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2014高考数学专题三综合测试


高考热点专题专练·二轮钻石卷

数学

专题二综合测试
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内. 1. 设 tanα, tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根, 则 tan(α+β)的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

tanα+tanβ 1-tanαtanβ )

解析 由题意可知 tanα+tanβ=3, tanα· tanβ=2, tan(α+β)= =-3. 答案 A sin2α 2.若 tanα=3,则cos2α的值等于( A.2 C.4 )

B.3 D.6

sin2α 2sinαcosα 解析 cos2α= cos2α =2tanα=6. 答案 D π 3.把函数 y=sin(ωx+φ)(其中 φ 是锐角)的图象向右平移8个单位,或 3 向左平移8π 个单位都可以使对应的新函数成为奇函数,则 ω=( A.2 C.4 B.3 D.1 )

π? ?3 解析 由题意知,函数的周期 T=2?8π+8?=π, ? ? 2π ∴ω= π =2. 答案 A
1

高考热点专题专练·二轮钻石卷

数学

π 4.(2013· 天津卷)在△ABC 中,∠ABC=4,AB= 2,BC=3,则 sin∠ BAC=( 10 A. 10 3 10 C. 10 ) 10 B. 5 5 D. 5

2 解析 由余弦定理得 AC2=9+2-2×3× 2× 2 =5,所以 AC= 5, AC BC 3 10 由正弦定理 = ,得 sin∠BAC= 10 . sin∠ABC sin∠BAC 答案 C 5.(2013· 全国大纲卷)已知向量 m =(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m +n) ⊥(m-n),则 λ=( A.-4 C.-2 ) B.-3 D.-1

解析 (m+n)⊥(m-n),得(m+n)· (m-n)=0,即 m2-n2=0,(λ+1)2 +1-[(λ+2)2+4]=0,解得 λ=-3,故选 B. 答案 B 6.

2

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数学

π? ? 知函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所示,则(
? ?

)

π A.ω=1,φ=6 π B.ω=1,φ=-6 π C.ω=2,φ=6 π D.ω=2,φ=-6 T 7π π π 解析 由题图知:4=12-3=4,∴T=π,∴ω=2. π π π 又 2×3+φ=2,∴φ=-6. 答案 D π? ? 7.(2012· 湖南)函数 f(x)=sinx-cos?x+6?的值域为(
? ?

)

A.[-2,2] C.[-1,1]

B.[- 3, 3] D.?-
? ?

3 3? ? , 2 2?

3

高考热点专题专练·二轮钻石卷 π? ? 解析 ∵f(x)=sinx-cos?x+6?
? ?

数学

π π =sinx-cosxcos6+sinxsin6
? 3 ? 3 1 1 =sinx- 2 cosx+2sinx= 3? sinx- cosx? 2 ?2 ?

π? ? = 3sin?x-6?(x∈R),
? ?

∴f(x)的值域为[- 3, 3]. 答案 B π? ? ? 1? 8.(2012· 江西)已知 f(x)=sin2?x+4?,若 a=f(lg5),b=f?lg5?,则(
? ? ? ?

)

A.a+b=0 C.a+b=1

B.a-b=0 D.a-b=1

π?? 1+sin2x ? 1? 解析 f(x)=2?1-cos?2x+2??= , 2 ? ? ?? 1 sin?2lg5? ∴a=2+ , 2
? 1? sin?2lg5? 1 ? ? 1 sin?2lg5? b=2+ =2- , 2 2

因此,a+b=1. 答案 C A b +c 9.在△ABC 中,cos2 2 = 2c (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则 △ABC 的形状为( A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形
4

)

高考热点专题专练·二轮钻石卷 D.等腰直角三角形 1+cosA b+c A b+c 解析 ∵cos2 2 = 2c ,∴ 2 = 2c , b2+c2-a2 b+c ∴1+ 2bc = c ,化简得 a2+b2=c2, 故△ABC 是直角三角形. 答案 B

数学

π? ? 10.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最小正周期为
? ?

π,且 f(-x)=f(x),则(
? ?

)

π? ? A.f(x)在?0,2?单调递减
?π 3π? B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 ? ? ?

