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2.1.3 函数的单调性(1)


第 6课 时

函数的单调性(1)

教学目标: (1)理解单调函数、单调区间的概念,能根据函数 的图象指出单调性、写出单调区间, (2)能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调 性. (3)通过对函数单调性的学习,让学生体会数形结 合的思想.

问题情境、学生活动
如图,为某市一天24小时内的气候变化图.


0c θ / 8

6 4 2

o 2 4 6 8 1012141618202224 -2

T/h

这是通过图象来体现:气温随时间的变化而变化,说出 气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的。

怎样用数学语言刻画上述时段内:“随着时间的增 加气温逐渐升高”这一特征?

学生活动
请同学们结合成语“蒸蒸日上”“跌宕起 伏”“每况愈下”的含义,画出相应的函数图象.
(1)一次函数y=x+1;(2)二次函数y=x2
y
y=x+1

y

y=x2

x

x

观察上面二个函数的图象说一说函数值随自变量的 变化情况,如何用数学语言来准确地表达函数的这种 变化?

学生活动
如何用x与f(x)描述上升的图象? y
f(x2) f(x1)

O

x

1

x

2

x

形: 图象呈上升的趋势

数: x不断增大,y也不断增大

数学理论
单调增函数
设函数y=f(x)的定义域为A,区间 I?A. 如果对于区间I内的任意两个值 x1,x2,若当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2), 那么就说y=f(x)在区间I上是单调增 函数,I称为y=f(x)的单调增区间.
y
f ( x1)

f ( x2 )

O

x1

x2 x

你会给出单调减函数、单调减区间的定义 吗?

数学理论
单调减函数
设函数y=f(x)的定义域为A, 区间I?A.如果对于区间I内的 任意两个值x1,x2,若当x1<x2时 都有f(x1)>f(x2),那么就说y=f(x) 在区间I上是单调减函数,I称为 y=f(x)的单调减区间.
y
f (x1)

f (x2 )
O

x1

x2

x

数学理论
? 单调性、单调区间
若函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减

函数,那么就说函数y = f(x)在区间I上具有单调性,
单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

几何意义:在单调区间上是增函数的图象是上升
的;在单调区间上是减函数的图象是下降的. 函数的单调性是函数的“局部性质”,讨论函数的单 调性要强调在确定的区间上.

数学应用
例1、如下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的 图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单 调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.

[?5, ? 2] ? [1, 3] 对吗?
解:函数f(x)的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5], 其中f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数, 在区间[-2,1],[3,5]上是增函数.

数学理论
⑴如果函数在定义域的每个单调区间上都是单调减函 数,那么能否说此函数在定义域上是减函数? ⑵在定义域内有f(-3)<f(4)能否说函数f(x)在定义域内 是增函数?在定义域内有f(-5)>f(-1)能否说函数f(x)在 定义域内是减函数?
y

o

x

练习1
课本P40.8

例2 画出下列函数图像,并写出单调区间 (1)y=-x2+2 (2) y ? 1 x

数学应用
证明:在(??,0)上任取两个实数x1, x2 , 且x1 ? x2 ,
1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? 1 ? (? ? 1) x1 x2 1 1 x1 ? x2 ? ? ? , x2 x1 x1 x2 ③

1 例3求证:函数f ( x) ? ? -1在区间(??, 0)上是单调增函数。 x

① ②

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0,又? x1 , x2 ? (??,0),? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? >0,所以,f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ), ④ x1 x2

1 故f ( x) ? ? ? 1在区间(??, 0)上是单调增函数. ⑤ x

数学应用
利用定义证明函数单调性的步骤:
⑴取值:对任意x1,x2∈I,且x1<x2; ⑵作差:f(x1)-f(x2); ⑶变形:(通分、因式分解、配方、分子分母有理化等); 关键得到:x1-x2;

⑷定号:判定差的正负(注意理由的充分性);
⑸判断、下结论.

练习2: (0, +?) (1)判断函数f(x)=x2-1在 上是单调增 函数还是单调减函数? (-?, 0) 上是单调 (2)判断函数f(x)=-x2+2在 增函数还是单调减函数? 课本P40.7

数学应用
练习3: (1)画出函数f(x)=|x+1|的图像,并写出单调区间 (2)求证:函数f(x)=-2x-1是定义域上的单调减函数

(3)证明函数 y ? x

在(0,+∞)上是增函数;

(4)证明函数y=-x3在R上是减函数.

回顾反思
本节课主要学习了函数单调性的概 念.能利用图象法和定义法来判定函数 的单调性,从中体会了数形结合的思想, 学会从“特殊到一般再到特殊”的思维 方法来研究问题.


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