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2014年干一镇初级中学数学竞赛优录培训22


试题来源:数学备课室

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “ 《数学周报》杯”2011 年全国初中数学竞赛试题
题 得 号 1~10 分 11~15 16 17 18 19 一 二 三 总 分





? b) (A) (?a, ? b ? 1) (C) (?a,
4.设

x ?

? b ? 1) (B) (?a, ? b ? 2) (D) (?a,
). (D)2

5 ?3 ,则代数式 x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 的值为( 2

评卷人 复查人 一、 选择题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 共 60 分. 每道小题均给出了代号为 A, B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填 入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分) 1.设 a ? 7 ? 1 ,则代数式 3a3 ? 12a2 ? 6a ? 12 的值为(
(A)24
2

(A)0

(B)1

(C)﹣1

5.对于任意实数 a,b,c,d ,定义有序实数对 与 之间的运算“△” (a,b) (c,d) 为: ( a,b ) △ ( c,d ) = ( ac ? bd,ad ? bc ) . 如果对于任意实数 u,v,都有 ( u,v ) △( x,y )=( u,v ) ,那么( x,y )为( (A) (0,1) ).
(D) 4 7 ? 12

). (C) (﹣1,0) (D) (0,-1)

(B) (1,0)

6.已知 x,y,z 为实数,且满足 x ? 2 y ? 5z ? 3 , x ? 2 y ? z ? ?5 ,则

(B)25

(C) 4 7 ? 10

x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为(
(A)
1 11

). (B)0 (C)5 (D)
54 11

a 2.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,反比例函数 y ? 与正比例函数 y ? (b ? c) x x
在同一坐标系中的大致图象可能是( y y O 1 x O A. x O B. ). y x O C. y O y x O D. y x

x 7.若 x ? 1 , y ? 0 ,且满足 xy ? x y, ? x 3 y ,则 x ? y 的值为( y
(A)1 (B)2 (C)

).

9 2

(D)

11 2

?1

5 3 8.已知 A,B 是两个锐角,且满足 sin 2 A ? cos 2 B ? t , cos 2 A ? sin 2 B ? t 2 ,则 4 4

B?

A?
x

实数 t 所有可能值的和为( (A) ?

). (B) ?

, ? 1) 3 . 如 图 , 将 △ABC 绕 点 C ( 0 旋 转 180° 得 到
A

C B
1

8 3

5 3

(C)1

(D)

11 3

9 . 点 D,E 分 别 在 △ ABC 的 边 A B 上, BE 相交于点 F ,设 , AC , CD
S四边形EADF ? S1,S?BDF ? S2,S?BCF ? S3,S?CEF ? S4 , 则 S1 S 3 与 S 2 S 4 的 大 小 关 系 为

△A?B?C? ,设点 A? 的坐标为 (a,b) , 则点 A 的坐标为

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(

). (A) S1S3 ? S2 S4 (B) S1S3 ? S2 S4 (C) S1S3 ? S2 S4 (D)不能确定 ). (D)7

17.如图,点 H 为△ ABC 的垂心,以 AB 为直径的⊙ O1 和△ BCH 的外接圆⊙
O2 相交于点 D ,延长 AD 交 CH 于点 P .

10.设 S ?

1 1 1 1 ? 3 ? 3 ??? ,则 4S 的整数部分等于( 3 1 2 3 20113
(B)5 (C)6

求证:点 P 为 CH 的中点.

(A)4

二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 11.若关于 x 的方程 ( x ? 2)( x2 ? 4x ? m) ? 0 有三个根,且这三个根恰好可以作为一 个三角形的三条边的长,则 m 的取值范围是 . 18.如图,点 A 为 y 轴正半轴上一点, A,B 两点 关 于

12.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1,2,2,3,3,4;另 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1,3,4,5,6,8. 同时掷 这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为 5 的概率是 13.如图,点 A,B 为直线 y ? x 上的两点,过 A,B 两点分别 作 y 轴的平行线交双曲线 y ? ( x>0 )于 C,D 两点. 若
BD ? 2 AC ,则 4OC 2 ? OD2 的值为
1 x

x 轴对称,过点 A 任作直线交抛物线 y ?
(1)求证:∠ ABP =∠ ABQ ;

2 2 x 于 P , Q 两点. 3

.

(2)若点 A 的坐标为(0,1) ,且∠ PBQ =60? ,试求所有满足条件的直线 PQ 的函数解析式.

.

14.若 y ? 1 ? x ? x ? 则 a2 ? b2 的值为

1 的最大值为 a,最小值为 b, 2

. 19 . 如 图 , △ ABC 中 , ?BAC ? 60? , AB ? 2 AC . 点 P 在 △ ABC 内 , 且
PA ? 3,PB ? 5,PC ? 2 ,求△ABC 的面积.

15.如图,在 Rt△ABC 中,斜边 AB 的长为 35, 正方形 CDEF 内接于△ABC,且其边长为 12, 则△ABC 的周长为 .

三、解答题(共 4 题,每题 15 分,共 60 分) 16 . 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2 ? c x? a ?0 的 两 个 整 数 根 恰 好 比 方 程

x 2 ? a x? b ?0 的两个根都大 1,求 a ? b ? c 的值.
2

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数据的平均数与中位数之差的绝对值是(

) .
1 2

2012 年全国初中数学竞赛试题
题 得 号 1~10 分 11~15 16 17 18 19 一 二 三 总 分

(A)1

(B)

2a ? 1 4

(C)

(D)

1 4

6.如图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线, △ABC 是等边三角形. ?ADC ? 30? ,AD = 3,BD = 5, 则 CD 的长为( (A) 3 2 (C) 2 5 ) . (B)4 (D)4.5

评卷人 复查人 一、 选择题 (共 10 小题, 每小题 6 分, 共 60 分. 每道小题均给出了代号为 A, B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填 入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分) 1. 如果实数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示, 那么代数式 a 2 ? | a ? b | ? (c ? a)2 ? | b ? c | 可以化简为 ( ) . (A)2c?a (B)2a?2b
1 2? 1 3? a

7.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说: “你若 给我 2 元,我的钱数将是你的 n 倍” ;小玲对小倩说: “你若给我 n 元,我的钱数 将是你的 2 倍” ,其中 n 为正整数,则 n 的可能值的个数是( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ) .

(C)?a 的值为(

(D)a ) .

8.如果关于 x 的方程 x 2 ? px ? q ? 0(p,q 是正整数)的正根小于 3, 那么 这样的方程的个数是( (A) 5 ) . (B) 6 (C) 7 (D) 8

2.如果 a ? ?2 ? 2 ,那么 1 ?

(A) ? 2

(B) 2

(C)2

(D) 2 2

9. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1, 2, 3, 4, 5, 6. 掷 两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以 4 的余数分别是 0,1,2,3 的概 率为 p0,p1,p2,p3 ,则 p0,p1,p2,p3 中最大的是( (A) p0 (B) p1 (C) p 2 ) . (D) p3

3.如果正比例函数 y = ax(a ≠ 0)与反比例函数 y =

b (b ≠0 )的图象有两 x
) .

