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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算(第2课时)课堂探究新人教A版选修1-2资料


高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四 则运算(第 2 课时)课堂探究 新人教 A 版选修 1-2
探究一 复数代数形式的乘除运算
2

1.两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把 i 换成-1,并且 把实部与虚部分别合并即可. 2.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成

分母都乘分母的共轭复数 c-di,化简后就可得到上面的结果. 【典型例题 1】计算:(1)(1-i) ; 3 ?? 3 1 ? ? 1 (2)?- + i?? + i?(1+i). ? 2 2 ?? 2 2 ? 思路分析:解答本题可根据相关的复数运算法则求解,但需注意符号的正负问题. 解:(1)(1-i) =1-2i+i =-2i. 3 ?? 3 1 ? ? 1 (2)?- + i?? + i?(1+i) 2 2 ? ?? 2 2 ? =?- =?- =?- =-
2 2 2

a+bi 的形式,再把分子与 c+di

? ? ? ? ? ?

3 1 3 3 2? - i+ i+ i ?(1+i) 4 4 4 4 ? 3 1 3? + i- ?(1+i) 4 2 4 ? 3 1 ? + i?(1+i) 2 2 ?

3 3 1 1 1+ 3 1- 3 - i+ i- =- + i. 2 2 2 2 2 2 共轭复数

探究二

实部相等、虚部互为相反数的两个复数称为互为共轭复数,两个共轭复数的模相等.它 们在复平面内对应的点关于 x 轴对称.在复数的除法中,用分子、分母同乘以分母的共轭复 数进行化简, 可以说共轭复数是分母实数化的基础, 也是除法运算的基础. 其中 z· z =|z| =| z | 是共轭复数的常用性质. 【典型例题 2】已知复数 z1=(-1+i)(1+bi),z2= 若 z1 与 z2 互为共轭复数,求 a,b 的值. 思路分析:先利用复数的除法运算化简 z2,再利用 z1,z2 实部相等,虚部互为相反数列 出关于 a,b 的方程组求解. 解:z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b
1
2 2

a+2i
1-i

,其中 a,b∈R.

=(-b-1)+(1-b)i,

a+2i ?a+2i??1+i? z2= =
1-i ?1-i??1+i? = 2 + 2 =

a+ai+2i-2 a-2 a+2
2

i,

由于 z1 和 z2 互为共轭复数,

a-2 ? ? 2 =-b-1, 所以有? a+2 ? 2 =-?1-b?, ?
探究三 虚数单位 i 的幂的运算

解得?

? ?a=-2, ?b=1. ?

1 1+i 3 ?3 ? 1 2 利用某些特殊复数的运算结果,如(1±i) =±2i,?- ± i? =1, =-i, =i, i 1-i ? 2 2 ? 1-i =-i,i 的幂的周期性等,都可以简化复数的运算过程. 1+i 【典型例题 3】计算 i+i +i +…+i
2 3 2 017

.
n

思路分析:可利用等比数列求和公式化简或者利用 i 的周期性化简. i?1-i ? i[1-?i ? 解法一:原式= = 1-i 1-i = i·?1-i? =i. 1-i
2 3 4 2 017 2 1 008

·i]

解法二:∵i+i +i +i =i-1-i+1=0, ∴i +i
n n+1

+i

n+2

+i

n+3

=0(n∈N ).
4 5 6 7 8 2 009

*

∴原式=(i+i +i +i )+(i +i +i +i )+…+(i i
2 014

2

3

+i

2 010

+i

2 011

+i

2 012

)+(i

2 013



+i

2 015

+i

2 016

)+i

2 017

=i.

探究四

易错辨析

易错点 实数与复数范围混淆致错 【典型例题 4】已知关于 x 的方程 x +(k+2i)x+2+ki=0 有实数根,求实数 k 的值. 错解: 因为方程有实数根, 所以 Δ =(k+2i) -4(2+ki)≥0, 解得 k≥2 3或 k≤-2 3. 错因分析: 由于虚数单位的特殊性, 不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根. 正解:设 x0 是方程的实数根,代入方程并整理, 得(x0 +kx0+2)+(2x0+k)i=0.
?x0+kx0+2=0, ? 由复数相等的充要条件,得? ? ?2x0+k=0,
2 2 2 2

2

解得?

?x0= 2, ?k=-2 2,

或?

?x0=- 2, ?k=2 2.

所以 k 的值为-2 2或 2 2. 反思 关于复系数一元二次方程有实数根的问题, 一般是将实数根代入方程, 用复数相

等的充要条件来求解.

3


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