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高中数学选修4-4极坐标与参数方程


极坐标与参数方程单元练习 1 。一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1、已知点 M 的极坐标为 ? 5, ? ,下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是(

? ?? ? 3?

)。

?? ? A. ? 5, ? ? ? 3?

4? ? ? B. ? 5, ? ? 3?
<

br />2? ? ? C. ? 5, ? ? ? 3?

D. ? 5, ?

? ?

5? ? ? 3 ?

2、直线:3x-4y-9=0 与圆: ?

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
C.直线过圆心

)

A.相切

B.相离

D.相交但直线不过圆心

3、在参数方程 ?

? x ? a ? t cos? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数值分别为 t1、 ? y ? b ? t sin ?


t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是(

4、曲线的参数方程为 ?

? x ? 3t 2 ? 2 (t 是参数),则曲线是( 2 y ? t ? 1 ?
C、圆
2 2



A、线段

B、双曲线的一支
2 2

D、射线 )

5、实数 x、y 满足 3x +2y =6x,则 x +y 的最大值为(

A、

7 2

B、4

C、

9 2

D、5

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1、点 ?2, ? 2? 的极坐标为 。

?? ?? ? ? 2、若 A ? 3, ? ,B ? 4, ? ? ,则|AB|=___________, S ?AOB ? ___________。(其中 O 是极点) ? 3? 6? ?
3、极点到直线 ? ? cos ? ? sin ? ? ? 3 的距离是________ 4、极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线是_______ 5、圆锥曲线 ? _____。 _____。

? x ? 2 tan? ??为参数? 的准线方程是 y ? 3 sec ? ?



6、直线 l 过点 M 0 ?1,5? ,倾斜角是

? ,且与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 交于 M ,则 MM 0 的长为 3



三、解答题(第 1 题 14 分,第 2 题 16 分,第 3 题 15 分;共 45 分) ?? ? 1、求圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程。 ? 6? 2、已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

?
6



x2 y2 1, 0)之间距离的最小值。 3、求椭圆 ? ? 1 上一点P与定点( 9 4
极坐标与参数方程单元练习 1 参考答案 【试题答案】一、选择题:1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题:1、 ? 2 2, ?

? ?

??

7? ? 3 6 ? ? 。 ? 或写成 ? 2 2, ? 。 2、5,6。 3、 d ? 2 4? 4 ? 2 ?
9 13 。6、 10 ? 6 3 。 13
?
6 , ? OA? ? 2 ? 3 ? 6
A (0,

4、 ? ? sin ? ? ? 2 ? cos ? ? 0,即y 2 ? 2 x,它表示抛物线。 5、 y ? ?
2

三、解答题 1、1、如下图,设圆上任一点为 P( ? ,? ),则 ? OP ? ? ?,?POA ? ? ?
Rt?OAP中, ?OP? ? ?OA? ? cos ?POA

2 ?? ? ? ? ? 6 c o? s? ? ? 而点 O (0, ? ) 6? 3 ?

?
6

) 符合

P A C O x

? 3 x ? 1? t, ? ? 2 2、解:(1)直线的参数方程是 ? (t是参数) ? y ? 1 ? 1 t; ? 2 ?
(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别为

A(1 ?

3 1 3 1 t1 ,1 ? t1 ), B(1 ? t 2 ,1 ? t 2 ) 2 2 2 2
2 2

以直线 L 的参数方程代入圆的方程 x ? y ? 4 整理得到 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2。所以|PA|·|PB|= |t1t2|=|-2|=2。 3、(先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)



设P ? 3cos ?, 2sin ? ?,则P到定点( 1, 0)的距离为 d ?? ? ?

? 3cos? ? 1? ? ? 2sin ? ? 0 ?
2

2

3 ? 16 ? ? 5cos 2 ? ? 6cos ? ? 5 ? 5 ? cos ? ? ? ? 5? 5 ?

2

3 4 5 当c o s ? ? 时,d ?? 取最小值 ) 5 5 极坐标与参数方程单元练习 2 1.已知点 P 的极坐标是(1, ? ),则过点 P 且垂直极轴的直线极坐标方程是
2.在极坐标系中,曲线 ? ? 4 sin(? ?