个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2) ,那么另一个交点的坐标为( (A)(2,3) (B)(3,-2) (C)(-2,3) (D)(3,2)

4. 在平面直角坐标系 xOy 中, 满足不等式 x2+y2≤2x+2y 的整数点坐标 (x, y)的个数为( (A)10 ) . (B)9 (C)7 (D)5

1 1 1 10.黑板上写有 1, ,  , ?,  共 100 个数字.每次操作先从黑板上的 2 3 100

数中选取 2 个数 a,b ,然后删去 a,b ,并在黑板上写上数 a ? b ? ab ,则经过 99 次操作后,黑板上剩下的数是( (A)2012 (B)101 ) . (C)100 (D)99

5.如果 a,b 为给定的实数,且 1 ? a ? b ,那么 1,a ? 1, 2a ? b,a ? b ? 1 这四个
3

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范围. 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 11 .按如图的程序进行操作,规定:程 序运行从“输入一个值 x”到“结果是 否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么 的取值范围是 . x 17.如图,⊙O 的直径为 AB ,⊙O ? O1 过点 O ,且与⊙O 内切于点 B .C 为 ⊙O 上的点, OC 与 ? O1 交于点 D ,且 OD ? CD .点 E 在 OD 上,且 DC ? DE , BE 的延长线与 ? O1 交于点 F ,求证:△BOC∽△ DO1F .

12.如图,正方形 ABCD 的边长为 2 15 , E,F 分别是 AB,BC 的中点,AF 与 DE,DB 分别交于点 M,N,则△DMN 的面积是 13.如果关于 x 的方程 x2+kx+ 那么
x1 x2
2011 2012

.

3 2 9 k -3k+ = 0 的两个实数根分别为 x1 , x2 , 2 4

18.已知整数 a,b 满足:a-b 是素数,且 ab 是完全平方数. 当 a≥2012 时,求 a 的最小值.

的值为



14.2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环, 即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分;平局各得 1 分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为 130 分,而且平局数不 超过比赛局数的一半,则 m 的值为 15.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O, AB 是直径,AD = DC. 分别延长 BA,CD, 交点为 E. 交于点 F. 长为 作 BF⊥EC,并与 EC 的延长线 若 AE = AO,BC = 6,则 CF 的 .
? x2012 , 满 足 19 . 求 所 有 正 整 数 n , 使 得 存 在 正 整 数 x1,x2, , x1 ? x2 ?? ? x2 0,且 1 2

.

1 2 2012 ? ?? ? ? n. x1 x2 x2012

三、解答题(共 4 题,每题 15 分,共 60 分)
(m ? 3)x ? m ? 2 ,当 ?1 ? x ? 3 时,恒有 y ? 0 ;关 16.已知二次函数 y ? x 2 ?

(m ? 3)x ? m ? 2 ? 0 的两个实数根的倒数和小于 ? 于 x 的方程 x2 ?

9 . 求 m 的取值 10
4

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中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2013 年全国初中数学竞赛试题
一 题 得 号 1~5 分 6~10 11 12 13 14 二 三 总 分

2 ? 2 2 2 2 ?( ? 2 ) ? ( ? 2 ) ? 3 ? 0 另解:由已知得: ? x ,显然 ? 2 ? y 2 ,以 ? 2 , y 2 为根的一元二 x x x ?( y 2 ) ? y 2 ? 3 ? 0 ?
次方程为 t ? t ? 3 ? 0 ,所以
2

2 2 ) ? y 2 ? ?1,    (? 2 ) ? y 2 ? ?3 2 x x 4 2 2 故 4 ? y 4 = [(? 2 ) ? y 2 ]2 ? 2 ?   (? 2 ) ? y 2 ? (?1)2 ? 2 ? (?3) ? 7 x x x (?
2.把一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先

评卷人 复查人 答题时注意:1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B, C, D 的四个选项, 其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得 0 分)

后投掷 2 次,若两个正面朝上的编号分别为 m,n,则二次函数 y ? x ? mx ? n 的图象与 x
2

轴有两个不同交点的概率是( (A)

) . (C)

5 12

(B)

4 9

17 36

(D)

1 2

【答】 (C) 解:基本事件总数有 6× 6=36,即可以得到 36 个二次函数. 由题意知

? = m2 ? 4n >0,即 m2 >4 n .
通过枚举知,满足条件的 m ,n 有 17 对. 故 P ?

4 2 4 4 2 4 1.已知实数 x,y 满足 4 ? 2 ? 3,y ? y ? 3 ,则 4 ? y 的值为( x x x
(A)7 【答】 (A) 解:因为 x ? 0 , y ≥0,由已知条件得
2
2

) .

17 . 36

3.有两个同心圆,大圆周上有 4 个不同的点,小圆周上有 2 个不同的点,则这 6 个点可 以确定的不同直线最少有( (A)6 条 【答】 (B) 解:如图,大圆周上有 4 个不同的点 A,B,C,D,两两连线可以确定 6 条不同的直线; 小圆周上的两个点 E,F 中,至少有一个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点,则它 ). (C)10 条 (D)12 条

(B)

1 ? 13 2

(C)

7 ? 13 2

(D)5

(B) 8 条

1 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 1 ? 13 ?1 ? 1 ? 4 ? 3 ?1 ? 13 2 ? ? ? , y ? , 2 x 8 4 2 2

与 A,B,C,D 的连线中,至少有两条不同于 A,B,C,D 的两两连线.从而这 6 个点可以 确定的直线不少于 8 条.

所以

4 2 2 ? y 4 ? 2 ? 3 ? 3 ? y 2 ? 2 ? y 2 ? 6 ? 7. 4 x x x
5

当这 6 个点如图所示放置时,恰好可以确定 8 条直线. 所以,满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条. (第 3 题)

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4.已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦,且 AB ? a ? 1 .以 AB 为一边在圆 O 内作正 △ ABC , 点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点, 且 DB ? AB ? a ,DC 的延长线交圆 O 于点 E , 则 AE 的长为( (A) ) . (B)1 (C)

所以 a1,a2,a3,a4,a5 只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下 5 种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 4,3,1,2,5; 2,3,5,4,1; 4,5,3,2,1. 2,5,1,4,3;

5 a 2

3 2

(D)a

二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 6. 对于实数 u, v, 定义一种运算“*”为:u ? v ? uv ? v . 若关于 x 的方程 x ? (a ? x) ? ? 有两个不同的实数根,则满足条件的实数 a 的取值范围是 (第 4 题) 【答】 a ? 0 ,或 a ? ?1 . 解:由 x ? (a ? x) ? ? .

【答】 (B) 解:如图,连接 OE,OA,OB. 设 ?D ? ? ,则

1 4

?ECA ? 120? ? ? ? ?EAC .
1 1 又因为 ?ABO ? ?ABD ? ? 60? ? 180? ? 2? ? ? 120? ? ? , 2 2
所以 △ACE ≌ △ABO ,于是 AE ? OA ? 1 . 另解:如图,作直径 EF,连结 AF,以点 B 为圆心,AB 为半径 作⊙B,因为 AB=BC=BD,则点 A,C,D 都在⊙B 上,

1 1 2 ,得 (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? ? 0 , 4 4

O E C

F

依题意有

?a ? 1 ? 0, ? 2 ?? ? (a ? 1) ? (a ? 1) ? 0,

D

解得, a ? 0 ,或 a ? ?1 . 7.小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟从迎

1 1 由 ?F ? ?EDA ? ?CBA ? ? 60? ? 30? 2 2
所以 AE ? EF ? sim?F

A

B

面驶来一辆 18 路公交车.假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔固 定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 【答】4. 解:设 18 路公交车的速度是 x 米/分,小王行走的速度是 y 米/分,同向行驶的相邻两车 的间距为 s 米. 每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车,则 6 x ? 6 y ? s . 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车,则 3x ? 3 y ? s . 由①,②可得 s ? 4 x ,所以 ① ② 分钟.

? 2 ? sim30? ? 1
) .

