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2015福建省高考压轴卷 文数word版含答案


2015 福建省高考压轴卷文科数学
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.已知复数 z ? (a 2 ? 1) ? (a ? 2)i (a ? R) 是纯虚数,则 a ? ( ) A. 1 B. ?1 C. ?1或 1 D. 2 ) 2. 已知集合 A, B 均为全集 U ? ?

1 且 CU ? A ? B ? ? ?4? , B ? ?1 , 2, 3, 4? 的子集, , 2? ,则 A ? CU B ? (

A . ?3?
A.

B. ?4?
B. a ? b
2 2

C.

4? ?3,
C. a b ? ab
2 2

D. ?
) D. a ? b
3 3

3. 若 a , b 为非零实数,且 a ? b ,则下列命题成立的是(

1 1 ? a b

4. 已知角 ? 的终边与单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 交于 P( , y 0 ) ,则 cos 2? 等于( A. -

1 2



1 2

B.

1 2

C. -

3 2

D.1

5.将一个总体分为 A, B, C 三层,其个体数之比为 523,若用分层抽样抽取容量为 200 的样本,则应从 C 中 抽取的个体数是( A. 20 ) B. 40 C. 60 D. 80

6.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为 a ,又 n( A) 表示集合的 元素个数, A ? x || x ? ax ? 3 |? 1, x ? R ,则 n( A) ? 4 的概率为
2

?

?




C Q B P

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

1 D. 6

7. 如图, PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径,△ABC 是边长为 1 的正三角形,则 BP ? CQ 的最大值为( A. ) B.

A

1 2

1 4

C.1

D.2

8. 已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为 16,则循环体的判 断框内①处应填 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5

9.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E 在 A 1 D 上且 A 1E ? 2ED ,点 F 在 AC 上且

CF ? 2 FA , 则 EF 与 BD1 的位置关系是(
A. 相交不垂直

)

B. 相交垂直 2015 高考压轴卷

C. 异面

D. 平行

10. 抛物线 C1: x =2py (p>0) 的焦点与双曲线 C2: -y =1 的左焦点的连线交 C1 于第二象限内的点 M. 若 3 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( ) 3 3 2 3 4 3 A. B. C. D. 16 8 3 3

2

x2

2

? x ? y ? 1, ? 11.若 x,y 满足 ? x ? y ? ?1,且z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则实数 a 的取值范围是( ?2 x ? y ? 2, ?
A. a ? ?? 4,0? B. a ? ?0,2? C. a ? (?4, 2) D. a ? ?? 4,0? ? ?0,2?



1? | x ? 1 | ( x ? 2) ? ? (1, ? ?) 12 .已知函数 f ( x ) ? ? 1 2 ,如果在区间 上存在 n(n ? 1) 个不同的数 ? x ? 2 x ? 3 ( x ? 2) ? ? 4 f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) 成立,则 n 的取值构成的集合是( ) ? ??? x1 , x2 , x3 ,?, xn 使得比值 x1 x2 xn 3} 2, 3} 3, 4} 2, 3, 4} A. {2, B. {1, C. {2, D. {1,
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上.) 13.已知等差数列 5, 4

2 4 ,3 ,... 的前 n 项和为 Sn ,则使得 Sn 最大的序号 n 的值为________. 7 7

14.若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是_________. 15.圆心在曲线 y ? ?

3 ( x ? 0) 上,且与直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 相切的面积最小的圆的方程是_____________. x

16. 如果对任意一个三角形, 只要它的三边长 a ,b ,c 都在函数 f ( x) 的定义域内, 就有 f (a) , f (b) , f (c) 也是某个三角形的三边长,则称 f ( x) 为“Л 型函数”.则下列函数: ① f ( x) ? x ; ② g ( x) ? sin x x ? (0 , π) ; ③ h( x) ? ln x 是“Л 型函数”的序号为 .
x ? [2, ? ?) ,

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 汽车是碳排放量比较大的行业之一,某地规定,从 2014 年开始,将对二氧化碳排放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税. 检测单位对甲、 乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测, 记录如下(单位:g/km).

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 x乙 ? 120g / km . (Ⅰ) 从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆,则至少有一辆二氧化碳排放量超过 130 g / km 的概 2015 高考压轴卷

率是多少? (Ⅱ)求表中 x 的值,并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性.

18.(本小题满分 12 分) 正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a4 ? 16 ,且 a2 , a3 的等差中项为 S2 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n a2 n ?1

,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

8 . 9

19.(本小题满分12分) 在直角坐标系xOy中,若角 ? 的始边为x轴的非负半轴,终边为射线l:y= 2 2 x ( x ≥0). (1)求 sin(2? ?

?

(2)若点 P,Q 分别是角 ? 始边、终边上的动点,且 PQ=4,求△POQ 面积最大时,点 P,Q 的坐标.