. . .

?

3

) 一条对称轴的极坐标方程

3.在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点.则|AB|=

? 11 7 ),B(-8, ? ),C(3, ? ),则ΔABC 形状为 2 6 6 2 5.已知某圆的极坐标方程为:ρ –4 2 ρcon(θ-π/4)+6=0
4.已知三点 A(5, 则:①圆的普通方程 ; ②参数方程 ; ③圆上所有点(x,y)中 xy 的最大值和最小值分别为 6.设椭圆的参数方程为 ? 、

.

.

? x ? a cos? ?0 ? ? ? ? ?, M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y2 ? 是椭圆上两点, ? y ? b sin ? M、N 对应的参数为 ? 1 ,? 2 且 x1 ? x 2 ,则 ?1 , ? 2 大小关系是 .

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是 . ? y ? 2 sin ? ? 8.经过点 M0(1,5)且倾斜角为 的直线,以定点 M0 到动 点 P 的位移 t 为参数的参数方程 3
7.直线:3x-4y-9=0 与圆: ? 是 . 且与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 交于 M ,则 MM 0 的长为 . .

1 ? ?x ? t ? 9.参数方程 ? t (t 为参数)所表示的图形是 ? y ? ? 2 ?
10.方程 ?

? x ? 3t 2 ? 2 (t 是参数)的普通方程是 2 ? y ? t ?1

.与 x 轴交点的直角坐标是

1 ? x? ? t 11.画出参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线 1 2 ?y ? t ?1 t ?
2 2

0
.

12.已知动园: x ? y ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? 0(a, b是正常数 ,a ? b,?是参数) , 则圆心的轨迹是 13.已知过曲线 ? .

? x ? 3 cos? ??为参数, 0 ? ? ? ? ? 上一点 P,原点为 O,直线 PO 的倾斜角 ? y ? 4 sin ?



? ,则 P 点坐标是 4

. .

14.直线 ?

? x ? 2 ? 2t (t 为参数)上对应 t=0, t=1 两点间的距离是 ? y ? ?1 ? t
.

? x ? 3 ? t sin 20 0 15.直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 0 ? y ? ?1 ? t cos 20
16.设 r ? 0 ,那么直线 x cos? ? y sin ? ? r ?是常数 与圆 ? 位置关系是 17.直线 ? .

?

?

? x ? r cos? ??是参数? 的 y ? r sin ? ?

? x ? ?2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t

?t为参数? 上与点 P?? 2, 3? 距离等于

2 的点的坐标是
的取值范围是

.

18.过抛物线 y2=4x 的焦点作倾斜角为 的弦,若弦长不超过 8,则 ________________________________. 19.若动点(x,y)在曲线 20.曲线 ?

x2 y2 ? 2 ? 1 (b>0)上变化,则 x2 + 2y 的最大值为 4 b

.

? x ? a sec ? ? x ? a tan ? (α 为参数)与曲线 ? (β为参数)的离心率分别为 e1 和 e2, ? y ? b tan? ? y ? b sec ?
极坐标与参数方程单元练习 2 参考答案

则 e1+e2 的最小值为_______________.

答案:1.ρcosθ= -1;2. ? ?

5? ;3. 2 3 ;4.等边三角形;5.(x-2)2+(y-2)2=2; 6

1 ? x ? 1? t ? x ? 2 ? 2 cos ? 2 { ?? 为参数 ? ;9、1;6.θ1>θ2;7.相交;8. ? ? t为参数? ? 3 y ? 2 ? 2 sin ? ?y ? 5? t ? ? 2
10+6 3 ;9.两条射线;10.x-3y=5(x≥2);(5, 0);12.椭圆;13. ?

? 12 12 ? , ? ;14. 5 ; ?5 5?

15.700;16.相切;17.(-1,2)或(-3,4);18. ?

b 2 ? 16 ? ? 3? ? (0 ? b ? 4)或2b(b ? 4) ;20. 2 2 ; 19. , 4 ?4 4 ? ?