π? ? C.f(x)在?0,2?单调递增
? ?π 3π? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ?

解析 y=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) π? ? = 2sin?ωx+φ+4?.
? ?

由最小正周期为 π 得 ω=2. π π 又由 f(-x)=f(x)可知 f(x)为偶函数,|φ|<2可知 φ=4,所以 y= 2cos2x π? ? 在?0,2?单调递减.
? ?

答案 A → → 11.(2013· 福建卷)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该

5

高考热点专题专练·二轮钻石卷 四边形的面积为( A. 5 C.5 ) B.2 5 D.10

数学

→ → → → 解析 因为AC· BD=1×(-4)+2×2=0,所以AC⊥BD,所以该四边形 1→ → 1 ABCD 的面积为2|AC||BD|=2× 5× 20=5. 答案 C 12.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边.如果 a,b,c 3 成等差数列,B=30° ,△ABC 的面积为2,那么 b 等于( A. 3 C.2+ 3 B.1+ 3 D.2+3 3 )

解析 ∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b.① 3 ∵B=30° ,△ABC 的面积为2, 1 1 1 3 ∴S△ABC=2ac· sinB=2ac· sin30° =4ac=2, 得 ac=6.② a2+c2-b2 3 由余弦定理得 cosB= 2ac = 2 , 即 a2+c2-b2= 3ac.③ 联立①②③可得 b=1+ 3. 答案 B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题 中横线上.

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数学

?π ? 13. (2013· 四川卷)设 sin2α=-sinα, α∈?2,π?, 则 tan2α 的值是_______. ? ? ?π ? 解析 由 sin2α=-sinα,得 2sinαcosα=-sinα,由 α∈?2,π?,所以 ? ?

1 2 4 sinα≠0,从而 cosα=-2,所以 α=3π,tan2α=tan3π= 3. 答案 3

14.(2013· 安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b, c.若 b+c=2a,3sinA=5sinB,则角 C=________. 解析 3sinA=5sinB,由正弦定理得 3a=5b,令 a=5m,则 b=3m,又 a2+b2-c2 b + c = 2a , 得 c = 7m , 由 余 弦 定 理 得 cosC = = 2ab ?5m?2+?3 m?2-?7 m?2 1 2 =-2,所以 C=3π. 2×5 m×3 m 2 答案 3π

15.(2013· 北京卷)向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c λ =λa+μb(λ,μ∈R),则μ=________. 解析 以向量 a 和 b 的交点为原点建立直角坐标系,则 a=(-1,1),b =(6,2),c=(-1,-3),由 c=λa+μb,得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),

7

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数学

1 λ 即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3 计算得 λ=-2,μ=-2,所以μ=4 答案 4 16.已知函数 f(x)=2sinxcos|x|(x∈R),则下列叙述: ①f(x)的最大值是 1;②f(x)是奇函数;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x) 是以 π 为最小正周期的函数. 其中正确的为________. 解析 ∵cosx=cos(-x)=cos|x|, ∴f(x)=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x. 因此,f(x)的最大值为 1,且 f(x)为奇函数. 2π 其周期 T= 2 =π, ∴①②④命题正确; π π π π 又∵f(x)=sin2x,令-2≤2x≤2,得-4≤x≤4,
? π π? ? π π? ∴其一个增区间为?-4,4?,而[0,1]??-4,4?,∴③错误. ? ? ? ?

答案 ①②④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 3π? 5π? ? ? 17.(本小题 10 分)(2013· 临沂一模)已知 f(x)=cos?x- 4 ?-sin?x- 4 ?.
? ? ? ?

(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; sin2α-2sin2α 8 (2)若 f(α)=5,求 的值. 1-tanα 3 ? 5 ? ? ? 解 (1)f(x)=cos?x-4π?-sin?x-4π?
? ? ? ?

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高考热点专题专练·二轮钻石卷 π? π? π? ? ? ? =sin?x-4?+sin?x-4?=2sin?x-4?.
? ? ? ? ? ?

数学

∴f(x)的最小正周期为 2π,最小值为-2. π? 4 ? 8 (2)由 f(α)=5,得 sin?α-4?=5.
? ?