5.将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续 三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( (A)2 种 【答】 (D) 解:设 a1,a2,a3,a4,a5 是 1,2,3,4,5 的一个满足要求的排列. 首先,对于 a1,a2,a3,a4 ,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数, 与已知条件矛盾. 又如果 ai (1≤i≤3)是偶数, ai ?1 是奇数,则 ai ? 2 是奇数,这说明一个偶数后面一定要接 两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数.
6

(B)3 种

(C)4 种

(D)5 种

s ? 4. x

即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟. 8.如图,在△ ABC 中,AB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点, AD 是∠BAC 的平分线,MF∥AD,则 FC 的长为 . (第 8 题)

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【答】9. 解:如图,设点 N 是 AC 的中点,连接 MN,则 MN∥AB. 又 MF // AD ,所以 ?FMN ? ?BAD ? ?DAC ? ?MFN ,



DE ?

8? ( 7? ) 9 16 ? . 8 ? 7? 9 3

另解:

? S ?ABC ? rp ?

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c ) = 12 ? 4 ? 3 ? 5 ? 12 5
所以 r

1 AB . 2 1 1 因此 FC ? FN ? NC ? AB ? AC ? 9. 2 2
所以 FN ? MN ? 另解:如图,过点 C 作 AD 的平行线交 BA 的延长线为 E,延长 MF 交 AE 于点 N. 则 ?E ? ?BAD ? ?DAC ? ?ACE 所以 AE ? AC ? 11. 即 CF ? EN ? 又 FN // CE ,所以四边形 CENF 是等腰梯形,

(第 8 题答案)
E

(这里

p?

a?b?c ) 2

?

12 5 ? 5, 12

ha ?
N A F

2S△ABC 2 ? 12 5 ? ?3 5 a 8
由△ ADE∽△ABC,得 即 DE ??

DE ha ? r 3 5 ? 5 2 ? ? ? , BC ha 3 3 5

1 1 BE ? ? (7 ? 11) ? 9 2 2

2 16 BC ? 3 3
2 2

B

D M

C

10.关于 x,y 的方程 x ? y ? 208( x ? y ) 的所有正整数解为 【答】 ?



9.△ ABC 中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ ABC 的内切圆圆心 I 作 DE∥BC,分别与 AB,AC 相交于点 D,E,则 DE 的长为 .

? x ? 48,? x ? 160, ? ? y ? 32,? y ? 32.

16 【答】 . 3
解:如图,设△ ABC 的三边长为 a,b,c,内切圆 I 的半径为 r, BC 边上的高为 ha ,则

解:因为 208 是 4 的倍数,偶数的平方数除以 4 所得的余数为 0,奇数的平方数除以 4 所得的余数为 1,所以 x,y 都是偶数. 设 x ? 2a, y ? 2b ,则

a 2 ? b 2 ? 104(a ? b) ,
(第 9 题答案) 同上可知,a,b 都是偶数.设 a ? 2c, b ? 2d ,则

1 1 aha ? S△ABC ? (a ? b ? c)r , 2 2
所以

r a ? . ha a ? b ? c

c 2 ? d 2 ? 52(c ? d ) ,
所以,c,d 都是偶数.设 c ? 2s, d ? 2t ,则

h ? r DE ? 因为△ ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,因此 a , ha BC
所以

s 2 ? t 2 ? 26( s ? t ) ,
于是

DE ?

ha ? r r a a (b ? c) ? a ? (1 ? )a ? (1 ? )a ? , ha ha a?b?c a?b?c
7

( s ? 13)2 ? (t ? 13) 2 = 2 ?132 ,

其中 s,t 都是偶数.所以

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( s ? 13)2 ? 2 ?132 ? (t ? 13)2 ≤ 2 ?132 ? 152 ? 112 .
2 所以 s ? 13 可能为 1,3,5,7,9,进而 (t ? 13) 为 337,329,313,289,257,故只

别交于 A,B 两点,且使得△ OAB 的面积值等于 OA ? OB ? 3 . (1) 用 b 表示 k; (2) 求△ OAB 面积的最小值. 解: (1)令 x ? 0 ,得 y ? b ,b ? 0 ;令 y ? 0 ,得 x ? ?

? s ? 6, ? s ? 20, 能是 (t ? 13) =289,从而 s ? 13 =7.于是 ? ? ?t ? 4; ?t ? 4,
2

b ? 0,k ? 0 . k

因此

? x ? 48,? x ? 160, ? ? ? y ? 32,? y ? 32.

所以 A,B 两点的坐标分别为 A (? , 0), B(0, b) ,于是,△ OAB 的面积为

b k

S?
2 2

1 b b ? (? ) . 2 k

另解:因为 ( x ? 104) ? ( y ? 104) ? 2 ? 104 ? 21632
2

则有 ( y ? 104) ? 21632,
2

由题意,有

1 b b b ? (? ) ? ? ? b ? 3 , 2 k k
k? 2b ? b 2 , b ? 2 .……………… 5 分 2(b ? 3)

又 y 正整数,所以 1 ? y ? 43 令 a ?| x ? 104 |, b ?| y ? 104 |,  则a ? b ? 21632
2 2

解得

因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9 由 a ? b ? 21632 知 a , b 的个位数只能是 1 和 1 或 6 和 6;
2 2
2 2

(2)由(1)知

1 b b(b ? 3) (b ? 2) 2 ? 7(b ? 2) ? 10 S ? b ? (? ) ? ? 2 k b?2 b?2
10 10 2 ?7 ? ( b?2 ? ) ? 7 ? 2 10 ≥ 7 ? 2 10 , b?2 b?2

? b?2?
当且仅当 b ? 2 ?

当 a , b 的个位数是 1 和 1 时,则 a, b 的个位数字可以为 1 或 9 但个位数为 1 和 9 的数的平方数的十位数字为偶数,与 a ? b 的十位数字为 3 矛盾。
2 2

2

2

10 时,有 S ? 7+2 10 ,即当 b ? 2 ? 10 , k ? ?1 时,不等式中的等 b?2

号成立. 所以,△ ABC 面积的最小值为 7 ? 2 10 . ……………… 15 分
2

当 a , b 的个位数是 6 和 6 时,则 a, b 的个位数字可以为 4 或 6。 由 105 ? b ? 147 , 取 b =106, 114, 116, 124, 126, 134, 136, 144, 146 代入 a ? b ? 21632
2 2

2

2

12.是否存在质数 p,q,使得关于 x 的一元二次方程 px ? qx ? p ? 0 有有理数根? 解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令 ? ? q ? 4 p ? n ,
2 2 2

得,只有当 b =136 时, a =56,即 ?

?| x ? 104 |? 56 ?| y ? 104 |? 136

解得 ?

? x ? 48 ? x ? 160 ,? ? y ? 32 ? y ? 32

其中 n 是一个非负整数.则 (q ? n)(q ? n) ? 4 p . ……………… 5 分
2

由于 1≤ q ? n ≤q+n,且 q ? n 与 q ? n 同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情形: 三、解答题(共 4 题,每题 15 分,满分 60 分) 11.在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? kx ? b 的图象与 x 轴、 y 轴的正半轴分 (k ? 0)
8

p p ? q ? n ? p 2, ?q ? n ? 2, ? q ? n ? 4, ?q ? n? , ? q ? n? 2 , ? ? ? ? ? 2 2 p ? q ? n? 2 , p ? q ? n ? 4. ? q ? n ? 2 p , ? q ? n ? p , ? q ? n? 4 ,

试题来源:数学备课室

p2 5p p2 消去 n, 解得 q ? p ? 1 . ……………… 10 , q ? 2 ? , q ? , q ? 2 p, q ? 2 ? 2 2 2
2

于是有

2a ? 4a 2 ? 4b ? 2008

即 a?

a 2 ? b ? 502 ? 1 ? 502 ? 2 ? 251

因为 a,b 都是正整数,

分 对于第 1,3 种情形, p ? 2 ,从而 q=5;对于第 2,5 种情形, p ? 2 ,从而 q=4(不 合题意,舍去) ;对于第 4 种情形,q 是合数(不合题意,舍去) . 又当 p ? 2 ,q=5 时,方程为 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,它的根为 x1 ?
2

1 ,x2 ? 2 ,它们都是 2

?a ? 505 ?a ? 2 ?a ? 251 或 或 或 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 ?a ? b ? 502 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 251 ?a ? b ? 4 ?a ? 1 ?a ? 502 ?a ? 2 ?a ? 251 分别解得: ? 或 或 或 ? ? ? 2 2 2 2 ?b ? 1 ? 502 ?b ? 502 ? 1 ?b ? 2 ? 251 ?b ? 251 ? 4
所以 ? 经检验只有: ?

