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2017届高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 计时双基练40 综合法与分析法、反证法 理


计时双基练四十

综合法与分析法、反证法
A 组 基础必做 )
2 2

1.若 a,b∈R,则下面四个式子中恒成立的是( A.lg(1+a )>0 C.a +3ab>2b 解析 1) ≥0, ∴a +b ≥2(a-b-1)恒成立。 答案 B
2 2 2 2 2 2

B.a +

b ≥2(a-b-1) D. <
2 2 2

a a+1 b b+1
2 2

在 B 中,∵a +b -2(a-b-1)=(a -2a+1)+(b +2b+1)=(a-1) +(b+

2.用反证法证明命题“若 a+b+c 为偶数,则自然数 a,b,c 恰有一个偶数”时正确 反设为( )

A.自然数 a,b,c 都是奇数 B.自然数 a,b,c 都是偶数 C.自然数 a,b,c 中至少有两个偶数 D.自然数 a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数 解析 由于“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”的否定是“自然数 a,b,c 都是奇数或 至少有两个偶数”,故选 D。 答案 D 3.设 a= 3- 2,b= 6- 5,c= 7- 6,则 a、b、c 的大小顺序是( A.a>b>c C.c>a>b 解析 ∵a= 3 - 2= 1 3+ 2 B.b>c>a D.a>c>b ,b= 6 - 5 = 1 6+ 5 ,c= 7 - 6= 1 7+ 6 ,又 )

∵ 7+ 6> 6+ 5> 3+ 2>0,∴a>b>c。 答案 A 4. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时,f(x)单调递减, 若 x1+x2>0, 则 f(x1) +f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 ) B.恒等于零 D.无法确定正负

解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x)是 R 上的单调递减函数, 由 x1+x2>0, 可知 x1>-x2, f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 则 f(x1)+f(x2)<0。 答案 A

1

5.要使

3

a-

3

b<

3

a-b成立,则 a,b 应满足(

)

A.ab<0 且 a>b B.ab>0 且 a>b C.ab<0 且 a<b D.ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b 解析 要使 3

a-

3

b<

3

a-b成立,

3 3 3 3 3 只要( a- b) <( a-b) 成立, 3 2 3 2 即 a-b-3 a b+3 ab <a-b 成立, 只要 3

ab2<

3

a2b成立,只要 ab2<a2b 成立,

即要 ab(b-a)<0 成立, 只要 ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b 成立。 答案 D 6.已知 a>b>0,且 ab=1,若 0<c<1,p=logc 小关系是( A.p>q C.p=q 解析 ∵ ) B.p<q D.p≥q

a2+b2
2

,q=logc?

? 1 ?2 ? ,则 p,q 的大 ? a+ b?

a2+b2
2

>ab=1,∴p=logc

a2+b2
2

<0。

又 q=logc?

1 ? 1 ?2 ? =logc ? a+ b? a+b+2 ab

1 1 >logc =logc >0,∴q>p。 4 4 ab 答案 B 7.用反证法证明命题“a,b∈R,ab 可以被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”,那么假设的内容是________________________________。 解析 “至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”,故应假设 a,b 中没有一个能被 5 整除。 答案 a,b 中没有一个能被 5 整除 8.a +2+
2

2 与 2 2的大小关系是________________。 a +2
2

2

解析 利用基本不等式可得 a +2+ 答案 a +2+
2

2

2 >2 2。 a +2
2

2

a2+2

>2 2

9.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2; ⑤ab>1。 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是________(填序号)。 1 2 解析 若 a= ,b= ,则 a+b>1。 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a +b >2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1。 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立, 故 a,b 中至少有一个大于 1。 答案 ③ |a|+|b| 10.已知非零向量 a⊥b,求证: ≤ |a-b| 证明 ∵a⊥b,∴a·b=0。 |a|+|b| 要证 ≤ 2, |a-b| 只需证:|a|+|b|≤ 2|a-b|, 即|a| +|b| +2|a||b|≤2(|a| +|b| -2a·b), 只需证:|a| +|b| -2|a||b|≥0, 即(|a|-|b|) ≥0,显然成立。故原不等式得证。 11.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图像与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)= 0,且 0<x<c 时,f(x)>0。 1 (1)证明: 是函数 f(x)的一个零点;
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2。