2 4 ∴ 2 (sinα-cosα)=5, 7 ∴2sinαcosα=-25. sin2α-2sin2α 2sinα?cosα-sinα? ∴ = sinα 1-tanα 1-cosα 2sinα?cosα-sinα? 7 = =2sinαcosα=-25. cosα-sinα cosα 18.(本小题 12 分)(2013· 辽宁卷)设向量 a=( 3sinx,sinx),b=(cosx, π? ? sinx),x∈?0,2?.
? ?

(1)求|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sinx)2+(sinx)2=4sin2x, |b|2=(cosx)2+(sinx)2=1, 由|a|=|b|,得 4sin2x=1. π? ? 1 又 x∈?0,2?,从而 sinx=2,
? ?

π 所以 x=6. (2)f(x)=a· b= 3sinx· cosx+sin2x

9

高考热点专题专练·二轮钻石卷 π? 1 ? 3 1 1 = 2 sin2x-2cos2x+2=sin?2x-6?+2, ? ? π? π? ? π ? 当 x=3∈?0,2?时,sin?2x-6?取最大值 1.
? ? ? ?

数学

3 所以 f(x)的最大值为2. 19.(本小题 12 分)(2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分 7 别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cosB=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 b2=(a+c)2-2ac(1+cosB), 7 又 b=2,a+c=6,cosB=9,所以 ac=9. 解得 a=3,c=3. 4 2 (2)在△ABC 中,sinB= 1-cos2B= 9 , asinB 2 2 由正弦定理得 sinA= b = 3 . 1 因为 a=c,所以 A 为锐角,所以 cosA= 1-sin2A=3. 10 2 因此 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= 27 . 20.(本小题 12 分)(2013· 湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分 别是 a,b,c.已知 cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sinBsinC 的值.

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高考热点专题专练·二轮钻石卷 解 (1)由 cos2A-3cos(B+C)=1, 得 2cos2A+3cosA-2=0,

数学

1 (2cosA-1)(cosA+2)=0,解得 cosA=2或 cosA=-2(舍去). π 因为 0<A<π,所以 A=3. 1 1 3 3 (2)由 S=2bcsinA=2bc·2 = 4 bc=5 3,得 bc=20.及 b=5,知 c=4. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,故 a= 21. b c bc 2 20 3 5 又由正弦定理得 sinBsinC=asinA· sin A = 2 sin A= a a 21×4=7. 21.(本小题 12 分)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建 部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底 座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米,∠C=∠D.

(1)求 AB 的长度; (2)若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元,不考虑其他因素,小 李、小王谁的设计使建造费用最低,说明理由,最低造价为多少?
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高考热点专题专练·二轮钻石卷 解 (1)在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cosC= = ,① 2AC· BC 2×8×5 在△ABD 中,由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cosD= = ,② 2AD· BD 2×7×7 由∠C=∠D,得 cosC=cosD, 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 1 易知 S△ABD=2AD· BDsinD,S△ABC=2AC· BCsinC, 因为 AD· BD>AC· BC,且∠C=∠D,所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低.

数学

因为 AD=BD=AB=7,所以△ABD 是等边三角形,∠D=60° . 1 故 S△ABC=2AC· BCsinC=10 3, 所以所求的最低造价为 5 000×10 3=50 000 3≈86 600 元. ωx 22.(本小题 12 分)(2012· 四川)函数 f(x)=6cos2 2 + 3sinωx-3(ω>0)在 一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交 点,且△ABC 为正三角形.

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数学

(1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域;
? 10 2? 8 3 (2)若 f(x0)= 5 ,且 x0∈?- 3 ,3?,求 f(x0+1)的值. ? ?

解 (1)由已知,可得 π? ? f(x)=3cosωx+ 3sinωx=2 3sin?ωx+3?,
? ?

又正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4, 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 ω =8,ω=4. 所以函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 8 3 (2)因为 f(x0)= 5 ,由(1),知
?πx0 π? 8 3 f(x0)=2 3sin? 4 +3?= 5 , ? ? ?πx0 π? 4 即 sin? 4 +3?=5. ? ? ? 10 2? πx0 π ? π π? 由 x0∈?- 3 ,3?,知 4 +3∈?-2,2?, ? ? ? ? ?πx0 π? 所以 cos? 4 +3?= ? ? ?4? 3 1-?5?2=5. ? ?

