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浙江省杭州市学军中学2016届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


2015-2016 学年浙江省杭州市学军中学高三(上)第二次月考数 学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知全集为 U=R,集合 M={x|x ﹣2x﹣3≤0},N={y|y=x +1},则 M∩(?UN)为( A.{x|﹣1≤x<1} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 2.已知

a,b,c,d 为实数,且 c>d.则“a>b”是“a﹣c>b﹣d”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )
2 2



3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π) ,且函数的图象如图所示,则点(ω, φ)的坐标是( )

A.

B.

C.

D.

4.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”, 例如解析式为 y=2x +1,值域为{9}的“孪生函数”就有三个,那么解析式为 y=log2(x ﹣1) , 值域为{1,5}的“孪生函数”共有( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 5.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) ,其中 φ 为实数,且 f(x)≤f( P=f( ) ,Q=f( ) ,R=f( )对 x∈R 恒成立.记 )
2 2

) ,则 P,Q,R 的大小关系是(

A.R<P<Q B.Q<R<P C.P<Q<R D.Q<P<R 6.已知函数 y=sinx+acosx 的图象关于 x= ( A.x= ) 对称 B.x= 对称 C.x= 对称 D.x=π 对称 对称,则函数 y=asinx+cosx 的图象关于直线

7.对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*

设 f(x)=(2x﹣1)*(x

﹣1) , 且关于 x 的方程为 ( f x) =m (m∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x1, x2, x3, 则 x1?x2?x3 的取值范围是( ) A. B. C. D.

8.已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= 个零点,则 a 的取值范围是( A.[ , ]∪[ , ] )

﹣a(x≠0)有且仅有 3

B. ( , ]∪[ , ) C. ( , ]∪[ , ) D.[ , ]∪[ , ]

9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a |﹣3a ) , 若?x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,则实数 a 的取值范围为( A.[ ] B.[ ] C.[ ] ) D.[ ]

2

2

2

10.定义在 R 上的函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f (x)﹣mf(x)

2

+m﹣1=0(其中 m>2)有 n 个不同的实数根 x1,x2,…xn,则 f( A. B. C. D.

xi)的值为(



二、填空题(本大题共 7 小题,共 28 分. ) 2 11.函数 f(x)=cos x+sinxcosx﹣1 的最小正周期是 是 . 12.设函数 f(x)=ln(1+|x|)﹣ 是 .
2

,单调递增区间

,则使得 f(x)>f(3x﹣1)成立的 x 的取值范围

13.若已知不等式 2x﹣1>m(x ﹣1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立,则 x 的取 值范围为 .

14.已知 α,β 为锐角,sinα=

,sinβ=

,则 α+2β=



15.设函数 f(x)= 函数 g(x)=3sin(ωx+φ)﹣2,则

,对任意 x∈R 都有 的值为 .

=

,若

16.已知定义在 R 上的单调递增奇函数 f(x) ,若当 0≤θ≤ 2m﹣2)<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是

时,f(cos θ+2msinθ)+f(﹣ .

2

17.若实数 x,y 满足 值为 .

,则 xy 的最小

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 18.已知集合 P= ,y=log2(ax ﹣2x+2)的定义域为 Q.
2

(1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围; (2)若方程 ,求实数 a 的取值的取值范围.

19.已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0; (1)若 y=f(x)在 上单调递增,求 ω 的取值范围; 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数

(2)令 ω=4,将函数 y=f(x)的图象向左平移

y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R 且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 20 个 零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b﹣a 的最小值. 20.已知函数 f(x)=ax ﹣x﹣3, (1)求 a 的范围,使 y=f(x)在[﹣2,2]上不具单调性; (2)当 时,函数 f(x)在闭区间[t,t+1]上的最大值记为 g(t) ,求 g(t)的函数表达
2

式; (3)第(2)题的函数 g(t)是否有最值,若有,请求出;若没有,请说明理由. 21.已知函数 ft(x)=cos x+2tsinxcosx﹣sin x (1)若 ,试求 sin2α 的值.
2 2

(2)定义在 的图象与 和.

上的函数 g(x)的图象关于 x=

对称,且当 x≤

时,g(x)

(x)的图象重合.记 Mα={x|g(x)=α}且 Mα≠?,试求 Mα 中所有元素之

22.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a+2, (1)若 f(x)≤0 的解集 A?[0,3],求实数 a 的取值范围; 2 (2)若 g(x)=f(x)+|x ﹣1|在区间(0,3)内有两个零点 x1,x2(x1<x2) ,求实数 a 的 取值范围.