?a ? 1

有理数. 综上所述,存在满足题设的质数……………… 15 分 ★12、已知 a, b 为正整数,关于 x 的方程 x 关 于
2

?a ? 502

?a ? 251 符合题意. ,  ? 2 2 b ? 502 ? 1 b ? 251 ? 4 ? ?
? 2512 ? 4=62997

? 2ax ? b ? 0 的两个实数根为 x1,x2 ,
的 两 个 实 数 根 为

所以 b 的最小值为: b最小值

y

的 方 程

y 2 ? 2ay ? b ? 0

y1,y 2

13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的 , 且 满 足 △ ABC?证明你的结论. 解:存在满足条件的三角形. 当△ ABC 的三边长分别为 a ? 6 , b ? 4 , c ? 5 时, ?A ? 2?B .……………… 5 分

x1 ?y1 ? x2 ?y2 ? 2008 .
求 b 的最小值. 另解:由韦达定理,得

x1 ? x2 ? 2a,  x1 ?x2 ? b ; y1 ? y2 ? ?2a,  y1 ?y2 ? b

如图,当 ?A ? 2?B 时,延长 BA 至点 D,使 AD ? AC ? b .连接 CD,则△ ACD 为等腰 三角形. 因为 ?BAC 为△ ACD 的一个外角, 所以 ?BAC ? 2?D . 由已知,?BAC ? 2?B , 所以

? y1 ? y2 ? ?2a ? ?( x1 ? x2 ) ? (? x1 ) ? (? x2 ) 即? ,  y ? y ? b ? ( ? x ) ? ( ? x ) ? 1 2 1 2 ? y1 ? ? x1 ? y1 ? ? x2 解得: ? 或? ? y2 ? ? x2 ? y2 ? ? x1
把 y1 , y2 的值分别代入 x1 ?y1

?B ? ?D .所以△ CBD 为等腰三角形.
又 ?D 为△ ACD 与△ CBD 的一个公共角,有△ ACD ∽△ CBD ,于是

? x2 ?y2 ? 2008
所以
2

AD CD , 即 ? CD BD

b a , ? a b?c

(? x1 ) ? 得 x1 ?

x2 ? (? x2 ) ? 2008 x2 ? (? x1 ) ? 2008 (不成立)

a 2 ? b?b ? c ? .

(? x2 ) ? 或 x1 ?
即 x2
2

而 6 ? 4 ? (4 ? 5) ,所以此三角形满足题设条件, 故存在满足条件的三角形. 说明:满足条件的三角形是唯一的. 若 ?A ? 2?B ,可得 a ? b?b ? c ? .有如下三种情形:
2

? x12 ? 2008 , ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? 2008

……………… 15 分

(第 13(A)题答案)

因为 x1

? x2 ? 2a ? 0,  x1 ?x2 ? b ? 0

所以 x1

? 0,  x2 ? 0
9

试题来源:数学备课室

(i)当 a ? c ? b 时,设 a ? n ? 1, c ? n , b ? n ? 1( n 为大于 1 的正整数) ,
2 代入 a ? b?b ? c ? ,得 ? n ? 1? ? ? n ? 1?? 2n ? 1? ,解得 n ? 5 ,有 a ? 6 , b ? 4 , c ? 5 ;
2

又∵ CI 由 S?ABC

? EF , CI 平分?ACB ,所以 CE=CF ? S?ABG ? S?BEG ? S?AFG ? S?FEC  

(ⅱ)当 c ? a ? b 时,设 c ? n ? 1, a ? n , b ? n ? 1( n 为大于 1 的正整数) , 代入 a ? b?b ? c ? ,得 n ? ?n ? 1? ? 2n ,解得 n ? 2 ,有 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 ,此时不能
2
2

得: S ?ABC=

S?ABC 1 ab h 1 ab h 1 ab ? ? (a ? ) ? a ? ? (b ? ) ? b ? 2 ? ? ?r 3 2 p 3 2 p 3 2 p

构成三角形; (ⅲ)当 a ? b ? c 时,设 a ? n ? 1, b ? n , c ? n ? 1 ( n 为大于 1 的正整数) , 代入 a ? b?b ? c ? ,得 ?n ? 1? ? n?2n ? 1? ,即 n ? 3n ? 1 ? 0 ,此方程无整数解.
2
2

即 S ?ABC= 整理得

S?ABC 1 p?b 1 p ? a ab ? ( ? a ? ha ) ? ? ( ? b ? hb ) ? ? 2 ? rp 3 2 3p 2 3p p

2

2 p 2 ? cp ? 3ab ,即 3ab ? 2 p 2 ? cp ? p(2 p ? c) ? P(a ? b)

所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三角形 存在,而且只有三边长分别为 4,5,6 构成的三角形满足条件. ★13、如图,△ ABC 的三边长 BC

设△ ABC 的周长为 m ,则 m ? 2 p 由已知 ( a, b) ? 2 ,设 a 得m

?

6ab 为整数。 a?b

? a,  AC ? b,  AB ? c,  a, b, c 都是整数,

? 2s, b ? 2t , 且( s, t ) ? 1, s, t都是正整数 ,代入上式,

且 a, b 的最大公约数是 2。点 G 和点 I 分别为△ ABC 的重心和内心,且 ?GIC △ ABC 的周长.

? 90? ,求

?

12 st s?t

另解:如图,连结 GA,GB,过 G,I 作直线交 BC、AC 于点 E、F,作△ ABC 的内切圆 I, 切 BC 边于点 D。记△ ABC 的半周长为 P,内切圆半径为 r,BC,AC 边上的高线长为 ha , hb

∵ ( s, s

? t ) ? 1,(t , s ? t ) ? 1 ,

∴ s ? t 是 12 的约数,即 s ? t =1,2,3,4,6,12 不妨设 s ? t ,则 (s,t)= 1,

? S ?ABC ? rp ?

p ( p ? a )( p ? b)( p ? c )

A F c G B I r a E D b

( p ? a)( p ? b)( p ? c) ?r ? p
r2 易知: CD ? p ? c ,在 Rt ?CIE 中, DE ? p?c
即 DE

? s ? 1 ? s ? 2 ? s ? 3 ? s ? 5 ? s ? 11 ? s ? 7 ? ? ? ? ? ? 得 ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 5 ?m ? 6 ?m ? 8 ?m ? 9 ?m ? 10 ?m ? 11 ?m ? 35 ? ? ? ? ? ? ?s ? 7 C经检验,只有 ?t ? 5 符合题意, ? ?m ? 35 ?
a ? 14, b ? 10, c ? 11 或 a ? 10, b ? 14, c ? 11 , 所以: 即所求△ ABC 的周长为 35。

?

( p ? a )( p ? b) p ( p ? a )( p ? b) ab ? p p

∴ CE

? CD ? DE ? ( p ? c ) ?