极坐标与参数方程单元练习 3 一.选择题(每题 5 分共 60 分)

1.设椭圆的参数方程为 ? 数为 ? 1 ,? 2 且 x1 ? x 2 ,则

? x ? a cos? ?0 ? ? ? ? ?, M ?x1 , y1 ? , N ?x2 , y2 ? 是椭圆上两点,M,N 对应的参 ? y ? b sin ?

A. ? 1 ? ? 2

B. ? 1 ? ? 2 C. ? 1 ? ? 2

D. ? 1 ? ? 2

2.直线:3x-4y-9=0 与圆: ?

? x ? 2 cos? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
C.直线过圆心

)

A.相切

B.相离

D.相交但直线不过圆心 )

3.经过点 M(1,5)且倾斜角为

? 的直线,以定点 M 到动 点 P 的位移 t 为参数的参数方程是( 3
1 1 ? ? x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? 2 2 D. ? ? 3 ?y ? 5 ? ?y ? 5 ? 3 t t ? ? 2 2 ? ?

1 1 ? ? x ? 1? t x ? 1? t ? ? ? ? 2 2 C. A. ? B. ? 3 ?y ? 5 ? ?y ? 5 ? 3 t t ? ? 2 2 ? ?

1 ? ?x ? t ? 4.参数方程 ? t (t 为参数)所表示的曲线是 ( ? y ? ? 2 ?
A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线

)

D.两条直线

5.若动点(x,y)在曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 (b>0)上变化,则 x2?2y 的最大值为 4 b
?b 2 b2 ? ? 4 ( 0 ? b ? 2) ? 4 (D) 2b。 (B) ? 4 ;(C) 4 ? (b ? 2) ? 2b
7 2 9 2

?b 2 ? ? 4 ( 0 ? b ? 4) (A) ? 4 ; ? (b ? 4) ? 2b

6.实数 x、y 满足 3x +2y =6x,则 x +y 的最大值为( )A、

2

2

2

2

B、4

C、

D、5

7.曲线的参数方程为 ?

? x ? 3t 2 ? 2 (t 是参数),则曲线是 A、线段 B、双曲线的一支 2 ? y ? t ?1
2

C、圆 D、射线

8. 已知动园: x ? y ? 2ax cos? ? 2by sin ? ? 0(a, b是正常数 ,a ? b,?是参数) ,则圆心的轨迹是
2

A、直线

B、圆

C、抛物线的一部分

D、椭圆

9. 在参数方程 ?

? x ? a ? t cos? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数值分别为 t1、 ? y ? b ? t sin ?

t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是

10.设 r ? 0 ,那么直线 x cos? ? y sin ? ? r ?是常数 与圆 ?

?

?

? x ? r cos? ??是参数? 的位置关系是 ? y ? r sin ?

A、相交

B、相切

C、相离
2

D、视 的大小而定

11. 下列参数方程(t 为参数)中与普通方程 x -y=0 表示同一曲线的是

12.已知过曲线 ?

? x ? 3 cos? ? ??为参数, 0 ? ? ? ? ? 上一点 P,原点为 O,直线 PO 的倾斜角为 ,则 P 点坐 4 ? y ? 4 sin ?
B、 ?

标是 A、(3,4)

?3 2 ? ? , 2 2 ? 2 ? ? ?

C、(-3,-4)

D、 ?

? 12 12 ? , ? ?5 5?

二.填空题(每题 5 分共 25 分) 13.过抛物线 y =4x 的焦点作倾斜角为
2

的弦,若弦长不超过 8,则

的取值范围是__________。

14.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? y ? 3 ? 2t

?t为参数? 上与点 P?? 2, 3? 距离等于

2 的点的坐标是

15.圆锥曲线 ?

? x ? 2 tan? ??为参数? 的准线方程是 ? y ? 3 sec?

16.直线 l 过点 M 0 ?1,5? ,倾斜角是

? ,且与直线 x ? y ? 2 3 ? 0 交于 M ,则 MM 0 的长为 3

17.曲线 ?