2

2015-2016 学年浙江省杭州市学军中学高三(上)第二次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 2 1.已知全集为 U=R,集合 M={x|x ﹣2x﹣3≤0},N={y|y=x +1},则 M∩(?UN)为( A.{x|﹣1≤x<1} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】先化简集合 M,再计算 M∩(CUN) . 【解答】解:∵M={x|(x﹣3) (x+1)≤0}={x|﹣1≤x≤3}, 2 N={y|y=x +1}={y|y≥1},∴?UN={y|y<1}, ∴M∩(CUN)={x|﹣1≤x<1} 故选:A. 【点评】本题主要考查了集合的交,补运算,属基础题型,较为简单.



2.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d.则“a>b”是“a﹣c>b﹣d”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等关系与不等式. 【分析】由题意看命题“a>b”与命题“a﹣c>b﹣d”是否能互推,然后根据必要条件、充分条 件和充要条件的定义进行判断. 【解答】解:∵a﹣c>b﹣d,c>d 两个同向不等式相加得 a>b 但 c>d,a>b?a﹣c>b﹣d. 例如 a=2,b=1,c=﹣1,d=﹣3 时,a﹣c<b﹣d. 故选 B. 【点评】此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义,是一道基础题. 3.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π) ,且函数的图象如图所示,则点(ω, φ)的坐标是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题.

【分析】根据图象可知函数半个周期为

求得 ω;再根据函数过点

,把此点代入函数即可求得 φ,进而可知点(ω,φ)的坐标. 【解答】解: ∴ω=4,它的图象经过点 ∴ ∴点(ω,φ)的坐标是 故选 B 【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式的问题.属基础题. 4.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”, 例如解析式为 y=2x +1,值域为{9}的“孪生函数”就有三个,那么解析式为 y=log2(x ﹣1) , 值域为{1,5}的“孪生函数”共有( ) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 【考点】函数的值域. 【专题】新定义;分类讨论;转化法;函数的性质及应用. 【分析】 先确定函数的自变量是在集合{ }, {﹣ }, {﹣ , }取其一, 再在{ }, {﹣ },{﹣ , }取其一合并而成,故有 9 中可能. 2 【解答】解:根据题意,因为函数 y=f(x)=log2(x ﹣1)的值域为{1,5}, 则对于各函数值考察如下: ①令 log2(x ﹣1)=1,解得 x=± , 所以,函数的定义域中对于± 有下列三种可能, { },{﹣ },{﹣ , }; 2 ②令 log2(x ﹣1)=5,解得 x=± , 所以,函数的定义域中对于± 有下列三种可能, { },{﹣ },{﹣ , }; 而函数 f(x)的定义域是在①,②中各取一个集合,再取并集而构成, 所以,有不同的抽取方法 N=3×3=9 种. 故答案为:D. 【点评】本题主要考查了函数值域的应用,即根据函数的值域确定函数自变量取值的集合, 体现了分类讨论和转化的解题思想,属于中档题. )对 x∈R 恒成立.记 )
2 2 2

, ,得 ,∴ , ,取 k=0,得 .

5.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) ,其中 φ 为实数,且 f(x)≤f( P=f( ) ,Q=f( ) ,R=f(

) ,则 P,Q,R 的大小关系是(

A.R<P<Q B.Q<R<P C.P<Q<R D.Q<P<R 【考点】函数恒成立问题. 【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】由 f(x)≤f(

)对 x∈R 恒成立可得 ) ,Q=f(

φ=2k ) ,R=f(

,k∈Z.由此求得 φ )的取值范围比较

值,代入原函数解析式,然后求得 P=f( 大小.

【解答】解:∵f(x)=sin(2x+φ) ,且 f(x)≤f( ∴ φ= φ=2k ,k∈Z. )=sin(2x+ + + + )=sin )=sin )=sin ) . ,k∈Z.

)对 x∈R 恒成立,

∴f(x)=sin(2x+ 则 P=f( Q=f( R=f( )=sin(2× )=sin(2× )=sin(2×

∈(﹣1,﹣ ∈(﹣ ,0) ,

) ,

∈(0,1) .

∴P<Q<R. 故选:C. 【点评】本题考查了函数恒成立问题,考查了转化思想方法,考查了三角函数的值得求法, 是中档题.

