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历届数学高考中的试题精选——函数与不等式(B卷)


历届数学高考中的“函数与不等式”试题精选(B 卷)
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)

题号 答案

1

2

3

4
0.2

5

6

7

8

9

10

?1? 1.(2007 天津文)设 a ? log 1 3 , b ? ? ? , c ? 2 3 ,则( ) ?3? 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c
1

2.(2004 全国卷Ⅳ理科)设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ?

f (5) ? (
A.0

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 2

) B.1 C.

5 2

D.5

3.(2008 湖北文)已知 f ( x) 在 R 上是奇函数,且

f ( x ? 4) ? f ( x),当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x 2 , 则f (7) ? (
A.-2 B.2 C.-98 D.98

)

4.(2005 天津文)设 f (x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f (x) 在(0,3)内单调递减,且

y ? f (x) 的
图象关于直线 x ? 3 对称,则下面正确的结论是( ) A. f (1.5) ? f (3.5) ? f (6.5) B. f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5) C. f (6.5) ? f (3.5) ? f (1.5) D. f (3.5) ? f (6.5) ? f (1.5)

?2e x ?1 , x ? 2, ? 5.(2006 山东文、理)设 f(x)= ? 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2, ?
(A)(1,2) ? (3,+∞) (C)(1,2) ? ( 10 ,+∞)

则不等式 f(x)>2 的解集为(



(B)( 10 ,+∞) (D)(1,2)

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 6.(2007 北京文)若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ?0 ≤ x ≤ 2 ?
( ) A. a ? 5 B. a≥ 7 C. 5 ≤ a ? 7 D. a ? 5 或 a≥ 7

7.(2008 福建文)若实数 x,y 满足 A. (0, 2) B. (0, 2]

? x ? y? ? 0 y ? x ? 0 ,则 的取值范围是( ? x ? y?2 ? C. (2, ??) D. [2, ??)



?2 ? x ? 1, x ? 0, 8. (2003 全国、广东、天津、江苏、辽宁)设函数 f ( x) ? ? 1 若f ( x0 ) ? 1, 则x0 的 ? 2 ?x , x ? 0 ?

取值范围是( ) (A) (-1,1) (C) (-∞,-2)∪(0,+∞)
2

(B) (?1, ??) (D) (-∞,-1)∪(1,+∞)

9.(2008 江西理)已知函数 f ? x ? ? 2mx ? 2 ? 4 ? m ? x ? 1, g ? x ? ? mx ,若对于任一实数 x ,

f ? x ? 与 g ? x ? 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是(
A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8)



D.(-∞,0)

10.(2006 重庆理)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形 面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分)
11.(2008 上海理)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x, 则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 . 12.(2005 江苏卷)函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为_____________________.

13.(2007 湖南文、理)设集合

A ? ?? x, y ? | y ?| x ? 2 |, x ? 0? , B ? ?? x, y ? | y ? ? x ? b? , A ? B ? ? ,

b 的取值范围是
14. (2007 山东文)函数 y ? a
1? x

.

(a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 1 1 . mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 上,则 ? 的最小值为 m n

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余题各 14 分,满分为 80 分) a 2 15.(2007 上海文)已知函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0 ,常数 a ?R) . x (1)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 x ? 1; (2)讨论函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由.

16. 2004 全国Ⅲ卷文、 ( 理) 某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。 在温室内, 沿左.右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温 室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?

2

17.(2001 江西、山西、天津理科)设 a ? 0, f ( x) ?

ex a 是 R 上的偶函数. ? a ex

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

18.(2003 上海文科)已知函数 f ( x) ? 性和单调性.

1 1? x ,求函数 f (x) 的定义域,并讨论它的奇偶 ? log 2 x 1? x

19.(2004 北京理)某段城铁线路上依次有 A、B、C 三站,AB=5km,BC=3km,在列车运行时 刻表上, 规定列车 8 时整从 A 站发车, 时 07 分到达 B 站并停车 1 分钟, 时 12 分到达 C 站, 8 8 在实际运行中, 假设列车从 A 站正点发车, B 站停留 1 分钟, 在 并在行驶时以同一速度 vkm / h 匀速行驶,列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的 运行误差。 (I)分别写出列车在 B、C 两站的运行误差 (II)若要求列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,求 v 的取值范围

20.(2006 浙江理)设 f(x)=3ax ?2bx ? c.若a ? b ? c ? 0 ,f(0)>0,f(1)>0,求证:
2

(Ⅰ)a>0 且-2<

b <-1; a

(Ⅱ)方程 f(x)=0 在(0,1)内有两个实根.

