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【湖南】2014《高中复习方略》课时训练:2.10变化率与导数、导数的计算(人教A版·数学文)


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课时提升作业(十三)
一、选择题 1.函数 y=x5·ax(a>0 且 a≠1)的导数是( (A)y′=5x4·axlna (B)y′=5x4·ax+x5·axlna (C)y′=5x4·ax+x5·ax

(D)y′=5x4·ax+x5·axlogax 2.(2013· 合肥模拟)若抛物线 y=x2 在点(a,a2)处的切线与两坐标轴围成的三角形 的面积为 16,则 a=( (A)4 (B)±4 ) (C)8 (D)±8 )

3.(2013·长春模拟)若函数 f(x)=excosx,则此函数图象在点(1,f(1))处的切线 的倾斜角为( (A)0 ) (C)直角 (D)钝角 )

(B)锐角

4.(2013·常德模拟)下列运算正确的是( (A)(ax2-bx+c)′=a(x2)′+b(-x)′ (B)(sin x-2x2)′=(sin x)′-(2)′(x2)′

(C)(cos x·sin x)′=(sin x)′cos x+(cos x)′cos x

? cos x ? ? ? ? x 2 ? ? cos x (D) ( 2 )? ? x x2
5.如图,其中有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 f′(x)
1 3

的图象,则 f(-1)为(

)

(A)2

(B)-

1 3

(C)3

(D)-

1 2 15 x-9 都相切, 4

6.(2013· 安庆模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ 则 a 等于(
25 64 7 25 (C)- 或 ? 4 64

) (B)-1 或
7 4 21 4

(A)-1 或 ?

(D)- 或 7

二、填空题 7.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=3x2+2xf′(2),则 f′(5)=________. 8.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角α 的取值 范围是[0, ],则点 P 的横坐标的取值范围是
? 4

.

9.(能力挑战题)若曲线 f(x)=ax2+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范 围是 三、解答题 10.求下列各函数的导数: (1)y=(x+1)(x+2)(x+3). (2)y= (3)y=
1 1 + . 1- x 1+ x
cos 2x . sin x+cos x

.

11.已知曲线 y= x 3 ? , (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程. (2)求曲线的斜率为 4 的切线方程. 12.(能力挑战题)设函数 y=x2-2x+2 的图象为 C1,函数 y=-x2+ax+b 的图象为 C2,已 知过 C1 与 C2 的一个交点的两条切线互相垂直. (1)求 a,b 之间的关系. (2)求 ab 的最大值.

1 3

4 3

答案解析
1.【解析】选 B.y′=(x5)′·ax+x5·(ax)′=5x4ax+x5·axlna. 2.【解析】选 B.y′=2x,所以在点(a,a2)处的切线方程为:y-a2=2a(x-a),令 x=0,得 y=-a2;令 y=0,得 x= a,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S= ×|-a2|× | a|= |a3|=16,解得 a=±4. 3.【解析】选 D.由已知得: f′(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx), ∴f′(1)=e(cos1-sin1). ∵ >1> , 而由正、余弦函数性质可得 cos 1<sin 1. ∴f′(1)<0, 即 f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率 k<0, ∴切线的倾斜角是钝角. 4.【解析】选 A.对于 B 应为(sin x)′-(2x2)′;
? 2 ? 4 1 2 1 4 1 2 1 2

C 应为(cos x)′sin x+(sin x)′cos x; D 应为
x 2 ? cos x ? ? ? cos x ? x 2 ? ? x4 .

5.【解析】选 B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1), ∴导函数 f′(x)的图象开口向上. 又∵a≠0,∴其图象必为(3). 由图象特征知 f′(0)=0,且对称轴 x=-a>0, ∴a=-1,故 f(-1)=- . 6.【思路点拨】先设出切点坐标,再根据导数的几何意义写出切线方程,最后由点 (1,0)在切线上求出切点后再求 a 的值. 【解析】选 A.设过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 相切于点(x0, x03),所以切线方程为 y- x03=3x02(x-x0),
3 2 15 15 当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+ x-9 相切可得Δ =( )2-4a(-9)=0, 4 4 25 解得 a= ? , 64 3 27 27 15 同理,当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax2+ x-9 相切可得 a=-1,所以选 A. 2 4 4 4 1 3