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?πx0 π π? 故 f(x0+1)=2 3sin? 4 +4+3? ? ? ??πx0 π? π? =2 3sin?? 4 +3?+4? ? ?? ? ? ?πx0 π? ?πx0 π? π? π =2 3?sin? 4 +3?cos4+cos? 4 +3?sin4? ? ? ? ? ? ? ?4 2 3 2? 7 6 =2 3×? × + × ?= 5 . 2 5 2? ?5

数学

专题三综合测试
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,将答案填在题后括号内. 1.在数列{an}中,a1=2,当 n 为正奇数时,an+1=an+2,当 n 为正偶 数时,an+1=2an,则 a6=( A.11 B.17 ) C.22 D.23

解析 逐项计算得该数列的前 6 项依次为:2,4,8,10,20,22. 答案 C 1 2.各项均为正数的等比数列{an}的公比 q≠1,a2,2a3,a1 成等差数列, 则 a3a4+a2a6 =( a2a6+a4a5 A. 5+1 1 ) B. D. 5-1 2 5+1 2

1- 5 C. 2

解析 依题意,有 a3=a1+a2,设公比为 q, 则有 q2-q-1=0,所以 q= 1+ 5 2 (舍去负值).
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高考热点专题专练·二轮钻石卷 a3a4+a2a6 a2a4?q+q2? 1 5-1 2 = = 2 3 = = 2 . a2a6+a4a5 a2a4?q +q ? q 1+ 5 答案 B

数学

3.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S10=18,S20=24,则 S40 等于 ( ) 80 A. 3 79 C. 3 76 B. 3 82 D. 3

解析 根据分析易知:∵S10=18,S20-S10=6,∴S30-S20=2,S40-S30 2 80 =3,∴S40= 3 ,故选 A. 答案 A 4.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N*,则 n(n≥3)的 最大值为( A.7 C.5 解析 为 7. 答案 A 5.设 f(x)是定义在 R 上恒不为 0 的函数,对任意实数 x,y∈R,都有 1 f(x)f(y)=f(x+y),若 an=f(n)(n∈N*),且 a1=2,则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是(
?1 ? A.?2,2? ? ?

) B.6 D.8 6 an=a1+(n-1)d=0,∴d= .又 d∈N*,∴n(n≥3)的最大值 n-1

)
?1 ? B.?2,2? ? ?

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?1 ? C.?2,1? ? ? ?1 ? D.?2,1? ? ?

数学

解析

1 1 由题意知 a1=f(1)=2,an+1=f(n+1)=f(1)f(n)=2an.∴数列{an}

1? ?1?n? ? ? ?? 2?1-?2? ? ?1?n 1 1 ? ? ,∴Sn 的取 是以2为首项,2为公比的等比数列,∴Sn= = 1 - 1 ?2? 1-2
?1 ? 值范围是?2,1?. ? ?

答案 D 6.数列{an}的通项公式 an= n 为( ) B.576 D.625 =-( n- n+1),∴{an}的前 n 项和 Sn=- n+ n+1 1 1 n+ n+1 ,若{an}的前 n 项和为 24,则

A.25 C.624 解析 ∵an=

[(1- 2)+( 2- 3)+…+( n- n+1)]= n+1-1=24,∴n=624. 答案 C 12 22 32 102 7. 2 + + +…+ 2 =( 1 +102 22+92 32+82 10 +12 A.8 C.6 B.7 D.5 )

12 22 32 102 102 解析 设 S= 2 + + +…+ 2 ,则 S= 2 + 1 +102 22+92 32+82 10 +12 10 +12 92 82 12 + +…+ 2 ,两式相加得 2S=1+1+…+1=10,∴S=5. 22+92 32+82 1 +102 答案 D
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数学

8.公差不为 0 的等差数列{an}中,3a2 010-a2 2 012+3a2 014=0,数列{bn} 是等比数列,且 b2 012=a2 012,则 b2 011b2 013=( A.4 C.16 B.8 D.36 )

2 解析 ∵3a2 010-a2 012+3a2 014=0, 2 ∴6a2 012-a2 012=0,即 a2 012(a2 012-6)=0.