10

试题来源:数学备课室

14.从 1,2,…,9 中任取 n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是 全部) ,它们的和能被 10 整除,求 n 的最小值. 解:当 n=4 时,数 1,3,5,8 中没有若干个数的和能被 10 整除.…………… 5 分

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “ 《数学周报》杯”2010 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题 1.B 2.D 3. D 4.C 5.C 6.D 7.B . 二、填空题
9.众数,平均数,中位数。 10. 1+ 3 或 1- 3 11.等边三角形

?,a5 是 1,2,…,9 中的 5 个不同的数.若其中任意若干个数, 当 n=5 时,设 a1,a2,
它们的和都不能被 10 整除,则 a1,a2, ?,a5 中不可能同时出现 1 和 9;2 和 8;3 和 7;4 和

8.B

?,a5 中必定有一个数是 5. 6.于是 a1,a2,
?,a5 中含 1,则不含 9.于是不含 4(4+1+5=10) 若 a1,a2, ,故含 6;于是不含 3
(3+6+1=10) ,故含 7;于是不含 2(2+1+7=10) ,故含 8.但是 5+7+8=20 是 10 的倍 数,矛盾.

12.0

13.15

1 11 14. y ? ? x+ 3 3

15.

5 ?1 2

16. 9

?,a5 中含 9,则不含 1.于是不含 6(6+9+5=20) 若 a1,a2, ,故含 4;于是不含 7
(7+4+9=20) ,故含 3;于是不含 8(8+9+3=10) ,故含 2.但是 5+3+2=10 是 10 的倍 数,矛盾. 综上所述,n 的最小值为 5.……………… 15 分 ★★ 14、已知有 6 个互不相同的正整数 a1,a2 ,?, a6 ,且 a1 ? a2 ? ? ? a6 ,从这 6 个数中 任意取出 3 个数,分别设为 ai,a j ,  ak ,其中 i ? j ? k 。记 f (i, j , k ) ?

三、解答题 17 解: (1)因为点 A(1,4)在双曲线 y ? 表达式为 y ?
4 . x 4 ) , t ? 0 ,AB 所在直线的函数表达式为 y ? mx ? n ,则有 t
?4 ? m ? n, ? ?4 ? mt ? n, ? ?t

k 上,所以 k=4. 故双曲线的函数 x

设点 B(t,

1 2 3 ? ? ai a j ak

证明: 一定存在 3 个不同的数组 (i, j, k ) , 其中 1 ? i ? j ? k ? 6 , 使得对应着的 3 个 f (i, j, k ) 两两之差的绝对值都小于 0.5.

4 4(t ? 1) 解得 m ? ? , n ? . t t
? 4(t ? 1) ? 于是,直线 AB 与 y 轴的交点坐标为 ? 0, ? ,故 t ? ?

1 ( 4 t ?1 ) S?AOB ? ? ?1 ? t ? ? 3 , 2 t

整理得 解得 t ? ?2 ,或 t=
11

2t 2 ? 3 t? 2 ? , 0

1 (舍去) .所以点 B 的坐标为( ?2 , ?2 ) . 2

试题来源:数学备课室

因为点 A,B 都在抛物线 y ? ax 2 ? bx (a ? 0)上,所以
?a ? b ? 4, ? ?4a ? 2b ? ?2, ?a ? 1, 解得 ? ?b ? 3.

(i)当 a ? 2b ? 0 时,
u ? 9a 2 ? 72b ? 2 ? 36b 2 ? 72b ? 2 ? 36 ? b ? 1? ? 34 ,
2

于是 b ? ?1 时, u 的最小值为 ?34 ,此时 a ? ?2 , b ? ?1 . (ii)当 3a ? 4b ? 5 ? 0 时,

????(10 分)

????(8 分)

u ? 9a 2 ? 72b ? 2 ? 16b 2 ? 32b ? 27 ? 16 ? b ? 1? ? 11 ,
2

(2)如图,因为 AC∥x 轴,所以 C( ?4 ,4) , 于是 CO=4 2 . 又 BO=2 2 ,所以
CO ? 2. BO

于是 b ? ?1 时, u 的最小值为 11,此时 a ? ?3 , b ? ?1 . 综上可知, u 的最小值为 ?34 . 19 证明:如图,连接 ED,FD. 因为 BE 和 CF 都是直径,所以 ED⊥BC,
(第 11(A)题)

????(15 分)

设抛物线 y ? ax 2 ? bx (a ? 0)与 x 轴负半轴相交 于点 D, 则点 D 的坐标为( ?3 ,0). 因为∠COD=∠BOD= 45? ,所以∠COB= 90? . (i)将△ BOA 绕点 O 顺时针旋转 90? ,得到△ B?OA1 .这时,点 B? ( ?2 ,2)是 CO 的中点,点 A1 的坐标为(4, ?1 ). 延长 OA1 到点 E1 ,使得 OE1 = 2OA1 ,这时点 E1 (8, ?2 )是符合条件的点 . (第 12B 题) (ii)作△ BOA 关于 x 轴的对称图形△ B?OA2 ,得到点 A2 (1,?4 ) ;延长 OA2 到点 E2 ,使得 OE2 = 2OA2 ,这时点 E2(2, ?8 )是符合条件的点. 所以,点 E 的坐标是(8, ?2 ) ,或(2, ?8 ). 18.解:由
3a2 ? 10ab ? 8b2 ? 5a ? 10b ? 0

FD⊥BC, ????(5 分)

因此 D,E,F 三点共线. 连接 AE,AF,则

?AEF ? ?ABC ? ?ACB ? ?AFD ,

所以,△ABC∽△AEF.

????(10 分)
EF ? BC EF ? BC

(第 12(B)题)

作 AH⊥EF,垂足为 H,则 AH=PD. 由△ABC∽△AEF 可得
AH , AP PD 从而 , AP PD EF 所以 . ????(20 分) tan ?PAD ? ? AP BC 1 20.解: (1)由方程①知, x ? 0 ,且 y= x+ . 所以,当 x ? 0 时,y≥2; x 当 x ? 0 时,y≤ ?2 ,故
y ≥2.

????(15 分)

????(5 分)

可得 ? a ? 2b ?? 3a ? 4b ? 5 ? ? 0 , 所以
a ? 2b ? 0 ,或 3a ? 4b ? 5 ? 0 .

(2)将 x 2 ? xy ? 1 代入方程②,得 x( y 2 ? ay ? b) ? 0 ,所以 ????(4 分)
12

y 2 ? ay ? b ? 0 .

试题来源:数学备课室

因为方程组有实数解,所以方程 y 2+ay+b=0 在 y ≤-2,或 y≥2 的范围内 至少有一个实根. (i) 当 a ≤4 时,有
? a ? a 2 ? 4b ≤ ?2 , 2

2011 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题 1.A 解:因为 a ? 7 ? 1 , a ? 1 ? 7 , a2 ? 6 ? 2a , 所以
3a 3 ? 12a 2 ? 6a ? 12 ? 3( a 6 ? 2a) ? 12 (6 ? 2a) ? 6a ? 12 ? ?6a 2 ? 12a ? 60 ? ?( 6 6 ? 2a) ? 12a ? 60 ? 24.

或 或 或

? a ? a 2 ? 4b ≥2, 2
a 2 ? 4b ≥ 4 ? a ,

所以 即

a 2 ? 4b ≥ 4 ? a ,

2a ≥ b ? 4 ,

2a ≤ ?(b ? 4) .

若 b ? 4 ≥0,即 b ≥ ?4 时, 2a ≥ b ? 4 ,由此得
a2 ≥
b2 ? 2b ? 4 , 4

2. B 解: (略) 3. D 解: (略) 4.C
2 解:由已知得 x ? 3x ? 1 ? 0,于是

5 4 16 16 5 a2+b2≥ b 2 +2b+4= (b+ ) 2 + ≥ , 4 5 5 5 4 4 8 当 b= ? 时,上式等号成立,此时 a=± . 5 5

所以

x ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? ( x 2 ? 3 x )( x 2 ? 3 x ? 2) ? ( x 2 ? 3x ? 1) 2 ? 1 ? ?1.
5.B 解: 依定义的运算法则,有 ?