6.已知函数 y=sinx+acosx 的图象关于 x= ( A.x= ) 对称 B.x= 对称 C.x=

对称,则函数 y=asinx+cosx 的图象关于直线

对称 D.x=π 对称

【考点】正弦函数的对称性;两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题. 【分析】利用两角和的正弦函数化简函数 y=sinx+acosx 为 y= 过函数的图象关于 x= 得 a=tanφ=tan(kπ﹣ 对称,推出 )=﹣ +φ=kπ+ sin(x+φ) ,tanφ=a,通 ,由此可求

,k∈z,可求得 φ=kπ﹣

,将其代入函数 y=asinx+cosx 化简后求对称轴即可. sin(x+φ) , (令 tanφ=a)

【解答】解:y=sinx+acosx 变为 y= 又函数的图象关于 x= ∴ +φ=kπ+ 对称,

,k∈z,可求得 φ=kπ﹣



由此可求得 a=tanφ=tan(kπ﹣ 函数 y= sinx+cosx=

)=﹣

, )

sin(x+θ) , (tanθ=﹣ ,k∈z,

其对称轴方程是 x+θ=kπ+ 即 x=kπ+ 又 tanθ=﹣ ﹣θ ,故 θ=k1π﹣

,k1∈z + =(k﹣k1)π+ ,k﹣

故函数 y=asinx+cosx 的图象的对称轴方程为 x=(k﹣k1)π+ k1∈z, 当 k﹣k1=1 时,对称轴方程为 x=

故选 C. 【点评】 本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质, 是三角函数中综合性比较强的 题目,比较全面地考查了三角函数的图象与性质.

7.对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*

设 f(x)=(2x﹣1)*(x

﹣1) , 且关于 x 的方程为 ( f x) =m (m∈R) 恰有三个互不相等的实数根 x1, x2, x3, 则 x1?x2?x3 的取值范围是( ) A. B. C. D.

【考点】分段函数的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由新定义,可以求出函数的解析式,进而求出 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有 三个互不相等的实数根时, 实数 m 的取值范围, 及三个实根之间的关系, 进而求出 x1?x2?x3 的取值范围. 2 【解答】解:由 2x﹣1≤x﹣1,得 x≤0,此时 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)=﹣(2x﹣1) +2 (2x﹣1) (x﹣1)﹣1=﹣2x, 2 由 2x﹣1>x﹣1,得 x>0,此时 f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)=(x﹣1) ﹣(2x﹣1) (x﹣1) 2 =﹣x +x, ∴f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1)= ,

作出函数的图象可得, 要使方程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,不妨设 x1<x2<x3, 则 0<x2< <x3<1,且 x2 和 x3,关于 x= 对称, ∴x2+x3=2× .则 x2+x3 ,0<x2x3 ,等号取不到.

当﹣2x= 时,解得 x=﹣ , ∴﹣ <x1<0, ∵0<x2x3 ∴ ,

<x1?x2?x3<0, ,

即 x1?x2?x3 的取值范围是 故选:A.

【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断,根据已知新定义,求出函数的解析式,并分 析出函数图象是解答的关键. 8.已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= 个零点,则 a 的取值范围是( A.[ , ]∪[ , ] )

﹣a(x≠0)有且仅有 3

B. ( , ]∪[ , ) C. ( , ]∪[ , ) D.[ , ]∪[ , ]

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由 f(x)= 得到答案. 【解答】解:因为 f(x)= ﹣a=0,故 =a; ﹣a=0,故 =a;分 x>0 和 x<0 的情况讨论,显然有 a≥0,从而

分 x>0 和 x<0 的情况讨论,显然有 a≥0. 若 x>0,此时[x]≥0; 若[x]=0,则 =0; < ≤1,即 <a≤1.

若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1,故 且 随着[x]的增大而增大.

若 x<0,此时[x]<0;

若﹣1≤x<0,则

≥1 ; < ,即 1≤a< ,

若 x<﹣1,因为[x]≤x<﹣1;[x]≤x<[x]+1,故 1≤ 且 随着[x]的减小而增大.