6

) 的值;

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 3 的正方形,平面 PCD⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. (I)求证 PA / /平面BDE ;

2 DC ,求证平面 PDA ? 平面 PCB ; 2 (III)若侧棱 PD ? 底面ABCD ,PD=4.求 ?PAD 以 PA 为轴旋转所围成的几何体体积.
(II)若 PD ? PC ?

2015 高考压轴卷

21.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 P 是坐标平面内 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左,右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 2 a b 2 ? 3 ??? ? 7 ???? ???? 一点,且 OP ? , PF1 ? PF2 ? ,其中 O 为坐标原点. 4 2 (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)过点 S (0, ? ) ,且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A, B 两点,在 y 轴上是否存在定点 M ,使以 A, B 为 3 直径的圆恒过这个定点?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由
已知椭圆 C :

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? e)(ln x ? 1) (e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)若 m 是 f ( x ) 的一个极值点,且点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 满足条件:

(1 ? ln x1 )(1 ? ln x2 ) ? ?1.
(ⅰ)求 m 的值; (ⅱ) 若点 A, B, P(m, f (m)) 是三个不同的点, 判断 A, B, P 三点是否可以构成直角三角形?请说明理由。

2015 高考压轴卷

2015 福建省高考压轴卷文科数学答案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) CADAC BAADD CB 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在相应横线上.) 13. 7 或 8 14. 5

3? ? 15. ? x ? 2 ? ? ? y ? ? ? 9 2? ?
2

2

16. ①③

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 解: (1)从被检测的 5 辆甲品牌的轻型汽车中任取 2 辆,共有 10 种不同的二氧化碳排放量结果: (80,110) , (80,120) , (80,140) , (80,150) , (110,120) , (110,140) , (110,150) , (120,140) , (120,150) , (140,150) 。 ????2 分 设“至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km”为事件 A,则事件 A 包含以下 7 种不同的结果: (80,140) , (80,150) , (110,140) , (110,150) , (120,140) , (120,150) , (140,150) ∴ P ( A) ?

7 ? 0.7 10 480 ? x ? 120 , 解得 x ? 120 ????7 分 5
????8 分

答:至少有一辆二氧化碳排放量超过 130g/km 的概率为 0.7. ????6 分 (2)由题可知, x乙 ? 120, ? 又 x甲 ? 120 ,

2 2 2 2 2 2 ? ? (110-120) ? (120-120) ? (140-120) ? (150-120) ∴ s甲 ? ( ? 80-120) ? ? ? 600 ,

1 5

1 2 2 2 2 2 2 ? 100-120) ? s乙 ? ( ? (120-120) ? (120-120) ? (100-120) ? (160-120) ? ? 480 ,???11 分 5?
∵ x甲 ? x乙 ? 120 , s甲 ? s乙 ,
2 2

∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。 18. 解: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q(q ? 0) ,

????12 分

3 ? ?a1 ? 2 ?a1q ? 16 由题意,得 ? ,解得 ? , 2 ? ?q ? 2 ?a1q ? a1q ? 2(a1 ? a1q)

所以 an ? 2 .
n

????6 分

1 2 3 4 n ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 , 2 2 2 2 2 a2 n?1 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n?1 , 3 4 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 3 1 1 1 1 1 n 2 4 ? n ? 2 ? 4 ? 3n Tn ? ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 n?1 3 3 ? 2 2 n?1 1? 4 8 8 16 ? 12n 16 ? 12 n * ? 0 , 所以 Tn ? . ????12 分 故 Tn ? ? . 因为 n ? N , 2 n ?1 2 n ?1 9 9 9?2 9?2
(2)因为 bn ?

n

?

n

2 n?1

, 所以 Tn ?

2015 高考压轴卷

19. (1 )由射线 l 的方程为 y ? 2 2x ,可得 sin ? ?

2 2 1 , cos? ? , ????4 分 3 3

????6 分 ? ? ? 2 6 7 故 sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? ? . 6 6 6 9 18 (2) 设 P?a,0?, Q b,2 2b ?a ? 0, b ? 0? 在 ?POQ 中, 因为 PQ2 ? ?a ? b? ? 8b 2 ? 16 ,
2
2 2

?

?

????7 分

即 16 ? a ? 9b ? 2ab ? 6ab ? 2ab ? 4ab ,所以 ab ≤4. ????8 分

2 3 取得等号. ????10 分 3 ?2 3 4 6? ? 所以 ?POQ 面积最大时,点 P, Q 的坐标分别为 P 2 3 ,0 , Q? ? 3 , 3 ? . ????12分 ? ?
∴ S?POQ ? 2ab ? 4 2 .当且仅当 a ? 3b ,即 a ? 2 3, b ?

?

?

20. 解 (1)连接 AC 交 BD 于 O, 连接 EO. ∵ABCD 是正方形, ∴O 为 AC 中点, 已知 E 为 PC 的中点, ∴OE//PA. ???2 分 又∵OE ? 平面 BDE, PA ? 平面 BDE, ∴PA//平面 BDE. ????3 分 (2)在 ?DPC 中, PD ? PC ?