? x ? a sec ? ? x ? a tan ? (α 为参数)与曲线 ? (β 为参数)的离心率分别为 e1 和 e2,则 e1+e2 ? y ? b tan? ? y ? b sec ?

的最小值为_______________. 三.解答题(共 65 分

18. 求直线?

?x ? 2 ? t (t为参数)被双曲线 x 2 ? y 2 ? 1上截得的弦长。 ? y ? 3t

19.已知方程



(1)试证:不论 如何变化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线;

(2) ? 为何值时,该抛物线在直线 x=14 上截得的弦最长?并求出此弦长。

20.已知椭圆 ?

? x ? 4 cos? 上两个相邻顶点为 A、C,又 B、D 为椭圆上的两个动点,且 B、D 分别在直线 AC ? y ? 5 sin ?

的两旁,求四边形 ABCD 面积的最大值。 21.已知过点 P(1,-2),倾斜角为

? 2 的直线 l 和抛物线 x =y+m 6
4 3?2 . 3

(1)m 取何值时,直线 l 和抛物线交于两点?(2)m 取何值时,直线 l 被抛物线截下的线段长为

极坐标与参数方程单元练习 3 参考答案 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 D 8 D 9 B 10 B 11 D 12 D

13. ? ?

? ? 3? ? , ? ?4 4 ? ?

;14. ?? 3,4?, ?? 1,2? ; 15. y ? ?

9 13 ;16. 10 ? 6 3 ;17. 2 2 13

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 18.解:把直线参数方程化为标准参数方程 ? (t 为参数) 3 ?y ? t ? 2 ?
1 ? ? 3 ? 代入x ? y ? 1,得: t ?2 ? t ? ? ? 2 ? ? ? ? 2
2 2 2

? ? ?1 ? ?

2

2 整理,得t : ? 4t ? 6 ? 0

设其二根为 t1 ,t 2 ,则
从而弦长为AB ? t1 ? t 2 ?

t1 ? t 2 ? 4,t1 ?t 2 ? ?6

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1 t 2
2

? 4 2 ? 4?? 6? ? 40 ? 2 10

19 ( 1 )把原方程化为 ? y ? 3sin? ? ? 2( x ? 4 cos ? ) ,知抛物线的顶点为 ?4 cos? ,3 sin? ? 它是在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上;(2)当 16 9
20、 20 2 21.(1)m>

时,弦长最大为 12。

23 ? 4 3 ,(2)m=3 12
极坐标与参数方程单元练习 4

(一)选择题:

[ A.(2,-7) B.(1,0)

]

A.20°

B.70°

C.110°

D.160°

[ A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

]

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

[

]

C.5 (二)填空题:

D.6

8.设 y=tx(t 为参数),则圆 x +y -4y=0 的参数方程是______.

2

2

10.当 m 取一切实数时,双曲线 x -y -6mx-4my+5m -1=0 的中心的轨迹方程为______. (三)解答题:

2

2

2

时矩形对角线的倾斜角α . 2 2 13.直线 l 经过两点 P(-1,2)和 Q(2,-2),与双曲线(y-2) -x =1 相交于两点 A、B, (1)根据下问所需写出 l 的参数方程; (2)求 AB 中点 M 与点 P 的距离. 2 2 14.设椭圆 4x +y =1 的平行弦的斜率为 2,求这组平行弦中点的轨迹.

15.若不计空气阻力,炮弹运行轨道是抛物线.测得我炮位 A 与炮击目标 B 在同一水平线上,水平距离为 2 6000 米, 炮弹运行的最大高度为 1200 米. 求炮弹的发射角α 和发射初速度 v0(重力加速度 g=9.8 米/秒 ). 极坐标与参数方程单元练习 4 参考答案 2 2 (一)1.C 2.C 3.D 4.B 5.A(二)6.(1,0),(-5,0)7.4x -y =16(x≥2)

9.(-1,5),(-1,-1)10.2x+3y=0 (三)11.圆 x +y -x-y=0.
2 2

14.取平行弦中的一条弦 AB 在 y 轴上的截距 m 为参数,并设 A(x1,

设弦 AB 的中点为 M(x,y),则

15.在以 A 为原点,直线 AB 的 x 轴的直角坐标系中,弹道方程是

它经过最高点(3000,1200)和点 B(6000,0)的时间分别设为 t0 和 2t0,代入参数方程,得

极坐标与参数方程单元练习 5 一.选择题(每题 5 分共 50 分) 1.已知 M ? ? 5,

? ?