又因为[x]一定是不同的 x 对应不同的 a 值. 所以为使函数 f(x)= ﹣3. 若[x]=1,有 <a≤1; 若[x]=2,有 <a≤1; 若[x]=3,有 <a≤1; 若[x]=4,有 <a≤1; 若[x]=﹣1,有 a>1; 若[x]=﹣2,有 1≤a<2; 若[x]=﹣3,有 1≤a< ; 若[x]=﹣4,有 1≤a< 综上所述, <a≤ 或 ≤a< , 故选:B. 【点评】本题考查了函数的零点问题,考查了分类讨论思想,考查了新定义问题,是一道中 档题.
2 2 2

﹣a 有且仅有 3 个零点,只能使[x]=1,2,3;或[x]=﹣1,﹣2,

9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a |﹣3a ) , 若?x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,则实数 a 的取值范围为( A.[ ] B.[ ] C.[ ] ) D.[ ]

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.

【分析】可以去绝对值号得到

,这样根据 f(x)为奇函

数便可画出 f(x)的图象,而 f(x﹣1)是由 f(x)的图象向右平移 1 个单位得到,根据 f (x﹣1)≤f(x)便知 f(x﹣1)的图象恒在 f(x)图象的下方,或部分重合,结合图象便可 2 2 得到 1﹣3a ≥3a ,这样解该不等式便可得出实数 a 的取值范围.

【解答】解:

=



∵f(x)为奇函数,图象关于原点对称,∴作出 f(x)的图象如下:

而函数 y=f(x﹣1)的图象是将 y=f(x)图象向右平移 1 个单位得到的; 要使任意的 x∈R,恒有 f(x﹣1)≤f(x) ,只需 f(x﹣1)的图象恒在 f(x)的图象下方或 部分重合; ∴只需 y=f(x﹣1)与 x 轴最左边的交点在 y=f(x)与 x 轴最右边交点的右边或重合; ∴1﹣3a ≥3a ; 即 ∴ ; ; .
2 2

∴实数 a 的取值范围为

故选:B. 【点评】考查含绝对值函数的处理方法:去绝对值号,能画出分段函数的图象,一次函数及 常数函数图象的画法,函数图象沿 x 轴方向上的平移变换,f(x﹣1)≤f(x)反映在函数图 象上的特点,以及数形结合解题的方法.

10.定义在 R 上的函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f (x)﹣mf(x)

2

+m﹣1=0(其中 m>2)有 n 个不同的实数根 x1,x2,…xn,则 f( A. B. C. D.

xi)的值为(



【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】解 f (x)﹣mf(x)+m﹣1=0 得:f(x)=m﹣1,或 f(x)=1,结合函数 f(x) =
2

2

,的图象求出

xi 的值,代入可得答案.

【解答】解:解 f (x)﹣mf(x)+m﹣1=0 得:f(x)=m﹣1,或 f(x)=1, 分段函数 f(x)= 由图可知, ,的图象如图所示

当 f(x)=1 时,它有三个根 1 或 2 或 3. 当 f(x)=m﹣1 时,它有两个根 x1,x2,且这两个根关于 x=2 对称. ∴x1+x2=4, 2 故方程 f (x)﹣mf(x)+m﹣1=0(其中 m>2)有 5 个不同的实数根, xi=10,

故 f(

xi)= ,

故选:B 【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识,考查运算求解 能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题. 二、填空题(本大题共 7 小题,共 28 分. ) 11.函数 f(x)=cos x+sinxcosx﹣1 的最小正周期是 π ,单调递增区间是 [kπ﹣ 2kπ+ ],k∈Z .
2



【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】定义法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 利用辅助角公式结合倍角公式将函数进行化简, 利用函数周期和单调性的性质进行 求解即可.

【解答】 解: f (x) =cos x+sinxcosx﹣1= (2x+ )﹣ , =π,由 2kπ﹣ ,k∈Z,

2

[2cos x+2sinxcosx﹣2]= (sin2x+cos2x﹣1) =

2

sin

则函数的周期 T= 得 kπ﹣ ≤x≤2kπ+

≤2x+

≤2kπ+

,k∈Z,

即函数的单调递增区间为[kπ﹣ 故答案为:π,

,2kπ+

],k∈Z, .

