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2015年华南师大附中高三综合测试(三模)数学(文科)精编含解析


2015 年华南师大附中综合测试
数 学(文科)
2015.5 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净 后,

再选涂其它答案;不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作 答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回.

第一部分 选择题(共 50 分) 一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.)
2 1.设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 8 ? ? m ? 2 ? i 是纯虚数,则实数 m ? (

?

?

) )

A. ? 4

B. ?4 或 2

C.- 2 或 4
2

D.2

2.已知命题 p : ?? ? R, cos(? ? ? ) ? cos? ;命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? 0 .则下面结论正确的是( A.?q 是真命题 B.p 是假命题 C.p∧q 是假命题 D.p∨q 是真命题

3. 设{ an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,且 a1a2a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 等于( A.120 B. 105 C. 90 D.75 ( )

)

4.函数 f ( x) ? log2 ( x ?1) 的图象大致是

-1-

5. 如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为 3, 向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为 ( 1 A. 17 2 B. 17 3 C. 17 4 D. 17 ) )

6. 某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的四个面中,面积最大的面的面积是( A.2 B. 3 C. 7 D.1

?2 x ? 2 y ? 1 ? ? ? 7.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ,且向量 a ? (3,2) , b ? ( x, y ) , ?2 x ? y ? 1 ?
则 a ? b 的取值范围是( A. [ , 5]
? ?

)

5 4

B. [ , 5]

7 2

C . [ , 4]

5 4

D. [ , 4]

8.同时具有性质“①最小正周期是 ? ;②图象关于直线 x ? 函数是( A. y ? sin( 9. 已知双曲线 )

?
3

7 2

对称;③在 [ ?

? ?

, ] 上是增函数”的一个 6 3

x ? ? ) 2 6

B. y ? cos( 2 x ?

?
3

)

C. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

10 x2 y 2 ,则 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4 10x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 2 3 a b
)
2 2 B. x ? y ? 15

双曲线的方程为(
2 A. x ?

y2 ?1 9
?
? ?

x2 y 2 ? ?1 C. 9 9
?

x2 ? y2 ? 1 D. 9
?

10. 称 d ( a , b ) = a ? b 为两个向量 a , b 间距离, 若 a , b 满足① b ? 1 ; ② a ? b ; ③ 对任意实数 t,
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

恒有 d( a , t b ) ? d( a , b ) ,则 A. ( a ? b ) ? ( a- b )
?

(
?

) C. a ? b
? ?

?

?

?

B . b ? ( a- b )

?

?

D . a ? ( a- b )

?

?

?

-2-

第二部分 非选择题(共 100 分)

二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 2 在 x ? 1 处的切线方程是 .

开始 S=0, n=1 否 输出 S 结束

n≤6 是 S = S-n 12. 右图是一个算法的流程图,则最后输出的 . n=n+2

13. 由直线 y ? x ? 1 上的一点向圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1引切线,则切线长的最小值为



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题.) 14. (坐标系与参数方程选做题) 设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? 4cos ? (? 是参数, a?0 ),直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 1 ? 4sin ?


3? cos? ? 4? sin ? ? 5 ,若曲线 C 与直线 l 只有一个公共点,则实数 a 的值是

15. (几何证明选讲选做题) 如图,⊙ O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,且 CD ? 4 , BD ? 8 ,则⊙ O 的半径等于 C A
O D·



B

-3-

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 A 的值.

?
3



-4-

17. (本题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生 产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产 件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,再将两组工人的日 平均生产件数分成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 分别加以统计,得到如图所 示的频率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人 的频率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2? 2 的列联表,并判断 是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附表:

K2 ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

2 P( K ? k )

0.100 2.706

0.010 6.635

0.001 10.828

(其中 n ? a ? b ? c ? d )

k

-5-

-6-

18. (本题满分 14 分) 如图, ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 是底面半径为 1 的圆柱的内接正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于 底面) ,过 FB 作圆柱的截面交下底面于 C1 E1 ,已知 FC1 ? 13 . (1)证明:四边形 BFE1C1 是平行四边形; (2)证明: FB ? CB1 ; (3)求三棱锥 A ? A1 BF 的体积.

-7-

19. (本题满分 14 分) 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足 Sn ? Sn?1 ? tan (其中 t 为常数, t ? 0 , n ? 2 ),已和 a1 ? 0 ,
2

且当 n ? 2 时, an ? 0 .

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若对于 n ? 2 , n ? N * ,不等式

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 2 恒成立,求 t 的取值范围. a2 a3 a3a4 a4 a5 an an ?1

-8-

20. (本题满分 14 分) 已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,

-9-

21. (本题满分 14 分)

O 为坐标原点, 如图, 点 F 为抛物线 C1 : 且抛物线 C1 上点 P 处的切线与圆 C2 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,
x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q .

(1)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求抛物线 C1 的方程; (2)当正数 p 变化时,记 S1 , S 2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求

S1 的最小值. S2

- 10 -

- 11 -

- 12 -

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