2 ? 4 ? ? y 2 ? 36 2 ? 3m 2 ? 4 ?

第7页

4(? ? 1)2 即m ? . 10? ? 3? 2 ? 3
2
2 由 m ? 4 ,得

………………10 分

(? ? 1)2 ? 1 ,所以 ? ? 1 且 3? 2 ? 10? ? 3 ? 0 , 2 10? ? 3? ? 3

解得

1 ? ? ? 1 或1 ? ? ? 3 . 3
1 1 1) .………………12 分 ? ? ? 1 故 △AOD 和 △BOD 面积之比的取值范围为 ( , 3 3 ,
a2 ? ln x , x ? (0,??) x

又? 0 ? ? ? 1 ,∴

21. 【答案】解:(Ⅰ)由已知 h( x) ? 2 x ?

所以 h?( x) ? 2 ?

a2 1 ? x2 x

2 因为 x ? 1 是函数 h( x) 的极值点,所以 h?(1) ? 0 ,即 3 ? a ? 0 因为 a ? 0 ,所以 a ? 3 ………3 分

(Ⅱ)对任意的 x1,x2 ??1, e? 都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立, 等价于对任意的 x1,x2 ??1, e? 都有 ? f ( x)?min ≥? g ( x2 )?max ……4 分 当 x ??1, e? 时, g ?( x) ? 1 ?

1 ? 0 ,所以 g ( x) ? x ? ln x 在 ?1,e? 上是增函数 x
……6 分

所以 ? g ( x)?max ? g (e) ? e ? 1 因为 f ?( x) ? 1 ?

a 2 ( x ? a)( x ? a) ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 x2 x2

①当 0 ? a ? 1 且 x ??1, e? 时, f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

……7 分

所以函数 f ? x ? ? x ?
2

a2 f ? x ?? ? f ?1? ? 1 ? a 2 在 ?1,e? 上是增函数∴ ? ? ? min x

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意 ……8 分

②当 1≤ a ≤ e 时 若 1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0
x2

第8页

若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0
x2

∴函数 f ? x ? ? x ?

a2 在 ?1,a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数 x

∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a 由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥

e ?1 e ?1 又 1≤ a ≤ e ,∴ ≤a≤e 2 2

……9 分

③当 a ? e 且 x ? ?1,e? 时, f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0
x2

∴函数 f ? x ? ? x ?

a2 在 ?1,e? 上是减函数 x a2 a2

∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? e ? ? e ? e , 由 e ? e ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e ……10 分 又 a ? e ,∴ a ? e 综上所述, a 的取值范围为 ?

? e ?1 ? ,?? ? ? 2 ?

……12 分

22. 试题解析: (Ⅰ)连结

OC , OD, OE ,
由同弧对应的 圆周角与圆心 角之间的关系 结合题中条件 弧长 AE 等于 弧长 AC 可得

?CDE ? ?AOC
,

第9页

E A C O F B D P

又 ?CDE ? ?P ? ?PFD , ?AOC ? ?P ? ?OCP , 从而 ?PFD ? ?OCP ,故 ?PFD ∽ ?PCO , ∴

PF PD ? , PC PO

4分

PC ? PD 12 ? ? 3. 6分 PO 4 (Ⅱ)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r ,因为 OF ? 2 ? r ? 1 即 r ? 1 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT
由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? 则 PT 2 ? PB ? PO ? 2 ? 4 ? 8 ,即 PT ? 2 2 10 分

23.(1)直线 l 的方程为 x ? y ? 2 . 圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. ……5 分 (2) 易求得圆心 C 到直线 l 的距离为 d ?

2 2

? 2,

所以距离的最大值为 d ? r = 2 ? 1 . ……10 分

24.试题解析: (1)原不等式等价于 ? 解得 x ? ?

? x ? ?1 ??1 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? , ??2 x ? 3 ? 2 ? 3 ?2 x ? 3

3 3 或 x ?? 或 x ? , 2 2 3 3 ∴不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? } .(5 分) 2 2
(2)依题意得:关于 x 的不等式 | x ?1| ? | x ? 1|? a2 ? a 在 R 上恒成立, ∵ | x ? 1| ? | x ? 1|?| ( x ? 1) ? ( x ? 1) |? 2 ,
2 2 ∴ a ? a ? 2 ,即 a ? a ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 2 ,

∴实数 a 的取值范围是 ?1 ? a ? 2 .(10 分)

第 10 页



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