【点评】 本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的性质的应用, 利用辅助角公式进行化 简是解决本题的关键. 12.设函数 f(x)=ln(1+|x|)﹣ ( , ) . ,则使得 f(x)>f(3x﹣1)成立的 x 的取值范围是

【考点】函数恒成立问题. 【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数的表达式可知函数 f(x)为偶函数,判断函数在 x 大于零的单调性为递 增,根据偶函数关于原点对称可知,距离原点越远的点,函数值越大,可得|x|>|3x﹣1|,解 绝对值不等式即可. 【解答】解:f(x)=ln(1+|x|)﹣ ∵f(﹣x)=f(x) , ∴函数 f(x)为偶函数, 当 x>0 时,f(x)=ln(1+x)﹣ 值函数单调递增, ,定义域为 R,

根据偶函数性质可知:得 f(x)>f(3x﹣1)成立, ∴|x|>|3x﹣1|, 2 2 ∴x >(3x﹣1) , ∴x 的范围为( , ) , 故答案为( , ) . 【点评】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题,属于基础题型,应牢 记. 13.若已知不等式 2x﹣1>m(x ﹣1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立,则 x 的取 值范围为 .
2

【考点】一元二次不等式与二次函数.

【专题】计算题;分类讨论;转化思想;分类法. 【分析】构造变量 m 的函数,对 x ﹣1>0,x ﹣1<0,x ﹣1=0,进行分类讨论,利用|m|≤2 时函数的取值,分别求出 x 的范围,然后求并集即可. 2 2 【解答】解:构造变量 m 的函数求解:2x﹣1>m(x ﹣1)即: (x ﹣1)m﹣(2x﹣1)<0 2 构造关于 m 的函数 f(m)=(x ﹣1)m﹣(2x﹣1) ,|m|≤2 即﹣2≤m≤2. 1)当 x ﹣1>0 时,则 f(2)<0 从而 2x ﹣2x﹣1<0 解得: 又 x ﹣1>0,即 x<﹣1 或 x>1,所以 1<x<
2 2 2 2 2 2 2 2


2

2)当 x ﹣1<0 时,则 f(﹣2)<0 可得﹣2x ﹣2x+3<0 从而 2x +2x﹣3>0 解得 x<
2

或 x>

又﹣1<x<1,从而

<x<1

3)当 x ﹣1=0 时,则 f(m)=1﹣2x<0 从而 x> ,故 x=1; 综上有: 故答案为: 【点评】本题考查一元二次不等式与二次函数,考查转化思想,分类讨论思想,是中档题. <x<

14.已知 α,β 为锐角,sinα=

,sinβ=

,则 α+2β=



【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】函数思想;综合法;三角函数的图像与性质;不等式的解法及应用. 【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得 cosα 和 cosβ,进而由二倍角公式可得 sin2β 和 cos2β,可得 cos(α+2β)的值,缩小角的范围可得. 【解答】解:∵α,β 为锐角,sinα= ∴cosα= ,cosβ= ,
2 2

,sinβ=



∴sin2β=2sinβcosβ= ,cos2β=cos β﹣sin β= , ∴cos(α+2β)= 又 sinα= ∴0<α< < ,sinβ= 且 0<β< , , < , =

∴0<α+2β< 故答案为:

,∴α+2β= .

【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及知值求角问题和二倍角公式,缩小角的 范围是解决问题的关键,属中档题.

15.设函数 f(x)= 函数 g(x)=3sin(ωx+φ)﹣2,则

,对任意 x∈R 都有 的值为 ﹣2 .

=

,若

【考点】余弦函数的图象. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由题意可得函数 f(x)的图象关于直线 x= 可得 sin(ω? +φ)=0,从而求得 g( 对称,故 f( )=cos(ωx+φ)=±1,

)=3sin(ω?

+φ)﹣2 的值. 的图象关于直线 x= 对称, +φ)﹣2=﹣2,

【解答】解:由题意可得函数 f(x)= 故 f( )=cos(ωx+φ)=±1,∴sin(ω?

+φ)=0,∴g(

)=3sin(ω?

故答案为:﹣2. 【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性,同角三角函数的基本关系,属于基础题.
2

16.已知定义在 R 上的单调递增奇函数 f(x) ,若当 0≤θ≤ 2m﹣2)<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 m>﹣ 【考点】函数恒成立问题. 【专题】分类讨论;换元法;函数的性质及应用.

时,f(cos θ+2msinθ)+f(﹣ .