a

1 (2)试用反证法证明: >c。

a

证明 (1)∵f(x)图像与 x 轴有两个不同的交点,
3

∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2。 ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根。

c 1?1 ? 又 x1x2= ,∴x2= ? ≠c?。 a a?a

?

1 1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根,即 是函数 f(x)的一个零点。

a

a

1 1 (2)假设 <c,又 >0,由 0<x<c 时,f(x)>0,

a

a

1 ?1? ?1? 知 f? ?>0 与 f? ?=0 矛盾,∴ ≥c, a a

? ?
a

? ?

a

1 1 又∵ ≠c,∴ >c。

a

B 组 培优演练 1 x ?a+b?,B=f( ab),C=f? 2ab ?,则 1.已知函数 f(x)=( ) ,a,b 是正实数,A=f? ? ?a+b? 2 ? 2 ? ? ?

A,B,C 的大小关系为(
A.A≤B≤C C.B≤C≤A 解析 ∵ ∴f?

) B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b
2

≥ ab≥

2ab ?1?x ,又 f(x)=? ? 在 R 上是减函数。 a+b ?2?

?a+b?≤f( ab)≤f? 2ab ?,即 A≤B≤C。 ? ?a+b? ? 2 ? ? ?

答案 A 1 1 1 2.设 x,y,z>0,a=x+ ,b=y+ ,c=z+ ,则 a,b,c 三数(

y

z

x

)

A.至少有一个不大于 2 C.至少有一个不小于 2 解析 假设 a,b,c 都小于 2, 则 a+b+c<6。

B.都小于 2 D.都大于 2

1 1 1 而事实上 a+b+c=x+ +y+ +z+ ≥2+2+2=6 与假设矛盾,

x

y

z

∴a,b,c 中至少有一个不小于 2。 答案 C 3.若二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1 在区间[-1,1]内至少存在一点 c,使
2 2

f(c)>0,则实数 p 的取值范围是________。
解析 解法一(补集法):

4

?f?-1?=-2p +p+1≤0, ? 令? 2 ?f?1?=-2p -3p+9≤0, ?

2

3 解得 p≤-3 或 p≥ , 2

3? ? 故满足条件的 p 的范围为?-3, ?。 2? ? 解法二(直接法): 依题意有 f(-1)>0 或 f(1)>0, 即 2p -p-1<0 或 2p +3p-9<0, 1 3 得- <p<1 或-3<p< , 2 2 3? ? 故满足条件的 p 的取值范围是?-3, ?。 2? ? 3? ? 答案 ?-3, ? 2
2 2

?

?
x2
2

4.直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y =1 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点。 4 (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可能为菱形。 解 (1)因为四边形 OABC 为菱形,

所以 AC 与 OB 相互垂直平分。

t2 1 ? 1? 所以可设 A?t, ?,代入椭圆方程得 + =1, 4 4 ? 2?
即 t=± 3。 所以|AC|=2 3。 (2)证明:假设四边形 OABC 为菱形。 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0。 由?
?x +4y =4, ? ? ?y=kx+m,
2 2 2 2

消 y 并整理得
2

(1+4k )x +8kmx+4m -4=0。 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则

x1+x2
2

4km y1+y2 x1+x2 m =- =k· +m= 2, 2。 1+4k 2 2 1+4k

? 4km 2, m 2?。 所以 AC 的中点为 M?- ? ? 1+4k 1+4k ?
因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0, 1 所以直线 OB 的斜率为- 。 4k

5

? 1? 因为 k·?- ?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直。 ? 4k?
所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾。 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形。

6


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