若 b ? 4 ? 0,即b ? ?4 时,对于满足 2a ≥ b ? 4 ,或 2a ≤ ?(b ? 4) 的任意实数 a,
16 均有 a +b > . 5
2 2

????(15 分)

?ux ? vy ? u, ?u ( x ? 1) ? vy ? 0, 即? 对任何实数 ?vx ? uy ? v, ?v( x ? 1) ? uy ? 0

(ii)当 a ? 4 时, a2+b2>

16 . 5 16 综上可知,a2+b2 的最小值为 . 5

u,v 都成立. 由于实数 u,v 的任意性,得

????(20 6.D 解:由

( x,y )=(1,0) .

? x ? 2 y ? 5 z ? 3, ? ? x ? 2 y ? z ? ?5,

可得 于是
13

? x ? 3z ? 1, ? ? y ? z ? 2.

x2 ? y 2 ? z 2 ? 11z 2 ? 2 z ? 5 .

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因此,当 z ? 7.C

1 54 时, x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 . 11 11

二、填空题 11.3<m≤4
x2 ,则 x1 ? x2 ? 4 , 解:易知 x ? 2 是方程的一个根,设方程的另外两个根为 x1, x1 x2 ? m .显然 x1 ? x2 ? 4 ? 2 ,所以
x1 ? x2 ? 2,

y ?1 解:由题设可知 y ? x ,于是

x ? yx3 y ? x 4 y ?1 ,
所以 故y?

? ? 16 ? 4m ≥0,

4 y ? 1? 1 ,
9 1 ,从而 x ? 4 .于是 x ? y ? . 2 2



? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 2 , ? ? 16 ? 4m ≥0,所以

16 ? 4m ? 2 ,

? ? 16 ? 4m ≥0,

8.C
8 解:两式相加,得 3t ? 5t ? 8 ,解得 t ? 1,或 t ? ? (舍去) . 3
2

解之得 12.

3<m≤4.
1 9

当 t ? 1时, A ? 45?,B ? 30? 满足等式,故 t ? 1. 所以,实数 t 的所有可能值的和为 1. 9.C
? S1? , 解: 如图, 连接 DE , 设 S?D 则 E F

解: 在 36 对可能出现的结果中,有 4 对: (1,4) , (2,3) , (2,3) , (4,1) 的和为 5,所以朝上的面两数字之和为 5 的概率是 13.6
4 1 ? . 36 9

S1? EF S 4 ? ? , S 2 BF S3

解: 如图, 设点 C 的坐标为 , 点 D 的坐标为 , (a,b) (c,d) 则点 A 的坐标为 , 点 B 的坐标为 (a,a) (c,c) . 因为点 C,D 在 双曲线 y ?
1 上,所以 ab ? 1,cd ? 1 . x

从而有 S1? S3 ? S 2 S 4 .因为 S1 ? S1? ,所以 S1S3 ? S2 S4 . 10.A 解:当 k ? 2,, 3 ?, 2011 ,因为

由于 AC ? a ? b , BD ? c ? d , 又因为 BD ? 2 AC ,于是
c ? d ? 2 a ? b , c 2 ? 2cd ? d 2 ? ( 4 a 2 ? 2ab ? b2),

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, 3 2 k k ? k ? 1? 2 ? ? k ? 1? k k ? k ? 1? ?
所以
1 ? S ? 1? 1 1 1 1 1 ? ? 3?? ? ? 1 ? ? ? 3 3 2 3 2011 ? 2 2 1 ? 5 ?? , 2 ?0 1 1? 2 0 1 2 4

所以 即 4OC 2 ? OD2 ? 6. 14.
3 2

( 4 a 2 ? b2) ? (c2 ? d 2) ? 8ab ? 2cd ? 6,

于是有 4 ? 4S ? 5 ,故 4S 的整数部分等于 4.

1 1 解:由 1 ? x ≥0,且 x ? ≥0,得 ≤ x ≤ 1 . 2 2
14

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y2 ?

1 3 1 1 3 1 ? 2 ? x 2 ? x ? ? ? 2 ?( x ? ) 2 ? . 2 2 2 2 4 16

所以

?? ? 2 ? 1, ?? ? 2 ? ?3, 或? ? ? ? ? 2 ? 3; ? ? ? 2 ? ?1. ?? ? ?1, ?? ? ?5, 解得 ? 或? ? ? ? 1; ? ? ? ?3.

由于

1 3 3 < < 1 ,所以当 x = 时, y 2 取到最大值 1,故 a = 1 . 2 4 4
2 1 1 或 1 时, y 2 取到最小值 ,故 b = . 2 2 2

当x=

又因为 a ? ? (? ? ?), b ? ??,c ? ? ( [ ? ?1 ) ? (? ? 1 ) ], 所以
a ? 0,b ? ?1 ,c ? ?2 ;或者 a ? 8,b ? 15,c ? 6 ,

所以, a 2 ? b 2 ? 15.84

3 . 2

故 a ? b ? c ? ?3 ,或 29. 17.证明:如图,延长 AP 交⊙ O2 于点 Q , ①
FE AF ,即 ? CB AC

解:如图,设 BC=a,AC=b,则
a 2 ? b2 ? 352 =1225.

连接 AH,BD,QB,QC ,QH . 因为 AB 为⊙ O1 的直径, 所以∠ ADB ? ∠ BDQ ? 90°,

又 Rt △ AFE ∽ Rt △ ACB , 所 以
1 2 b? 1 2 ,故 ? a b
12(a ? b) ? ab .



故 BQ 为⊙ O2 的直径. 于是 CQ ? BC, BH ? HQ .

由①②得
2 2 2 , (a ? b ) ? a ? b ? 2 a b1 ?2 2 5 ( ?24 a ) ? b

又因为点 H 为△ ABC 的垂心,所以 AH ? BC, BH ? AC . 所以 AH ∥ CQ , AC ∥ HQ ,四边形 ACQH 为平行四边形. 所以点 P 为 CH 的中点. 18.解: (1)如图,分别过点 P,  Q 作 y 轴的垂线,垂 足分别为 C,  D. 设点 A 的坐标为(0, t ) ,则点 B 的坐标为(0,- t ). 设直线 PQ 的函数解析式为 y ? kx ? t , 并设 P,Q 的坐

解得 a+b=49(另一个解-25 舍去) ,所以
a ? b ? c ? 49 ? 35 ? 84 .

三、解答题 16. 解: 设方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个根为 ?,? , 其中 ?,? 为整数, 且? ≤ ? , 则方程 x 2 ? cx ? a ? 0 的两根为 ? ? 1,? ? 1 ,由题意得

? ? ? ? ?a, ?? ? 1?? ? ? 1? ? a ,
两式相加得 即

?? ? 2? ? 2? ? 1 ? 0 ,
(? ? 2)(? ? 2) ? 3 ,
15

(xQ,yQ) 标分别为 (xP,yP) , .由

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? y ? kx ? t, ? 2 ? y ? x 2, ? 3 ?

将b ?