??

? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是 3? ? ? 4? ? ? 3 ?
C. ? 5,?

A. ? 5,?

? ?

??
? 3?

B. ? 5,

? ?

2? ? ? 3 ?

D. ? ? 5,?

? ?

5? ? ? 3 ?
C. ? 2,?

2.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是 A. ? 2,

?

?

? ?

??
? 3?

B. ? 2,

? ?

4? ? ? 3 ?

? ?

??
? 3?

D. ? 2,?

? ?

4? ? ? 3 ?

3.极坐标方程 ? ? cos?

?? ? ? ? ? 表示的曲线是 A.双曲线 ?4 ?

B.椭圆

C.抛物线

D.圆

4.圆 ? ?

? ?? 2 (cos? ? sin ? ) 的圆心坐标是 A. ?1, ? ? 4?

B. ? ,

?1 ? ? ? ?2 4?

C. ? 2 ,

? ?

??
? 4?

D. ? 2,

? ?

??
? 4?

5.在极坐标系中,与圆 ? ? 4 sin ? 相切的一条直线方程为 A. ? sin ? ? 2 B. ? cos? ? 2 C. ? cos? ? 4 D. ? cos? ? ?4

6、 已知点 A? ? 2,?

? ?

?? ?

3? ? ?, B? 2 , ?, O?0,0? 则 ?ABO 为 2? ? 4 ?
C、锐角等腰三角形 D、直角等腰三角形

A、正三角形 7、 ? ?

B、直角三角形

?
4

( ? ? 0) 表示的图形是

A.一条射线 B.一条直线 C.一条线段 D.圆 8、直线 ? ? ? 与 ? cos(? ? ? ) ? 1的位置关系是

A、平行

B、垂直

C、相交不垂直

D、与

有关,不确定

9.两圆 ? ? 2 cos? , ? ? 2 sin ? 的公共部分面积是 A. 10.已知点 P 1 (2 3 , ? , 1 的球坐标是 P A. 2 B. 3 C. 2 2

?
4

?

?
4

1 2

B. ? ? 2

C.

? ? ? 1 D. 2 2

) , P2 的柱坐标是 P2 ( 5,? ,1) ,求 P 1P 2 .

D.

2 2

二.填空题(每题 5 分共 25 分) 11.极坐标方程 4 ? sin 12.圆心为 C ? 3,
2

?

2

? 5 化为直角坐标方程是

? ?? ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为 ? 6?

13.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

)?

2 ,则极点到直线的距离是 2

14、在极坐标系中,点 P ? 2,

? ? 11? ? ? 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离等于____________。 6 6 ? ?
?
4
对称的曲线的极坐标方程是________________________。

15、与曲线 ? cos? ? 1 ? 0 关于 ? ?

三.解答题(共 75 分) 16.说说由曲线 y ? tan x 得到曲线 y ? 3 tan2 x 的变化过程,并求出坐标伸缩变换。(7 分) 17.已知 P? 5, ? ? ,O 为极点,求使 ?POP 是正三角形的 P 点坐标。(8 分)
'
'

? ?

2 ? 3 ?

18.棱长为 1 的正方体 OABC ? D A B C 中,对角线 OB 与 BD 相交于点 P,顶点 O 为坐标原点,OA、
' ' ' ' '
'

OC 分别在 x轴, y轴 的正半轴上,已知点 P 的球坐标 P?? , ? ,? ? ,求 ? , tan? , sin ? 。(10 分) 19. ?ABC 的底边 BC ? 10, ?A ?