历届数学高考中的“函数与不等式”试题精选(B 卷)

参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分。请将正确答案的代号填入下表)
题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 D 9 B 10 D

二、填空题:(每小题 5 分,计 20 分) ? 1 ? ?3 ? 11. ?? 1,0? ? ?1,?? ? ; 12. ?? ,0 ? ? ? ,1? ; ? 4 ? ?4 ?

13. ?2,??? ;

14. 4

三、解答题:(15、16 题各 12 分,其余题各 14 分,满分为 80 分) 2 2 2 2 2 2 15. 解:(1)x ? ? ( x ? 1) ? 整理, 得 ? ? 2x ? 1, ? 0 , 即 x( x ? 1) ? 0 . x x ?1 x x ?1 ? 原不等式的解为 0 ? x ? 1 . 2 (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? x , 对任意 x ? ( ? ?, ? (0, ? ) , 0) ? 2 2 f ( ? x) ? (? x) ? x ? f ( x) , ? f (x) 为偶函数.
a ( a ? 0, ? 0) , x x 取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0 , ? f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (1) ,

当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ?

? 函数 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数.
16.解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab ? 800. 蔬菜的种植面积 S ? (a ? 4)(b ? 2)

? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808 ? 2(a ? 2b).
所以 S ? 808 ? 4 2ab ? 648 (m ).
2

当 a ? 2b, 即a ? 40(m), b ? 20(m)时, S 最大值 ? 648 (m ).
2

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植 面积为 648m2.
x 17.解: (Ⅰ)依题意,对一切 x ? R 有 f ( x) ? f (? x) ,即 e ? a ? 1 ? ae x , x x

a

e

ae

所以 (a ? 1 )(e x ? 1 ) ? 0 对一切 x ? R 成立. a ex 由此得到 a ?

1 ? 0, 即 a2=1. a

又因为 a>0,所以 a=1.

(II)证明一:设 0<x1<x2,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? e
x1

x2

1? e x1 x2 ? x1 1 1 1 ? 1) ? x2 ? x1 ? x ? x ? (e x2 ? e x1 )( x ? x ? 1) ? e (e e e1 e 2 e1 2

x2 ? x1

,

由 x1 ? 0, x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0, 得x1 ? x2 ? 0, e x2 ? x1 ? 1 ? 0,1 ? e x2 ? x1 ? 0.

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.
证明二:由 f ( x) ? e x ? e ? x 得 f ?( x) ? e x ? e ? x ? e ? x (e 2 x ? 1). 当 x ? (0,??) 时,有 e ? x ? 0, e 2 x ? 1 ? 0, 此时 f ?( x) ? 0. 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

?x ? 0 1? x ? 18.[解]x 须满足 ?1 ? x ,由 ? 0得 ? 1 ? x ? 1, ?1 ? x ? 0 1 ? x ? 所以函数 f (x) 的定义域为(-1,0)∪(0,1). 因为函数 f (x) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有 1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? ? log 2 ? ?( ? log 2 ) ? ? f ( x) ,所以 f (x) 是奇函数. x 1? x x 1? x 研究 f (x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则 1 ? x1 1 1 ? x2 1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? log 2 ? ? log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2
?( 由 1 1 2 2 ? ) ? [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? ? 0, log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f (x) 在(0,1)内单调递减, 由于 f (x) 是奇函数,所以 f (x) 在(-1,0)内单调递减. 19. 解: (I)列车在 B,C 两站的运行误差(单位:分钟)分别是

|

300 480 ? 7| 和 | ? 11| v v

(II)由于列车在 B,C 两站的运行误差之和不超过 2 分钟,所以

300 480 (*) ? 7|?| ? 11| ? 2 v v 300 300 480 300 当0 ? v ? 时, (*)式变形为 ?7? ? 11 ? 2 , 解得 39 ? v ? 7 v v 7 300 480 300 480 300 480 当 时, (*)式变形为 7 ? ?v? ? ? 11 ? 2 , 解得 ?v? 7 11 v v 7 11 480 ?00 480 480 195 当v ? 时, (*)式变形为 7 ? ? 11 ? ? 2 , 解得 ?v? 11 v v 11 4 195 综上所述, v 的取值范围是[39, ] 4 |
20.证明: (I)因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,所以 c ? 0,3a ? 2b ? c ? 0 . 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0 ; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 .

故 ?2 ?

b ? ?1 . a
2

(II)抛物线 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c 的顶点坐标为 (? 在 ?2 ?

b 3ac ? b 2 , ), 3a 3a

b 1 1 b 2 ? ?1 的两边乘以 ? ,得 ? ? ? . a 3 3 3a 3 b a 2 ? c 2 ? ac 又因为 f (0) ? 0, f (1) ? 0, 而 f (? ) ? ? ? 0, 3a 3a b b 所以方程 f ( x) ? 0 在区间 (0, ? ) 与 (? ,1) 内分别有一实根。 3a 3a 故方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根.



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