3 2 1 3 代入 y ? x 2 ,得到点 Q 的坐标( , ). 2 2 3 2 3 . 3

得 于是

2 2 x ? kx ? t ? 0 , 3 3 2 xP xQ ? ? t ,即 t ? ? xP xQ . 2 3

再将点 Q 的坐标代入 y ? kx ? 1 ,求得 k ? ? 所以直线 PQ 的函数解析式为 y ? ?
3 x ?1 . 3

于是

2 2 2 2 2 2 x ?t xP ? xP xQ xP ( xP ? xQ ) BC yP ? t 3 P x 3 3 ? ? ? ? 3 ?? P. 2 2 2 2 BD yQ ? t 2 x 2 ? t x Q xQ ? xP xQ xQ ( xQ ? x P ) Q 3 3 3 3

根据对称性知,所求直线 PQ 的函数解析式为 y ? ? 解法二

3 3 x ? 1 ,或 y ? x ? 1. 3 3

设直线 PQ 的函数解析式为 y ? kx ? t ,其中 t ? 1.

又因为

x PC BC PC . ? ? P ,所以 ? QD xQ BD QD

由(1)可知,∠ ABP =∠ ABQ ? 30? ,所以 BQ ? 2 DQ . 故
2 2 xQ ? xQ ? ( yQ ? 1) 2 .

因为∠ BCP ? ∠ BDQ ? 90? ,所以△ BCP ∽△ BDQ , 故∠ ABP =∠ ABQ . (2)解法一 设 PC ? a , DQ ? b ,不妨设 a ≥ b >0,由(1)可知

将 yQ ?

2 2 xQ 代入上式,平方并整理得 3
4 2 2 2 4 xQ ? 15 xQ ? 9 ? 0 ,即 (4 xQ ? 3)( xQ ? 3) ? 0 .

∠ ABP =∠ ABQ ? 30? , BC = 3a , BD = 3b , 所以
AC = 3a ? 2 , AD = 2 ? 3b .

所以 xQ ?

3 或 3. 2
3 2 3 2 3 2

又由 (1)得 xP xQ ? ? t ? ? , xP ? xQ ? k . 若 xQ ?
3 2 3 , 代入上式得 xP ? ? 3, 从而 k ? ( xP ? xQ ) ? ? . 3 3 2 3 2 3 ,从而 k ? ( xP ? xQ ) ? . 3 3 2
3 3 x ? 1 ,或 y ? x ? 1. 3 3

因为 PC ∥ DQ ,所以△ ACP ∽△ ADQ . 于是
a 3a ? 2 PC AC ,即 ? , ? b 2 ? 3b DQ AD

同理,若 xQ ? 3,可得 xP ? ?

所以 a ? b ? 3ab .
3 3 3 3 3 , 由(1)中 xP xQ ? ? t ,即 ?ab ? ? ,所以 ab ? , a ? b ? 2 2 2 2

所以,直线 PQ 的函数解析式为 y ? ? 19.解:如图,作△ABQ,使得

于是可求得 a ? 2b ? 3.

则△ABQ∽△ACP . ?QAB ? ?PAC, ?ABQ ? ?ACP, 由于 AB ? 2 AC ,所以相似比为 2.
16

试题来源:数学备课室

于是
AQ ? 2 AP ? 2 3,BQ ? 2CP ? 4 .

2012 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题 1 。C 解:由实数 a,b,c 在数轴上的位置可知
?QAP ? ?QAB ? ?BAP ? ?PAC ? ?BAP ? ?BAC ? 60? .

b ? a ? 0 ? c ,且 b ? c ,
由 AQ : AP ? 2 :1 知, ?APQ ? 90? ,于是 PQ ? 3 AP ? 3 . 所以 所以 BP ? 25 ? BQ ? PQ ,从而 ?BQP ? 90? .
2 2 2

a 2 ? | a ? b | ? (c ? a)2 ? | b ? c |? ?a ? (a ? b) ? (c ? a) ? (b ? c) ? ?a .

于是
AB 2 ? PQ 2 ? ( AP ? BQ)2 ? 28 ? 8 3 .

2.B 解: 1 ?
2?

1 1 3? a

? 1? 2?

1 1 1? 2

? 1?

1 1 ? 1? ? 1? 2 ?1 ? 2 . 2 ?1 2 ? 2 ?1
2 3



S?ABC ?

1 3 2 6 ? 7 3 AB ? AC s i n 6 ?0 ? AB ? 2 8 2

3.D 解:由题设知, ?2 ? a ? (?3) , (?3) ? (?2) ? b ,所以 a ? ,b ? 6 .
? y? ? ? 解方程组 ? ?y ? ? ? 2 x, ? x ? ?3, ? x ? 3, 3 得? ? y ? ?2; ? y ? 2. 6 , ? x

所以另一个交点的坐标为(3,2). 注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原 点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2). 4.B 解:由题设 x2+y2≤2x+2y, 得 0≤ ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ≤2. 因为 x,y 均为整数,所以有
2 2 2 2 ? ?( x ? 1) ? 1, ?( x ? 1) ? 0, ? ?( x ? 1) ? 0, ? ?( x ? 1) ? 1, ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ?( y ? 1) ? 1. ?( y ? 1) ? 0; ? ?( y ? 1) ? 1; ? ?( y ? 1) ? 0; ?

解得
? x ? 1, ? x ? 1, ? x ? 1, ? x ? 0, ? x ? 0, ? x ? 0, ? x ? 2, ? x ? 2, ? x ? 2, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? 1; ? y ? 2; ? y ? 0; ? y ? 1; ? y ? 0; ? y ? 2; ? y ? 1; ? y ? 0; ? y ? 2.

以上共计 9 对 . (x,y) 5.D 解:由题设知, 1 ? a ? 1 ? a ? b ? 1 ? 2a ? b ,所以这四个数据的平均数为
17

试题来源:数学备课室

中位数为 于是

1 ? (a ? 1) ? (a ? b ? 1) ? (2a ? b) 3 ? 4a ? 2b , ? 4 4 (a ? 1 ? ) a(? b ? 1 ) ? 4a ? 4 b 2 , ? 2 4 4 ? 4a ? 2b 3 ? 4a ? 2b 1 ? ? . 4 4 4

符合题意. p ? 2 ,1≤q≤2,此时都有 ? ? p 2 ? 4q ? 0 . 于是共有 7 组 (p,q) 9.D 解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有 36 个, 其和除以 4 的余数分别是 0,1,2,3 的有序数对有 9 个,8 个,9 个,10 个,所 以 p0 ?
9 8 9 10 ,因此 p3 最大. ,p1 ? ,p2 ? ,p3 ? 36 36 36 36

6.B 解:如图,以 CD 为边作等边△CDE,连接 AE. 由于 AC = BC,CD = CE, ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE, 所以△BCD≌△ACE, BD = AE. 又因为 ?ADC ? 30? ,所以 ?ADE ? 90? . 在 Rt△ ADE 中, AE ? 5,AD ? 3, 于是 DE= AE 2 ? AD 2 ? 4 ,所以 CD = DE = 4. 7.D 解:设小倩所有的钱数为 x 元、小玲所有的钱数为 y 元, x,y 均为非负 整数. 由题设可得
? x ? 2 ? n( y ? 2), ? ? y ? n ? 2( x ? n),

10.C 解:因为 a ? b ? ab ? 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ,所以每次操作前和操作后,黑板 上的每个数加 1 后的乘积不变. 设经过 99 次操作后黑板上剩下的数为 x ,则
1 1 1 x ? 1 ? (1 ? 1)( ? 1)( ? 1)? ?? ( ? 1) , 2 3 100

解得 二、填空题

x ?1 ? 101 , x ? 100 .

11.7<x≤19 解:前四次操作的结果分别为 3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80. 由已知得 27x-26≤487, 81x-80>487. 解得 7<x≤19.