1 ?B, 以 B 点为极点,BC 为极轴,求顶点 A 的轨迹方程。(10 分) 2

20.在平面直角坐标系中已知点 A(3,0),P 是圆珠笔 x ? y ? 1 上一个运点,且 ?AOP 的平分线交
2 2

?

?

PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。 (10 分)

P Q O A

21、在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ? 3,

? ?? ? ,半径 =1,Q 点在圆 C 上运动。(10 分) ? 6?

(1)求圆 C 的极坐标方程;(2)若 P 在直线 OQ 上运动,且 OQ∶QP=2∶3,求动点 P 的轨迹方程。

22、建立极坐标系证明:已知半圆直径∣AB∣=2 ( >0),半圆外一条直线 与 AB 所在直线垂直相交于 点 T,并且∣AT∣=2 a ( 2a ?

r ) 。若半圆上相异两点 M、N 到 的距离∣MP∣,∣NQ∣满足 2
(10 分)

∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1,则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。

23.如图, AD ? BC ,D 是垂足,H 是 AD 上任意一点,直线 BH 与 AC 交于 E 点,直线 CH 与 AB 交 于 F 点,求证: ?EDA ? ?FDA (10 分) 极坐标与参数方程单元练习 5 参考答案 答案一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D A B C A A C 二.填空题 11. y ? 5 x ?
2

25 2 ?? ? ;12. ? ? 6 cos?? ? ? ;13. ; 14. 3 ? 1 ;15. ? sin ? ? 1 ? 0 4 2 6? ? 1 ,得到 y ? tan 2 x ,再将其纵坐 2

三.解答题 16.解: y ? tan x 的图象上的点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 标伸长为原来的 3 倍,横坐标不变,得到曲线 y ? 3 tan2 x 。 设 y ' ? 3 tan x ' ,变换公式为 ?

? x ' ? ? x, ? ? 0 ' ? y ? ?y , ? ? 0

? ' 1 ? ?3 ? ?x ? x ? 将其代入 y ? 3 tan x 得 ? 1 ,? ? 2 ?? ' ? ? 2 ? ? y ? 3y
' '

17. P (5,

'

?
3

) 或 P ' (5, ? ) 18. ? ?

3 a, tan? ? 2 , sin ? ? 1 2

19.解:设 M ?? ,? ? 是曲线上任意一点,在 ?ABC 中由正弦定理得:
2 ?

?
3 sin(? ? ? ) 2

?

10 sin

?
2

得 A 的轨迹是: ? ? 30 ? 40 sin

2

20.解:以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 Q?? ,? ? , P?1,2? ? ? S ?OQA ? S ?OQP ? S ?OAP

1 1 1 3 ? ? 3? sin ? ? ? sin ? ? ? 3 ? 1 ? sin 2? ? ? cos ? 2 2 2 2

21.(1) ? 2 ? 6 ? cos?? ?

? ?

??

?? ? 2 ? ? 0 (2) ? ? 15? cos?? ? ? ? 50 ? 0 6? 6? ?

22.证法一:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为 ? ? 2r cos? ,设

M ??1 ,?1 ?, N ( ? 2 ,? 2 ) ,则 ?1 ? 2r cos?1 , ? 2 ? 2r cos? 2 ,又 MP ? 2a ? ?1 cos?1 ? 2a ? 2r cos2 ?1 ,

NQ ? 2a ? ? 2 cos? 2 ? 2a ? 2r cos2 ? 2 , ? MP ? 2a ? 2r cos2 ?1 ? 2r cos?1 ? NQ ? 2a ? 2r cos2 ? 2 ? 2r cos? 2
s? ? r c o ? s ? a ? 0 的 两 个 根 , 由 韦 达 定 理 : cos?1 ? cos? 2 ? 1 , ? cos?1 , cos? 2 是 方 程 r c o 2

MA ? NA ? 2r cos?1 ? 2r cos? 2 ? 2r ? AB
证法二:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为 ? ? 2r cos? ,设

M ??1 ,?1 ?, N ( ? 2 ,? 2 )
又 由 题 意 知 , M ??1 ,?1 ?, N ( ? 2 ,? 2 ) 在 抛 物 线 ? ?

