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江苏省启东中学2012-2013学年高一上学期期中考试 数学


江苏省启东中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高 一 数 学 试 卷
(考试时间:120 分钟,满分:160 分)

命题人:倪生

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填写在答题卷相应位置上.

1. 已知 A ? { x | x ? ? 2},B ? { x | x ? m} ,若 B ? A , 则实数 m 的取值范围是_____________. 2.已知 U ? [0,1] , A ? [0,1) ,则 CU A ? _____________. 3.设 A ? {( x , y ) | y ? ? 4 x ? 6}, B ? {( x , y ) | y ? 5 x ? 3} ,则 A ? B ? _____________. 4.已知 ? 是第四象限角,则 ?? 是第_____________象限角. 5.函数 f ( x ) ?
x?2 x ?1

的定义域为_____________.

6.设 x 0 是方程 8 ? x ? lg x 的解,且 x0 ? ( k , k ? 1)( k ? Z ) ,则 k ? _____________. 7.已知幂函数 f ( x ) ? k ? x ? 的图象过点 ( ,
2 1 2 2 ) ,则 k ? ? ? _____________.

8.已知 f ( x ? 1) ? x ? 1 ,则 f ( x ) ? _____________. 9.已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx ? 1 ( a , b ? R ) ,若 f ( ? 2) ? 1 ,则 f (2) ? _____________. 10.若 sin x ? ?
3 5 (?

?
2

? x ? 0) ,则 tan x ? _____________.

11. 定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x ) 在 [0, ?? ) 上是单调增函数, 则不等式 f (1) ? f ( a ) 的
解集是_____________. 1 12.已知 a ? ? 3 ,那么 a 2 ? a ?2 ? _____________. a 13.期中考试,某班数学优秀率为 70%,语文优秀率为 75%,上述两门学科都优秀的百分 率至少为_____________.

14. 已 知 函 数 f ( x ) ? x 2 , x ? [ ? 2 , 2 ] 和 函 数 g ( x ) ? ax ? 1, x ? [ ? 2 , 2 ] , 若 对 于 任 意
x1 ? [ ? 2 , 2 ] ,总存在 x 0 ? [ ? 2 , 2 ] ,使得 g ( x 0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围为

_________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (本题 14 分)已知集合 A ? {a ? 2 , 2 a 2 ? a} ,若 3 ? A ,求实数 a 的值.

1

2 2 2 16. (本题 14 分) 设集合 A ? { x | x ? 4 x ? 0}, B ? { x | x ? 2( m ? 1) x ? m ? 1 ? 0, m ? R} ,

若 B ? A ( B ? ? ) ,求实数 m 的取值集合.

17. (本题 14 分)已知奇函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? 1,1) ,当 x ? ( 0 ,1) 时, f ( x ) ?
(1)求 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上的解析式; (2)判断 f ( x ) 在 (0,1) 上的单调性,并证明之.

2
x

x

2 ?1



2

18. (本题 16 分)设函数 y ? log 2 ( ax 2 ? 2 x ? 2) 定义域为 A .
(1)若 A ? R ,求实数 a 的取值范围; (2)若 log 2 ( ax ? 2 x ? 2) ? 2 在 x ? [1, 2] 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

19.(本题 16 分) 若函数 f ( x ) 为定义域 D 上单调函数, 且存在区间 [ a , b ] ? D (其中 a ? b ) ,
使得当 x ? [ a , b ] 时, f ( x ) 的取值范围恰为 [ a , b ] ,则称函数 f ( x ) 是 D 上的正函数,区间
[ a , b ] 叫做等域区间.
1

(1)已知 f ( x ) ? x 2 是 [0, ?? ) 上的正函数,求 f ( x ) 的等域区间; (2)试探究是否存在实数 m ,使得函数 g ( x ) ? x ? m 是 ( ?? , 0) 上的正函数?若存在,
2

请求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

3

20. (本题 16 分)已知函数 f ( x ) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | , a ? R .
(1)若 f (0) ? 1 ,求实数 a 的取值范围; (2)求 f ( x ) 的最小值.

考试号 座位号 ……订……………………………………线……………………………………………… ―――――――――――――――――――――――――――――――――――― ―

江苏省启东中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高一数学答案卷
1. 3. 5. 7. 9. 11.
4

一、填空题: 本大题共 14 小题, 每小题 5 分,共 70 分。 将答案填在相应的横线上。 2. 4. 6. 8. 10. 12.

13.

14.

二、 解答题: 本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15. (本题满分 14 分)

16. (本题满分 14 分)

17. (本题满分 14 分)
5

18. (本题满分 16 分)

座位号________

19. (本题满分 16 分)

6

20. (本题满分 16 分)

江苏省启东中学 2012-2013 学年第一学期期中考试 高一数学答案
一、填空题:

1. m ? ? 2 ; 6. 7 ; 7.

