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2015创新设计(高中理科数学)题组训练8-9


第9讲

圆锥曲线的热点问题
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k 的值为 ( A.1 C.0 解析 B.1 或 3 D.1 或 0 ?y=kx+2, 由? 2 得 k2x2+(4k-8)x+4=0,若 k=0,则 y=2,若 k≠0, ?y

=8x, ).

若 Δ=0,即 64-64k=0,解得 k=1,因此直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有 且只有一个公共点,则 k=0 或 1. 答案 D

x2 y2 2.(2014· 济南模拟)若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与直线 y= 3x 无交点,则离心 率 e 的取值范围是 A.(1,2) C.(1, 5) 解析 B.(1,2] D.(1, 5] ( ).

b 因为双曲线的渐近线为 y=± ax,要使直线 y= 3x 与双曲线无交点,

b 则直线 y= 3x 应在两渐近线之间,所以有a≤ 3, 即 b≤ 3a,所以 b2≤3a2, c2-a2≤3a2,即 c2≤4a2,e2≤4,所以 1<e≤2. 答案 B

x2 3.(2014· 烟台期末考试)已知与向量 v=(1,0)平行的直线 l 与双曲线 4 -y2=1 相 交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 A.2 C.4 解析 B. 5 D.2 5 x2 由题意可设直线 l 的方程为 y=m,代入 4 -y2=1 得 x2=4(1+m2),所 ( ).

以 x1= 4?1+m2?=2 1+m2, x2=-2 1+m2, 所以|AB|=|x1-x2|=4 1+m2, 所以|AB|=4 1+m2≥4,即当 m=0 时,|AB|有最小值 4. 答案 C
2

y2 4.(2014· 西安模拟)已知双曲线 x - 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双 → → 曲线右支上一点,则PA1· PF2的最小值为 A.-2 C.1 解析 81 B.-16 D.0 y2 2 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0),F2(2,0),则有 3 =x -1, ( ).

→ → y2=3(x2-1), PA1· PF2=(-1-x, -y)· (2-x, -y)=(x+1)(x-2)+y2=x2+3(x2 → → ? 1? 81 -1)-x-2=4x2-x-5=4?x-8?2-16,其中 x≥1.因此,当 x=1 时,PA1· PF2 ? ? 取得最小值-2,选 A. 答案 A

x2 y2 5.(2014· 宁波十校联考)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1, F2,离心率为 e,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A,B 两点,若△F1AB 是 以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2= A.1+2 2 C.5-2 2 解析 B.4-2 2 D.3+2 2 ( ).

如图,设|AF1|=m,则|BF1|= 2m,|AF2|=m-2a,|BF2|= 2m-2a,

∴|AB|=|AF2|+|BF2|=m-2a+ 2m-2a=m, 得 m=2 2a, 又由|AF1|2+|AF2|2 =|F1F2|2,可得 m2+(m-2a)2=4c2,

c2 即得(20-8 2)a2=4c2,∴e2=a2=5-2 2,故应选 C. 答案 C

二、填空题 x2 y2 6.(2014· 东北三省联考)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),F( 2,0)为其右焦点, 过 F 垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2,则椭圆 C 的方程为 ________. c= 2, ? ?b2 由题意,得? =1, a ? ?a2=b2+c2,

解析

?a=2, x2 y2 解得? ∴椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1. ?b= 2, 答案 x2 y2 4 + 2 =1

y2 7.已知双曲线方程是 x2- 2 =1,过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1,P2 两点, 并使 P(2,1)为 P1P2 的中点,则此直线方程是________. 解析 =
2 y2-y1 y2 1 2 y2 设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由 x2 - = 1 , x - = 1 ,得 k = 1 2 2 2 x2-x1

2?x2+x1? 2×4 = 2 =4,从而所求方程为 4x-y-7=0.将此直线方程与双曲线 y2+y1

方程联立得 14x2-56x+51=0,Δ>0,故此直线满足条件. 答案 4x-y-7=0

8.(2014· 青岛调研)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛 |AF| 物线分别交于 A,B 两点,则|BF|的值是________. 解析 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2,易知直线 AB 的方程为 y= 3x- 2