2a 2a s? 上 , ? 2r c o ? , 1 ? cos ? 1? c o? s

r cos2 ? ? r cos? ? a ? 0 , ? cos?1 , cos? 2 是方程 r cos2 ? ? r cos? ? a ? 0 的两个根,由韦达定理:

cos?1 ? cos? 2 ? 1, MA ? NA ? 2r cos?1 ? 2r cos? 2 ? 2r ? AB
C (c,0) , 23. 证明: 以 BC 所在的直线为 x 轴, AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系, 设 A(0, a ) ,B(b,0) , H (0, t ) ,则
x y ? ? 1,即 tx ? by ? bt ? 0 b t x y l CH : ? ? 1,即 tx ? cy ? ct ? 0 c t x y l AC : ? ? 1 ,即 ax ? cy ? ac ? 0 c a x y l AB : ? ? 1 ,即 ax ? by ? ab ? 0 b a l BH :

A F E H

B

D

C

? bc?a ? t ? ?b ? c ?t ? ? bc?t ? a ? at?c ? b? ? ? E? , , ? ,? F ? ? ? ab ? ct ab ? ct ? ? bt ? ac ac ? bt ?
? k DE ?

?b ? c ?at ? ?ab ? ct ? ? ?b ? c ?at ?ab ? ct ? bc?a ? t ? bc?a ? t ? ?c ? b?at ? ?bt ? ac? ? ? ?b ? c ?at ?ac ? bt? bc?t ? a ? bc?a ? t ?

? k DF ?

? ?EDC ? ?FDB, ?EDA ? ?FDA
坐标系与参数方程单元练习 6 一、选择题 1. 若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t 则直线的斜率为 ( (t为参数) , ? y ? 2 ? 3t


) A.

2 3

B.?

2 3 C. 3 2

D.?

3 2

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?

A. ( , ? 2)

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?
A. y ? x ? 2 B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

4.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x2 ? y 2 ? 0或y ? 1 B. x ? 1

C. x2 ? y 2 ? 0或x ? 1 )

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 二、填空题 1.直线 ? B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t

? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 2.参数方程 ? t ?t ? ? y ? 2(e ? e )
3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2 ? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。

三、解答题 1.已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围;(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 2.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? ? y ? ?5 ? 3t

与 Q(1, ?5) 的距离。

x2 y 2 3.在椭圆 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12
坐标系与参数方程单元练习 6 参考答案 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 3 1 时, y ? 4 2

转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4
2 2

k?

y?4 ?5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ?? ? (x ? ) x (? ? ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 ) A( 1 , 2,得 ) AB ? 代入 2 x ? 4y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0 ,而 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t

4. 14

直线为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ?

2 2 14 1 2 ,弦长的一半为 22 ? ( , ? ) ? 2 2 2 2

得弦长为 14

5. ? ?

?
2

??

? c o s? c o? s? ? s i? n s? ? in

0 ,? ? cos ? ? ( ,取 ? ) ?? 0?

?
2

三、解答题 1.解:(1)设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? , 2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ? 1 ? y ? 1 ? sin ?

?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ? 1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?( c o? s? ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

s? i n? )? ? 1

2 ?s ?i n (? 4

?

) 1

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

?

4 5 co? s ? 5

3 s? i n?

? 3

4 5 5

2c ?o ? s( 3

?

? )

3

当 c o s?( ?

?
3

? ) 时, 1 d m i n?

4 5 , 3 ) ,此时所求点为 ( 2 ? 。 5

坐标系与参数方程单元练习 7 一、选择题 1.直线 l 的参数方程为 ?

?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之间的距离 ?y ? b ? t
C. 2 t1 D.

是(

)A. t1

B. 2 t1

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2

则 AB 的中点坐标为(

)A. (3, ?3)

B. (? 3,3) )

C. ( 3, ?3)

D. (3, ? 3)

4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. (?5,

?
3

)

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) B. x ? 4
2

y2 ?1 A. x ? 4
2

C. x ?
2

y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

D. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
B. 40

A. 98 二、填空题

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

1 ? ?x ? 1? 1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )
x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

2.点 P 在椭圆

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ?