消去 x 得 2n =

(2y-7)n = y+4,
(2 y ? 7) ? 15 15 . ? 1? 2y ? 7 2y ? 7

容易验证,当 7<x≤19 时, 3x ? 2 ≤487 9 x ? 8 ≤487,故 x 的取值范围是 7<x≤19. 12.8 解:连接 DF,记正方形 ABCD 的边长为 2 a . 由 题设易知△ BFN ∽△ DAN ,所以
AD AN DN 2 ? ? ? , BF NF BN 1 2 由此得 AN ? 2NF ,所以 AN ? AF . 3 在 Rt△ABF 中,因为 AB ? 2a,BF ? a ,所以
AF ? AB 2 ? BF 2 ? 5a ,
18

15 因为 为正整数,所以 2y-7 的值分别为 1,3,5,15,所以 y 的值只能 2y ? 7

为 4,5,6,11.从而 n 的值分别为 8,3,2,1;x 的值分别为 14,7,6,7. 8.C 解:由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为 ?q ? 0 ,故方程的 根为一正一负.由二次函数 y ? x 2 ? px ? q 的图象知,当 x ? 3 时, y ? 0 ,所以
32 ? 3 p ? q ? 0 ,即 3 p ? q ? 9 . 由于 p,q 都是正整数,所以 p ? 1 ,1≤q≤5;或

试题来源:数学备课室

于是

cos ?BAF ?

AB 2 5 . ? AF 5

由此得 m ? 8 ,或 m ? 9 . 当 m ? 8 时, b ? 40,a ? 5 ;当 m ? 9 时, b ? 20,a ? 35 , a ? 设. 故m?8. 15.
3 2 解:如图,连接 AC,BD,OD. 2
a ? b 55 ,不合题 ? 2 2

由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED ? ?AFB ,
?AME ? 1800 ? ?BAF ? ?AED ? 1800 ? ?BAF ? ?AFB ? 90? .

于是

AM ? AE ? cos ?BAF ?

2 5 a, 5

2 4 5 MN ? AN ? AM ? AF ? AM ? a, 3 15
S?MND MN 4 ? ? . S?AFD AF 15

由 AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°,四边形 ABCD 是⊙O
4 8 S?AFD ? a 2 . 15 15

又 S?AFD ? ? (2a) ? (2a) ? 2a 2 ,所以 S?MND ? 因为 a ? 15 ,所以 S?MND ? 8 .

1 2

的内接四边形,所以 ∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此
BC BA . ? CF AD

2 13. ? 解:根据题意,关于 x 的方程有 3 3 9 ? =k2-4 ( k 2 ? 3k ? ) ≥0, 4 2

因为 OD 是⊙O 的半径,AD = CD,所以 OD 垂直平分 AC,OD∥BC, 于是
DE OE ? ? 2 . 因此 DC OB

由此得
2 2

(k-3)2≤0.
2

9 又 (k - 3) ≥ 0 ,所以 (k - 3) =0 ,从而 k=3. 此时方程为 x +3x+ =0 ,解得 4 3 x1=x2= ? . 2

DE ? 2CD ? 2 AD,CE ? 3AD .
由△ AED ∽△ CEB ,知 DE ? EC ? AE ? BE .因为 AE ? 所以 2 AD ? 3 AD ?
BA 3 ? BA ,BA= 2 2 AD ,故 2 2 CF ?
BC 3 2 AD ? . ? BC ? 2 BA 2 2

BA 3 ,BE ? BA , 2 2



x1 x2

2011 2012

=

1 2 =? . x2 3

14.8 解:设平局数为 a ,胜(负)局数为 b ,由题设知
2a ? 3b ? 130 ,

三、解答题 16.解: 因为当 ?1 ? x ? 3 时,恒有 y ? 0 ,所以
2 ?? (m ? 3) ?( 4 m ? 2) ? 0, 2 (m ? 1 ) ? 0 ,所以 m ? ?1 . 即

由此得 0≤b≤43. 又 a?b ?
(m ? 1)(m ? 2) ,所以 2a ? 2b ? (m ? 1)(m ? 2) . 于是 2

0≤ b ? 130 ? (m ? 1)(m ? 2) ≤43, 87≤ (m ? 1)(m ? 2) ≤130,
19

????(3 分)

试题来源:数学备课室

当 x ? ?1 时, y ≤ 0 ;当 x ? 3 时, y ≤ 0 ,即
(?1)2 ? (m ? 3)(?1) ? m ? 2 ≤ 0 ,

△BOC∽△ DO1F . ????(15 分) 18.解:设 a-b = m(m 是素数) ,ab = n2(n 是正整数). 因为 所以 ????(8 分) (a+b)2-4ab = (a-b)2, (2a-m)2-4n2 = m2, (2a-m+2n)(2a-m-2n) = m2. ????(5 分) 因为 2a-m+2n 与 2a-m-2n 都是正整数,且 2a-m+2n>2a-m-2n (m 为

且 解得 m ≤ ?5 .

32 ? 3 m ( ? 3 ?)m ? ≤ 20 ,

设方程 x 2 ? ? m ? 3? x ? ? m ? 2 ? ? 0 的两个实数根分别为 x1,x2 , 由一元二次方程 根与系数的关系得
x1 ? x2 ? ? ? m ? 3?,x1 x2 ? m ? 2 .

素数),所以 2a-m+2n ? m 2,2a-m-2n ? 1. 解得 a?
(m ? 1) 2 m2 ? 1 ,n ? . 4 4

因为

1 1 9 ? ? ? ,所以 x1 x2 10
x1 ? x2 m?3 9 ?? ?? , x1 x2 m?2 10

于是

解得 m ? ?12 ,或 m ? ?2 . 因此 m ? ?12 . ????(15 分) 17. 证明:连接 BD,因为 OB 为 ? O1 的直径,所以
?ODB ? 90? .又因为 DC ? DE ,所以△CBE 是等腰三角

2 (m ? 1 ) . b = a-m ? 4

????(10 分) 又 a≥2012,即
(m ? 1) 2 ≥2012. 4
(89 ? 1) 2 =2025. 4

又因为 m 是素数,解得 m≥89. 此时,a≥

形. ????(5 分) 设 BC 与 ? O1 交于点 M , 连接 OM, 则 ?OMB ? 90? . 又 因为 OC ? OB ,所以 因此,a 的最小值为 2025.

当 a ? 2025 时, m ? 89 , b ? 1936 , n ? 1980 .

????(15 分)

?BOC ? 2?DOM ? 2?DBC ? 2?DBF ? ?DO1F .
????(10 分) 又因为 ?BOC,?DO1 F 分别是等腰△ BOC ,等腰△ DO1F 的顶角,所以
20

试题来源:数学备课室

? x2012 都是正整数,且 x1 ? x2 ? ? ? x2012 ,所以 19.解:由于 x1,x2, ,

x1 ≥1, x2 ≥2,?, x2012 ≥2012.

于是

n?

1 2 2012 1 2 2012 ≤ ? ??? ? ?? ? ? 2012 . x1 x2 x2012 1 2 2012

????(5 分)
? x2012 ? 2012 ? 2012 ,则 当 n ? 1 时,令 x1 ? 2012,x2 ? 2 ? 2012, ,

1 2 2012 ? ??? ? 1. x1 x2 x2012

????(10 分)
? xk ? k, 当 n ? k ? 1 时,其中 1≤ k ≤ 2011 ,令 x1 ? 1,x2 ? 2, , xk ?1 ? (2012 ? k )(k ? 1),xk ? 2 ? (2012 ? k )(k ? 2),x2012 ? (2012 ? k ) ? 2012 ,则

1 2 2012 1 ? ?? ? ? k ? (2012 ? k ) ? ? k ?1 ? n . x1 x2 x2012 2012 ? k

综上,满足条件的所有正整数 n 为 1 ,  2, ,  ? 2012 . ????(15 分)

21


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