即 y=3x02x-2x03.又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= ,

【方法技巧】导数几何意义的应用 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)), 利用 k=
f(x1) ? f(x 0) 求解. x1 ? x 0

7.【解析】对 f(x)=3x2+2xf′(2)求导,得 f′(x)=6x+2f′(2).令 x =2,得

f′(2)=-12.再令 x=5,得 f′(5)=6×5+2f′(2)=6. 答案:6 8.【解析】设点 P 的横坐标为 x0,则 y′=2x0+2=tanα , ∵α ∈[0, ],0≤2x0+2≤1,∴x0∈[-1,- ]. 答案:[-1,- ] 9.【思路点拨】求出导函数,根据导函数有零点,求 a 的取值范围. 【解析】 由题意该函数的定义域为(0,+∞),且 f′(x)=2ax+ .因为存在垂直于 y 轴 的切线,故此时斜率为 0,问题转化为 x>0 时导函数 f′(x)=2ax+ 存在零点的问题. 方法一(图象法):再将之转化为 g(x)=-2ax 与 h(x)= 存在交点. 当 a=0 时不符合题意,当 a>0 时,如图 1,数形结合可得没有交点,当 a<0 时,如图 2,此时正好有一个交点,故有 a<0,应填(-∞,0).
1 x 1 x 1 x 1 2 ? 4 1 2

方法二(分离变量法):上述也可等价于方程 2ax+ =0 在(0,+∞)内有解,显然可得 a= ?
1 ∈(-∞,0). 2x 2

1 x

答案:(-∞,0) 10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)·(x+2)

=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11. (2)∵y= ∴y ′ = (
1 1 2 , + = 1- x 1+ x 1-x

2 -2(1-x) ? 2 . ) ?= = 2 2 1-x (1-x) (1-x)
cos 2x =cosx-sinx, sin x+cos x

(3)∵y=

∴y′=-sinx-cosx. 11.【解析】(1)∵点 P(2,4)在曲线 y= x 3 ? 上,且 y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′ x=2=4, ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设切点为(x0,y0), 则切线的斜率为 k= x02=4,x0=±2,所以切点为(2,4),(-2,- ), ∴切线方程为 y-4=4(x-2)和 y+ =4(x+2), 即 4x-y-4=0 和 12x-3y+20=0. 【变式备选】已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. (2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 【解析】(1)方法一:设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x02+1, ∴直线 l 的方程为 y=(3x02+1)(x-x0)+ x03+x0-16. 又∵直线 l 过点(0,0), ∴0=(3x02+1)(-x0)+ x03+x0-16,
1 4 4 3 4 3 1 3 4 3

整理得, x03=-8,∴x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13, ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 方法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), 则 k=
y0-0 x 03 ? x 0 ? 16 . = x 0-0 x0

又∵k=f′(x0)=3x02+1, ∴
x 03 ? x 0 ? 16 =3x02+1,解得 x0=-2, x0

∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13, ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). (2)∵切线与直线 y=- x+3 垂直, ∴切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为(x0,y0),则 f′(x0)=3x02+1=4, ∴x0=±1, ∴?
? x 0=1, ? x 0=-1, 或? ∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 18. ? y 0=-14 ? y 0=-
1 4

切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14. 12.【解析】(1)对于 C1:y=x2-2x+2,有 y′=2x-2, 对于 C2:y=-x2+ax+b,有 y′=-2x+a, 设 C1 与 C2 的一个交点为(x0,y0),

由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直, ∴(2x0-2)(-2x0+a)=-1, 即 4x02-2(a+2)x0+2a-1=0. ① 又点(x0,y0)在 C1 与 C2 上,
2 ? ? y 0=x 0 -2x 0+2, 故有 ? 2 ? ? y 0=-x 0 +ax 0+b,

∴2x02-(a+2)x0+2-b=0. ② 由①-②×2 得,2a+2b=5,∴b= -a. (2)由(1)知:b= -a,
5 5 25 , 2 4 16 5 25 ∴当 a= 时,(ab)最大= . 4 16 5 2 5 2

∴ab=a( -a)=-(a- )2+

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