∵数列{bn}是等比数列, ∴a2 012=b2 012≠0. ∴b2 012=a2 012=6.
2 2 ∴b2 011b2 013=b2 012=6 =36.

答案 D 9. 已知数列{an}的首项 a1=1, 且 an=2an-1+1(n≥2), 则 an 等于( A.3n+2 C.2n+1 B.2n-1 D.3n-1 )

解析 设 an+m=2(an-1+m), ∴an=2an-1+m, ∴m=1, ∴当 n≥2 时, an+1 =2,∴an+1=2n,∴an=2n-1; an-1+1 又当 n=1 时,a1=21-1,∴n∈N*时,an=2n-1. 答案 B 10.已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5· a2n-5=22n(n≥3), 则当 n≥1 时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1 等于( A.n(2n-1) C.n2 B.(n+1)2 D.(n-1)2 )

解析 由{an}为等比数列,则 a5· a2n-5=a1· a2n-1=22n, 则(a1· a3· a5· …· a2n-1)2=(22n)n?a1· a3· …· a2n-1=2n2,
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数学

故 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1· a3· …· a2n-1)=n2. 答案 C 11. 在公差为 d, 各项均为正整数的等差数列{an}中, 若 a1=1, an=51, 则 n+d 的最小值为( A.14 C.18 ) B.16 D.10

解析 由题意得 an=1+(n-1)d=51,即(n-1)d=50,且 d>0.由(n-1) +d≥2 ?n-1?d=2 50(当且仅当 n-1=d 时等号成立), 得 n+d≥10 2+1, 因为 n,d 均为正整数,所以 n+d 的最小值为 16. 答案 B 1 nπ 12.(2012· 上海)设 an=nsin25,Sn=a1+a2+…+an.在 S1,S2,…,S100 中,正数的个数是( A.25 C.75 ) B.50 D.100

解析 由数列通项可知, 当 1≤n≤25, n∈N*时, an≥0, 当 26≤n≤50, n∈N*时,an≤0,因为 a1+a26>0,a2+a27>0,…,所以 S1,S2,…,S50 都 是正数;当 51≤n≤100,n∈N*时,同理 S51,S52,…,S100 也都是正数, 所以正数的个数是 100. 答案 D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题 中横线上. 13.(2013· 辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项 和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6=________.

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数学

1-26 解析 由已知得 a1=1,a3=4,所以 q=2,则 S6= =63. 1-2 答案 63 14.(2013· 河南商丘二模)在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0, Sn 是数列{an}前 n 项的和,若 Sn 取得最大值,则 n=________. 4 解析 设公差为 d, 由题设知 3(a1+3d)=7(a1+6d), 所以 d=-33a1<0. 解不等式 an>0,
? 4 ? 即 a1+(n-1)?-33a1?>0. ? ?

37 所以 n< 4 ,则 n≤9. 当 n≤9 时,an>0,同理可得当 n≥10 时,an<0. 故当 n=9 时,Sn 取得最大值. 答案 9 15.已知数列{an}中,a1=4,an=4n-1an-1(n>1,n∈N*),则通项公式 an=________. 解析 ∵an=4n-1an-1, a2 a3 an ∴a =4,a =42,… =4n-1 以上式子相乘得: an-1 1 2 an 1+2+…+(n-1) (n-1)n = 4 = 2 , a1 ∴an=2n
2
-n+2

.

答案 2n

2

-n+2

1 16.(2013· 江苏卷)在正项等比数列{an}中,a5=2,a6+a7=3.则满足 a1 +a2+…+an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值为________.
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高考热点专题专练·二轮钻石卷

数学

1 解析 a6+a7=a5q+a5q2=3,把 a5=2代入得 q2+q-6=0,即 q=2, 1 所以 a1=32, 所以 an=2n-6, Sn=2n-5-2-5, a1a2…an=(a1an) 由题意 2n-5-2-5>2
n?n-11? 2 n 2