2 DC , 2

? PD 2 ? PC 2 ? DC 2 , 即 DP⊥PC. ??4 分

又已知 平面 PCD⊥底面 ABCD, 平面 PCD∩平面 ABCD=DC BC⊥DC; ∴BC⊥平面 PDC, PD ? 平面 PDC, ∴PD⊥BC, ???? 6 分 BC 与 PC 相交且在平面 PBC 内. ∴PD⊥平面 PCB, PD ? 平面 PDA, ∴平面 PDA⊥平面 PCB. ???? 8 分 (3)过 D 作 PA 的垂线.垂足为 H,则几何体为以 DH 为半径,分别以 PH,AH 为高的两个圆锥 的组合体. ????9 分 侧棱 PD⊥底面 ABCD, ∴PD⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5

PD ? DA 4 ? 3 12 ? ? ,????10 分 PA 5 5 1 1 V ? ? DH 2 ? PH ? ? DH 2 ? AH 3 3 ????12 分 1 1 12 2 48 2 ? ? DH ? PA ? ? ? ( ) ? 5 ? ? 3 3 5 5 DH ?

c2 1 ? ? a 2 ? 2c 2 ,设 P(m, n) ,又 F1 (?c,0) , F2 (c,0) , a2 2 7 3 m 2 ? n 2 ? , (?c ? m, ?n) ? (c ? m, ?n) ? m 2 ? c 2 ? n 2 ? , 4 4 7 2 3 ? c ? ? c 2 ? 1 ,从而 a2 ? 2, b2 ? 1. 4 4 x2 ? y 2 ? 1. ????4 分 椭圆 C 的方程为 2 1 4 16 2 2 ? 0 , ? ? 0 成立. (2)设 l AB : y ? kx ? 代入椭圆整理得 (2k ? 1) x ? kx ? 3 3 9
21. 解:(1) e ?
2

2015 高考压轴卷

记 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 设存在定点 M (0, m) , MA ? MB ? 0

???? ????

4k 16 , x1 x2 ? ? , 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1)

( x1, y1 ? m) ? ( x2 , y2 ? m) ? x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? 0 1 1 x1 x2 ? (kx1 ? m ? )(kx2 ? m ? ) ? 0, 3 3 1 1 (k 2 ? 1) x1 x2 ? k (m ? )( x1 ? x2 ) ? (m ? ) 2 ? 0 3 3 ?16 1 4k 1 (k 2 ? 1) ? ? k ? (m ? ) ? (m ? ) 2 ? 0 2 2 9(2k ? 1) 3 3(2k ? 1) 3 1 2 1 ?16(k 2 ? 1) ? 12k 2 (m ? ) ? 9(2k 2 ? 1)(m 2 ? m ? ) ? 0, 3 3 9 2 2 2 18k (m ?1) ? (9m ? 6m?15) ? 0 ,

? m2 ? 1 ? 0 ? m ? 1. 存在定点 M (01) 满足要求. ????12 分 ? 2 9 m ? 6 m ? 15 ? 0 ?
22.(Ⅰ) f ?( x) ? ln x ?

e , f ?(1) ? ?e ,又 f (1) ? e ? 1 ,所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 x 处的切线方程为 y ? (e ? 1) ? ?e( x ? 1) ,即 ex ? y ? 2e ? 1 ? 0 . ????4 分

(Ⅱ) (ⅰ)对于 f ?( x) ? ln x ?

e ,定义域为 (0, + ? ) . x e e 当 0 ? x ? e 时, ln x ? 1 , ? ? ?1 ,∴ f ?( x) ? ln x ? ? 0 ; x x e 当 x ? e 时, f ?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ;当 x ? e 时, ln x ? 1 , ? ? ?1 , x e ?0 x
????8 分

∴ f ?( x) ? ln x ?

所以 f ( x ) 存在唯一的极值点 e ,∴ m ? e ,则点 P 为 (e, 0)

(ⅱ)若 x1 ? e ,则 (1 ? ln x1 )(1 ? ln x2 ) ? 0 ,与条件 (1 ? ln x1 )(1 ? ln x2 ) ? ?1不符, 从而得 x1 ? e .同理可得 x2 ? e . 若 x1 ? x2 ,则 (1 ?ln x)(1 ? ln x )2 ? (1 ln ? )x1 0 ? 1
2

,与条件 (1 ? ln x1 )(1 ? ln x2 ) ? ?1不符,从而得

x1 ? x2 .

??? ? ??? ? PA ? PB ? ( x1 ? e, f ( x1 )) ? ( x2 ? e, f ( x2 ))
? ( x1 ? e)( x2 ? e) ? ( x1 ? e)( x2 ? e)(ln x1 ?1)(ln x2 ?1) ? ( x1 ? e)( x2 ? e)(ln x1 ln x2 ? ln x1x2 ? 2) ? 0
从而 PA ? PB ,点 A , B , P 可构成直角三角形. ????14 分

由上可得点 A , B , P 两两不重合.

2015 高考压轴卷


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