【分析】根据函数为奇函数可得﹣f(﹣2m﹣2)=f(2m+2) ,利用单调性可得 cos θ+2msinθ 2 <2m+2 恒成立. 利用换元法令 t=sinθ∈[0, 1], 真理为 t ﹣2mt+2m+1>0 在 t∈[0, 1]恒成立. 对 二次函数的对称轴分别讨论,求出区间内的最小值即可. 【解答】解:由条件可得:f(cos θ+2msinθ)<﹣f(﹣2m﹣2) 由于函数是定义在 R 上的单调递增奇函数, 2 ∴cos θ+2msinθ<2m+2 恒成立. 设 t=sinθ∈[0,1], 2 ∴t ﹣2mt+2m+1>0 在 t∈[0,1]恒成立. 2 只要 g(t)=t ﹣2mt+2m+1 在[0,1]的最小值大于 0 即可. (1)当 m<0 时,最小值为 g(0)=2m+1>0,所以可得:0>m>﹣ (2)当 0≤m≤1 时,最小值为 g(m)=﹣m +2m+1>0,所以可得:0≤m≤1 (3)当 m>1 时,最小值为 g(1)=2>0 恒成立,得:m>1, (13 分) 综之:m>﹣ , 故答案为 m>﹣ . 【点评】考查了奇函数的性质和应用,二次函数闭区间上最小值的求法.属于基础题型,应 熟练掌握.
2 2

2

17.若实数 x,y 满足 值为 .

,则 xy 的最小

【考点】基本不等式;余弦定理. 【专题】压轴题;不等式的解法及应用. 【分析】配方可得 2cos (x+y﹣1)= 式可得(x+y+1)+ x=y= ≤2,或(x﹣y+1)+
2

=(x﹣y+1)+

,由基本不等

≤﹣2,进而可得 cos(x+y﹣1)=±1,

,由此可得 xy 的表达式,取 k=0 可得最值.

【解答】解:∵



∴2cos (x+y﹣1)=

2

∴2cos (x+y﹣1)=

2



故 2cos (x+y﹣1)= 由基本不等式可得(x﹣y+1)+
2

2

=(x﹣y+1)+ ≥2,或(x﹣y+1)+
2

, ≤﹣2,

∴2cos (x+y﹣1)≥2,由三角函数的有界性可得 2cos (x+y﹣1)=2, 2 故 cos (x+y﹣1)=1,即 cos(x+y﹣1)=±1,此时 x﹣y+1=1,即 x=y ∴x+y﹣1=kπ,k∈Z,故 x+y=2x=kπ+1,解得 x= 故 xy=x?x= 故答案为: 【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用,余弦函数的单调性,得出 cos(x+y﹣1) =±1 是解决问题的关键,属中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 18.已知集合 P= ,y=log2(ax ﹣2x+2)的定义域为 Q.
2



,当 k=0 时,xy 的最小值 ,

(1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围;

(2)若方程

,求实数 a 的取值的取值范围.

【考点】集合的包含关系判断及应用;对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (1)是一个存在性的问题,此类题求参数一般转化为求最值.若是存在大于某式的 值成立,一般令其大于其最小值, (2)也是一个存在性的问题,其与(1)不一样的地方是其为一个等式,故应求出解析式对 应函数的值域,让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性. 2 【解答】解: (1)由已知 Q={x|ax ﹣2x+2>0},若 P∩Q≠?, 则说明在 在 . 内至少有一个 x 值,使不等式 ax ﹣2x+2>0,即,
2

∴a 的取值范围是 a>﹣4; (2)∵方程 ∴ ,







【点评】考查存在性问题求参数范围,本题中两个小题都是存在性,因为其转化的最终形式 不一样, 所以求其参数方式不一样, 一是其最值, 一是求值域. 答题者应细心体会其不同. 此 类题一般难度较大,要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化. 19.已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0; (1)若 y=f(x)在 上单调递增,求 ω 的取值范围; 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数

(2)令 ω=4,将函数 y=f(x)的图象向左平移

y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R 且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 20 个 零点,在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b﹣a 的最小值. 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的单调性. 【专题】转化思想;定义法;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)根据三角函数的单调性的性质建立不等式的关系进行求解即可. (2)根据三角函数的图象关系,求出函数的解析式,利用三角函数的性质进行求解即可.