3 5 p,代入抛物线方程 y2=2px,可得 3x2-5px+4p2=0,所以 x1+x2=3p,x1x2

3p p 2 +2 p 3 p |AF| = 4 ,可得 x1=2p,x2=6,可得|BF|= p= p p =3. x2+2 6+2
2

p x1+2

答案

3

三、解答题 x2 y2 9.椭圆a2+b2=1(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值; a b ? 3 2? (2)若椭圆的离心率 e∈? , ?,求椭圆长轴长的取值范围. 2? ?3 (1)证明
2 2 2 2 2 2 ?b x +a y =a b , 由? 消去 y, ?x+y-1=0

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,① ∵直线与椭圆有两个交点,∴Δ>0, 即 4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0?a2b2(a2+b2-1)>0, ∵a>b>0,∴a2+b2>1. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1 、x2 是方程①的两实根. a2?1-b2? 2a2 ∴x1+x2= 2 , x x = .② a +b2 1 2 a2+b2 由 OP⊥OQ 得 x1x2+y1y2=0, 又 y1=1-x1,y2=1-x2, 得 2x1x2-(x1+x2)+1=0.③ 式②代入式③化简得 a2+b2=2a2b2.④ 1 1 ∴a2+b2=2. (2)解 利用(1)的结论,将 a 表示为 e 的函数

c 由 e=a?b2=a2-a2e2, 代入式④,得 2-e2-2a2(1-e2)=0. 2-e2 1 1 ∴a = = + . 2?1-e2? 2 2?1-e2?
2

3 2 5 3 ∵ 3 ≤e≤ 2 ,∴4≤a2≤2. 5 6 ∵a>0,∴ 2 ≤a≤ 2 . ∴长轴长的取值范围是[ 5, 6]. x2 y2 10.(2014· 佛山模拟)已知椭圆a2+b2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 为圆 x2+y2+2x =0 的圆心,且椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2-1. (1)求椭圆方程; ? 5 ? (2)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,点 M?-4,0?,证 ? ? → → 明:MA· MB为定值. 解 (1)化圆的标准方程为(x+1)2+y2=1,

则圆心为(-1,0),半径 r=1,所以椭圆的半焦距 c=1. 又椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2-1,所以 a-c= 2-1,即 a= 2. x2 2 故所求椭圆的方程为 2 +y =1. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,l 的方程为 x=-1. ? ? 2? 2? 可求得 A?-1, ?,B?-1,- ?. 2? 2? ? ? → → ? 7 5 2? ? 5 2? ?-1+ ,- ?=- . 此时,MA· MB=?-1+ , ?· 16 4 2 ?? 4 2? ? ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1), y=k?x+1?, ? ? 由?x2 2 +y =1, ? ?2 得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

2k2-2 4k2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- , x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 → → ? 5 5 5?? 5? ?? ? ? ?x2+4,y2?=?x1+4??x2+4?+y1y2 因为MA· MB=?x1+4,y1?· ? ?? ? ? ?? ? 5 ?5? =x1x2+4(x1+x2)+?4?2+k(x1+1)· k(x2+1) ? ?

25 ? 2 5? =(1+k2)x1x2+?k +4?(x1+x2)+k2+16 ? ? 4k2 ? 2 25 2k2-2 ? 2 5?? =(1+k )· +?k +4??-1+2k2?+k +16 ?? 1+2k2 ? ?
2

-4k2-2 25 25 7 = 2 + =-2+ =- . 16 16 16 1+2k → → 7 所以,MA· MB为定值,且定值为-16. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 x2 y2 1.(2014· 石家庄模拟)若 AB 是过椭圆a2+b2=1(a>b>0)中心的一条弦,M 是椭 圆上任意一点,且 AM、BM 与两坐标轴均不平行,kAM,kBM 分别表示直线 AM,BM 的斜率,则 kAM· kBM= c2 A.-a2 c2 C.-b2 解析 法一 b2 B.-a2 a2 D.-b2 (直接法):设 A(x1,y1),M(x0,y0), ( ).