=2

n?n-11? 2



,当 2n-5>2

n?n-11? 2

时可求得 n 的最大值为 12,

当 n=13 时,28-2-5<213,所以 n 的最大值为 12. 答案 12 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 17.(本小题 10 分)(2013· 四川卷)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前 n 项和. 解 设该数列公差为 d,前 n 项和为 Sn.由已知,可得 2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+8d)(a1+d). 所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0, 解得 a1=4,d=0 或 a1=1,d=3,即数列{an}的首项为 4,公差为 0, 或首项为 1,公差为 3. 3n2-n 所以,数列的前 n 项和 Sn=4n 或 Sn= 2 . 18.(本小题 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35,a5 和 a7 的等差中项为 13. (1)求 an 及 Sn; 4 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 因为 S5=5a3=35,a5+a7=26,
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?a1+2d=7, ? 所以有? ? ?2a1+10d=26,

数学

解得 a1=3,d=2. 所以 an=3+2(n-1)=2n+1; Sn=3n+ n?n-1? 2 × 2 = n +2n. 2

4 1 1 1 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 bn= 2 = =n- ,所以 Tn= an-1 n?n+1? n+1
?1 1 ? 1? ?1 1? ? 1 n ?1- ?+? - ?+…+? - ?=1- = . n 2? ?2 3? n+1? ? n+1 n+1 ?

19.(本小题 12 分)已知等差数列{an}(n∈N*)中,an+1>an,a2a9=232, a4+a7=37. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若将数列{an}的项重新组合,得到新数列{bn},具体方法如下:b1= a1,b2=a2+a3,b3=a4+a5+a6+a7,b4=a8+a9+a10+…+a15,…,依此 1 n? ? 2 ?的前 n 类推,第 n 项 bn 由相应的{an}中 2n-1 项的和组成,求数列?bn-4·
? ?

项和 Tn. 解 (1)由 a2a9=232 与 a4+a7=a2+a9=37,
?a2=8, ?a2=29, ? ? 解得:? 或? (由于 an+1>an,舍去). ? ? ?a9=29, ?a9=8 ? ? ?a2=a1+d=8, ?a1=5, 设公差为 d,则? 解得? ?a9=a1+8d=29, ?d=3. ? ?

所以数列{an}的通项公式为 an=3n+2(n∈N*). (2)由题意得: bn=a2n-1+a2n-1+1+a2n-1+2+…+a2n-1+2n-1-1
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数学

=(3· 2n-1+2)+(3· 2n-1+5)+(3· 2n-1+8)+…+[3· 2n-1+(3· 2n-1+1)]=2n
-1

×3· 2n-1+ [2+5+8+ …+ (3· 2n -1-4)+ (3· 2n-1-1)].而 2+5+8+ …+

(3· 2n-1-4)+(3· 2n-1-1)是首项为 2,公差为 3 的等差数列的前 2n-1 项的和, 所以 2+5+8+…+(3· 2n-1-4)+(3· 2n-1-1) =2
n-1

2n-1?2n-1-1? 1 n 2n-3 ×2+ × 3 = 3· 2 + 2. 2 4·

1 n 所以 bn=3· 22n-2+3· 22n-3+4· 2 9 2n 1 n =8· 2 +4· 2. 1 n 9 2n 所以 bn-4· 2 =8· 2 .
n 9 9 4?1-4 ? 3 n 2n 所以 Tn=8(4+16+64+…+2 )=8× =2(4 -1). 1-4

x 20.(本小题 12 分)设函数 f(x)=2+sinx 的所有正的极小值点从小到大 排成的数列为{xn}. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)设{xn}的前 n 项和为 Sn,求 sinSn. 1 1 解 (1)令 f′(x)=2+cosx=0,所以 cosx=-2, 2 解得 x=2kπ±3π(k∈Z). 2 由 xn 是 f(x)的第 n 个正极小值点知,xn=2nπ-3π(n∈N*). (2)由(1)可知, 2 2nπ Sn=2π(1+2+…+n)-3nπ=n(n+1)π- 3 ,

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高考热点专题专练·二轮钻石卷 2nπ? ? 所以 sinSn=sin?n?n+1?π- 3 ?. ? ?