【解答】解: (1)因为 ω>0,根据题意有

…. (6 分) ,

(2)f(x)=2sin(4x) ,

或 即 g(x)的零点相离间隔依次为 和 ,



故若 y=g(x)在[a,b]上至少含有 20 个零点,则 b﹣a 的最小值为



(14 分) 【点评】 本题主要考查三角函数的单调性和函数零点的应用, 根据条件建立不等式关系是解 决本题的关键. 20.已知函数 f(x)=ax ﹣x﹣3, (1)求 a 的范围,使 y=f(x)在[﹣2,2]上不具单调性; (2)当 时,函数 f(x)在闭区间[t,t+1]上的最大值记为 g(t) ,求 g(t)的函数表达
2

式; (3)第(2)题的函数 g(t)是否有最值,若有,请求出;若没有,请说明理由. 【考点】二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数思想;分类法;函数的性质及应用. 【分析】 (1)有不单调可知对称轴在(﹣2,2)之间,列出不等式解出; (2)对 f(x)在[t,t+1]上的单调性进行讨论,分别求出 g(t) ; (3)分段讨论 g(t)的单调性与最值. 【解答】解: (1)∵y=f(x)在[﹣2,2]上不具单调性, ∴﹣2 (2)当 <2,解得 a>0 或 a 时, . ,
2

当 t≥1 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,∴g(t)=f(t+1)= t ﹣ . 当 t+1≤1,即 t≤0 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,∴g(t)=f(t)= t ﹣t﹣3. 当 t<1<t+1 时,若 t+1﹣1≥1﹣t,即 ≤t<1,g(t)=f(t+1)= t ﹣ . 若 t+1﹣1<1﹣t,即 0<t< 时,g(t)=f(t)= t ﹣t﹣3.
2 2 2

综上,g(t)=



(3)当 t >g( ) ; 当t

时,g(t)= (t﹣1) ﹣ ,∴g(t)在(﹣∞, )上是减函数,故 g(t)

2

时,g(t)= t ﹣ ,∴g(t)在[ ,+∞)上是增函数,∴g(t)≥g( )=﹣ ,无最大值.

2



综上:g(t)有最小值﹣

【点评】本题考查了二次函数的单调性与最值,分类讨论思想是解决二次函数常用的方法. 21.已知函数 ft(x)=cos x+2tsinxcosx﹣sin x (1)若 (2)定义在 的图象与 ,试求 sin2α 的值. 上的函数 g(x)的图象关于 x= 对称,且当 x≤ 时,g(x)
2 2

(x)的图象重合.记 Mα={x|g(x)=α}且 Mα≠?,试求 Mα 中所有元素之

和. 【考点】二倍角的正弦;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题;数形结合;分析法;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)由倍角公式,降幂公式化简已知等式可得 sinα+cosα= ,两边平方,由倍角公 式即可得解. (2)依题意得, ,由 ,可求 g

(x)∈[﹣ ,2],记 Mα 中所有的元素之和为 S,由图象及对称性分类讨论即可得解. 【解答】 (本题满分为 15 分) 解: (1)∵由题意可得: , 又∵ ∴ (2)依题意得, ∵ ,∴ . (6 分) , ,可得:g(x)∈[﹣ ,2]. ,

记 Mα 中所有的元素之和为 S,由图象及对称性得: 当 当 时, 时, , ,

当 当 a=2 时,

时,

, . (15 分)

【点评】本题主要考查了倍角公式,降幂公式的应用,考查了正弦函数的图象和性质,属于 基本知识的考查. 22.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a+2, (1)若 f(x)≤0 的解集 A?[0,3],求实数 a 的取值范围; 2 (2)若 g(x)=f(x)+|x ﹣1|在区间(0,3)内有两个零点 x1,x2(x1<x2) ,求实数 a 的 取值范围. 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;选作题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)讨论集合 A 是否是空集,从而求解, (2)g(x)=x ﹣2ax+a+2+|x ﹣1|=
2 2 2

,首先讨论 a 是否是 0,在

a≠0 时,讨论函数的零点的位置,从而确定实数 a 所满足的条件,从而求其范围. 2 【解答】解: (1)若 A=?,则△ =4a ﹣4(a+2)=4(a﹣2) (a+1)<0?﹣1<a<2,

若 A≠?,则



综上可得:
2


2

(2)g(x)=x ﹣2ax+a+2+|x ﹣1|=



若 a=0,则 g(x)=

,无零点;

若 a≠0,则﹣2ax+a+3 在(0,1)单调, ∴其在(0,1)内至多有一个零点. ①若 0<x1<1≤x2<3, 则 ,

解得,3<a≤ 经检验,a=

, 时不成立,

②若 1≤x1<x2<3,





解得,1+

<a≤3, , ) .

综上所述,实数 a 的取值范围是(1+

【点评】本题考查了函数的零点的问题,数学讨论的思想,讨论比较复杂,要注意细心,属 于难题.


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