则 B(-x1,-y1),
2 y0-y1 y0+y1 y2 0-y1 kAM· kBM= · = 2 x0-x1 x0+x1 x2 0-x1

b2 2 2 b2 2 -a2x0 +b +a2x1-b2 b2 = =-a2. 2 x2 0-x1 法二 (特殊值法):因为四个选项为定值,取 A(a,0),B(-a,0),M(0,b),可

b2 得 kAM· kBM=-a2. 答案 B

2.(2014· 兰州诊断)若直线 mx+ny=4 和⊙O:x2+y2=4 没有交点,则过点(m, x2 y2 n)的直线与椭圆 9 + 4 =1 的交点个数为 ( ).

A.至多一个 C.1 解析

B.2 D.0

∵直线 mx+ny=4 和⊙O:x2+y2=4 没有交点,

4 m2 n2 m2 n2 x2 y2 2 2 ∴ >2,∴m +n <4,∴ 9 + 4 < 4 + 4 <1,∴点(m,n)在椭圆 9 + 4 = m2+n2 x2 y2 1 的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆 9 + 4 =1 的交点有 2 个,故选 B. 答案 B

二、填空题 x2 2 3.(2014· 上海普陀一模)若 C(- 3,0),D( 3,0),M 是椭圆 4 +y =1 上的动 1 1 点,则|MC|+|MD|的最小值为________. 解析 x2 2 由椭圆 4 +y =1 知 c2=4-1=3,∴c= 3,

∴C、D 是该椭圆的两焦点, 令|MC|=r1,|MD|=r2, 则 r1+r2=2a=4, 1 1 1 1 r1+r2 4 ∴|MC|+|MD|=r +r = r r =r r ,
1 2 1 2 1 2

?r1+r2? 16 又∵r1r2≤ 4 2= 4 =4, 1 1 4 ∴|MC|+|MD|=r r ≥1.
1 2

当且仅当 r1=r2 时,上式等号成立. 1 1 故|MC|+|MD|的最小值为 1. 答案 1

三、解答题 x2 y2 4.(2014· 合肥一模)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 和 F2, 由四个点 M(-a,b)、N(a,b)、F2 和 F1 组成了一个高为 3,面积为 3 3的 等腰梯形. (1)求椭圆的方程;

(2)过点 F1 的直线和椭圆交于两点 A,B,求△F2AB 面积的最大值. 解 (1)由条件,得 b= 3,且 2a+2c 2 × 3=3 3,

所以 a+c=3.又 a2-c2=3,解得 a=2,c=1. x2 y2 所以椭圆的方程 4 + 3 =1. (2)显然,直线的斜率不能为 0,设直线方程为 x=my-1,直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2). x2 y2 ? ? + =1, 联立方程? 4 3 ? ?x=my-1, 消去 x,

得(3m2+4)y2-6my-9=0, 因为直线过椭圆内的点,无论 m 为何值,直线和椭圆总相交. 6m 9 ∴y1+y2= 2 ,y1y2=- 2 . 3m +4 3m +4 1 S△F2AB=2|F1F2||y1-y2|=|y1-y2| = ?y1+y2? -4y1y2=12 =4 1?2=4 ? 2 ?m +1+3? ? ? m2+1
2

m2+1 ?3m2+4?2 , 2 1 m +1+3+ 9?m2+1?
2

1

1? 1 ? ?1 ? 令 t=m2+1≥1, 设 y=t+9t, 易知 t∈?0,3?时, 函数单调递减, t∈?3,+∞? ? ? ? ? 10 函数单调递增,所以当 t=m2+1=1,即 m=0 时,ymin= 9 . S△F2AB 取最大值 3.


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