数学

因为 n(n+1)表示两个连续正整数的乘积,n(n+1)一定为偶数,所以 2nπ sinSn=-sin 3 . 当 n=3m-2(m∈N*)时, 4 ? ? 3 sinSn=-sin?2mπ-3π?=- 2 ; ? ? 当 n=3m-1(m∈N*)时, 2 ? ? 3 sinSn=-sin?2mπ-3π?= 2 ; ? ? 当 n=3m(m∈N*)时, sinSn=-sin2mπ=0.

?- 23,n=3m-2?m∈N ?, ? 综上所述,sinS =? 3 2 ,n=3m-1?m∈N ?, ? ?0,n=3m?m∈N ?.
* n * *

21.(本小题 12 分)(2013· 湖北卷)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10, a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得a +a +…+a ≥1?若存在,求 m 的最小
1 2 m

值;若不存在,说明理由. 解
3 ?a3 ? 1q =125, (1)设等比数列{an}的公比为 q,则由已知可得? 2 ? ?|a1q-a1q |=10,

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数学

?a1=5, 3 解得? ?q=3,

?a1=-5, ? 或? ? ?q=-1.

5 n-1 故 an=3· 3 ,或 an=-5· (-1)n-1. 5 n-1 1 3 ?1?n-1 ? ? , (2)若 an=3· 3 ,则a =5· 3
n

? ?

?1? 3 1 故?a ?是首项为5,公比为3的等比数列, ? n? ?1?m? 3? ? ? ? ? · 1 - m 1 5? ?3? ? 9 ? ?1? ? 9 ?1-? ?m?< <1. 从而 ? a = = · 1 10 ? ?3? ? 10 n=1 n 1-3 ?1? 1 1 1 若 an=-5· (-1)n-1,则a =-5(-1)n-1,故?a ?是首项为-5,公比为
n

? n?

-1 的等比数列, 1 m 1 1 ?-5,m=2k-1?k∈N+?, 从而 ? a =? 故 ? a <1. n=1 n n =1 n ?0,m=2k?k∈N+?.
m m 1 综上,对任意正整数 m,总有 ? a <1. n =1 n

1 1 1 故不存在正整数 m,使得a +a +…+a ≥1 成立.
1 2 m

22.(本小题 12 分)(2013· 江苏卷)设{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数 列(d≠0),Sn 是其前 n 项的和.记 bn= nSn ,n∈N*,其中 c 为实数. 2 n +c

(1)若 c=0,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,n∈N*); (2)若{bn}是等差数列,证明:c=0.

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高考热点专题专练·二轮钻石卷 n?n-1? 2 d.

数学

解 由题设,Sn=na+

n-1 Sn (1)由 c=0,得 bn= n =a+ 2 d.又 b1,b2,b4 成等比数列,所以 b2 2= d? 3 ? ? ? b1b4,即?a+2?2=a?a+2d?,化简得 d2-2ad=0.因为 d≠0,所以 d=2a.
? ? ? ?

因此,对于所有的 m∈N*,有 Sm=m2a. 从而对于所有的 k,n∈N*,有 Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. nSn (2)设数列{bn}的公差是 d1, 则 bn=b1+(n-1)d1, 即 2 =b1+(n-1)d1, n +c 1 ? ? n∈ N*,代入 Sn 的表达式,整理得,对于所有的 n∈ N*,有?d1-2d? n3+
? ?

1 ? ? ?b1-d1-a+ d?n2+cd1n=c(d1-b1). 2 ? ? 1 1 令 A=d1-2d, B=b1-d1-a+2d, D=c(d1-b1), 则对于所有的 n∈N*, 有 An3+Bn2+cd1n=D.(*) 在(*)式中分别取 n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1, 7A+3B+cd1=0, ? ? 从而有?19A+5B+cd1=0, ? ?21A+5B+cd1=0, ① ② ③

由②,③得 A=0,cd1=-5B,代入方程①,得 B=0,从而 cd1=0. 1 1 即 d1-2d=0,b1-d1-a+2d=0,cd1=0. 1 若 d1=0,则由 d1-2d=0,得 d=0,与题设矛盾,所以 d1≠0. 又 cd1=0,所以 c=0.

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