2. {1} ;
3 2

3. {(1, 2)} ;

4. 一;

5. [ ? 2, ? 1) ? ( ? 1, ?? ) ; 9. 1 ;
5

;

8. f ( x ) ? x 2 ? 2 x ( x ? ? 1) ; 12. 7 ; 13. 45% ;

10. ?
5

3 4

;

11. ( ?? , ? 1) ? (1, ?? ) ;
二、解答题:

14. ( ?? , ? ] ? [ , ?? )
2 2

15. 解:因为 3 ? A ,所以 a ? 2 ? 3 或 2 a 2 ? a ? 3
当 a ? 2 ? 3 时, a ? 1 , 此时 A ? {3, 3} ,不合条件舍去, 当 2 a ? a ? 3 时, a ? 1 (舍去)或 a ? ?
2

………………………2 分 ………………………5 分 ………………………7 分
3 2

,………………………10 分 ………………………12 分 ………………………14 分 ………………………2 分

由a ? ? 故a ? ?
3 2

3

1 ,得 A ? { , 3} ,成立 2 2

16. 解:因为 A ? {0, ? 4}

7

由 B ? A ,且 B ? ?
故 B ? {0} 或 B ? {? 4} 或 B ? {0, ? 4} ………………………4 分

? ? 2( m ? 1) ? 0 ①若 B ? {0} ,则 ? 2 ,解得 m ? ? 1 ,………………………7 分 ?m ? 1 ? 0

此时 B ? {0} ,成立
? ? 2( m ? 1) ? 8 ②若 B ? {? 4} ,则 ? 2 ,解得 m ? ? , ……………………10 分 ? m ? 1 ? 16 ? 2( m ? 1) ? 4 ③若 B ? {0, ? 4} ,则 B ? A ,所以 ? 2 ,解得 m ? 1 ,…………13 分 ? m ?1 ? 0

综上所述:实数 m 的取值集合为 {1, ? 1}

……………………14 分

17. 解: (1)设 ? 1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 , 故 f (? x) ?
2 2
?x ?x

?1

?

1 2 ?1
x


1 2 ?1
x

……………………2 分

又 f ( x ) 为奇函数,所以 f ( x ) ? ? f ( ? x ) ? ?

,…………………4 分

由于奇函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? 1,1) ,所以 f (0) ? 0 …………………6 分
x ? 2 ? x 2 ?1 ? ? 所以 f ( x ) ? ? 0 ? 1 ?? x ? 1? 2 ?

0 ? x ?1 x?0 ?1 ? x ? 0

………………………7 分

(2)解: f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增. 证明:任取 x1 , x 2 ? (0,1) ,且 x1 ? x 2 则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?
2
x2 x2

………………………9 分

1? 2

?

2

x1 x1

1? 2

?

2

x2 x

?2

x1 x

(1 ? 2 1 )(1 ? 2 2 )

……………11 分

因为 y ? 2 x 在 x ? R 上递增,且 0 ? x1 ? x 2 , 所以 2 x ? 2 x ? 0 ,
2 1

因此 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,

…………13 分

8

故 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增.

………………………14 分

2 18. 解: (1)因为 A ? R ,所以 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 x ? R 上恒成立.

……………2 分

① 当 a ? 0 时,由 ? 2 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 ,不成立,舍去,…………4 分
?a ? 0 1 ② 当 a ? 0 时,由 ? ,得 a ? , 2 ? ? x ? 4 ? 8a ? 0

…………6 分

综上所述,实数 a 的取值范围是 a ?
2

1 2

.

…………………8 分 …………10 分 …………12 分

(2)依题有 ax ? 2 x ? 2 ? 4 在 x ? [1, 2] 上恒成立, 所以 a ? 令t ?
1
2x ? 2 x
2

? 2(

1 x

?

1 x
2

) 在 x ? [1, 2] 上恒成立,

1 ,则由 x ? [1, 2] ,得 t ? [ ,1] , 2 x

1 2 2 记 g ( t ) ? t ? t ,由于 g ( t ) ? t ? t 在 t ? [ ,1] 上单调递增, 2

所以 g (t ) ? g (1) ? 2 , 因此 a ? 4

…………15 分 …………16 分

19.解: (1)因为 f ( x ) ?

x 是 [0, ?? ) 上的正函数,且 f ( x ) ?

x 在 [0, ?? ) 上单调递增,

? a ? a, ? f (a ) ? a, ? 所以当 x ? [ a , b ] 时, ? 即? ………………………3 分 ? f (b ) ? b , ? b ? b, ?

解锝 a ? 0, b ? 1 ,故 f ( x ) 的等域区间为 [0,1] (2)因为函数 g ( x ) ? x ? m 是 ( ?? , 0) 上的减函数,
2

………………………5 分

? g (a ) ? b, 所以当 x ? [ a , b ] 时, ? ? g (b ) ? a ,
2 2

? a 2 ? m ? b, 即? 2 ………………………7 分 ?b ? m ? a ,

两式相减得 a ? b ? b ? a ,即 b ? ? ( a ? 1) , 代入 a ? m ? b 得 a ? a ? m ? 1 ? 0 ,
2 2

………………………9 分

由 a ? b ? 0 ,且 b ? ? ( a ? 1) 得 ? 1 ? a ? ?

1 2



………………………11 分

1 2 故关于 a 的方程 a ? a ? m ? 1 ? 0 在区间 ( ? 1, ? ) 内有实数解,………13 分 2

9

? h ( ? 1) ? 0, ? 记 h ( a ) ? a ? a ? m ? 1 ,则 ? 1 ? h ( ? ) ? 0, ? 2
2

3 解锝 m ? ( ? 1, ? ) . ………16 分 4

20. 解: (1)若 f (0) ? 1 ,则 ? a | a |? 1
?a ? 0 故? 2 ,得 a ? ? 1 ?a ? 1

…………………………2 分 …………………………6 分

(2)当 x ? a 时, f ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? a ,
2 2
2 ? f ( a ), a ? 0 ? 2 a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a ,a ? 0 ? f ( ), a ? 0 ? ? 3 ? 3

f ( x ) min

……………………10 分

当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? 2 ax ? a ,
2 2

2 ? f ( ? a ), a ? 0 ? ? 2 a , a ? 0 ? f ( x ) min ? ? ?? ……………………14 分 2 ?2a , a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ?

综上 f ( x ) min

? ?2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

……………………16 分

10


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