?
6


2 2

(1)求直线 l 的参数方程。(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。 坐标系与参数方程单元练习 7 参考答案

一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 ? t1 ?
2 2

2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

3.D

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 中点为 ? ?? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
4.A 圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

5.D

x2 ? t,

y2 y2 ? 1 ? t ? 1 ? x2 , x2 ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4

6.C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? x ? ?2 ? t ? ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1. y ?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 1 1 2 x (x ? 2 ) 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1 ? t 2 ,即 y ? 1 ? ( )? x (? t 1? x 1? x (x ? 12)

1)

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1 ) a ? 4x ? 1 2?对于任何 0 a 都成立,则 x ? 3 ,且y ? ? 1 x?3 a
椭圆为

3. 22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 c o ?s , 2? s i, n ) 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22
4. x ? y
2

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c 2o s? ? 2 cos ? c o? s

s? i n 2? ,

2

c?o ?s ?

? sx i2n? y , 即

4t ? x? ? ? 1? t2 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而y? tx ,即 y ? ,得 ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 2 y x x cos ? ?1 x2 1 c? os ? 2 s? in ?2
2

x?co2 s ? ? s i? n

? co ?s ?

1 2

2 ta ?n 2 1 ? ta ? n

?

2

?c o s

1 即x? ? 2

y y ?1 y2 y 1 y2 y x ? x x ? ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 得 ? , x (1 ? ) ? ? 1 x x y2 y2 y2 x2 x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 2
12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12 2 cos(? ? ) ? 24 ? 12 4 (2 ? 2) ; 即d ? ,当 cos(? ? ) ? ?1 时, d max ? 5 4 5
当 cos(? ?

?

?
4

) ? 1 时, d min ?

12 (2 ? 2) 。 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 3.解:(1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
坐标系与参数方程单元练习 8 一、选择题 1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是( )

1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?


2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 ( , 0) B. (0, )、 1 5 1 2

( , 0) A. (0, )、
3.直线 ? A.

C. (0, ?4)、 (8, 0)

(8, 0) D. (0, )、


5 9

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ? t
12 5
B.

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

? x ? 4t 2 (t为参数) 上, 4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? ? y ? 4t
则 PF 等于( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 )A.极点 B.极轴 ) C.一条直线 D.两条相交直线

5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为(

6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 二、填空题 B. ? sin ? ? 2 C. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

? x ? 2 pt 2 1.已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, , 且t1 ? t2 ? 0 , ? y ? 2 pt
那么 MN =_______________。 2.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

三、解答题

1 t ? x ? (e ? e ? t ) cos ? ? ? 2 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: 1 t ? t ? y ? (e ? e ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数;(2) t 为参数, ? 为常数; 2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的最小值及相应的 ? 的值。 坐标系与参数方程单元练习 8 参考答案 一、选择题 1.D 2.B

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0 ) 2 2 2
当 x ? 0 时, t ?

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A 抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切

二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, M N ? 2 p 1 t? 2 t ?2

p 21 t

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? ,t ? ? 2 2

3. 5

由?

n ? 4 c?o s 2 ?x ? 3 s i ? 2 得 x ? y ? 25 y ? 4 s i ? n ? 3 c ? o s ?

4. 5.

2 2

圆心分别为 (

1 1 , 0和 ) (0, ) 2 2

? 5? ,或 6 6

直线为 y ? x t a n ? ,圆为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,作出图形,相切时, 易知倾斜角为

? 5? ,或 6 6

三、解答题 1.解:(1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
?1

而 x 2 ? y 2 ? 1,即

1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t e ?e ? 2e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? sin ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 y 2 ?e t ? e ? t ? ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y x2 y2 ? )( ? )即 ? ?1。 cos ? sin ? cos ? sin ? cos 2 ? sin 2 ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
3 3 2 (1 ? sin ? )t ? ( 10 cos ? )t ? ? 0 则 PM ? PN ? t1t2 ? 2 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 2 4 2
2 2


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