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函数的奇偶性


函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义; 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性; 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1.函数奇偶性的概念 偶函数:若对于定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)称为偶函数. 奇函数:若对于定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 f(x)称为奇函数. 要点诠释: (1)奇偶性是整体性质; (2) x 在定义域中, 那么-x 在定义域中吗?----具有奇偶性的函数, 其定义域必定是关于原点对称的; (3)f(-x)=f(x)的等价形式为: f ( x) ? f (? x) ? 0,

f (? x) ? 1( f ( x) ? 0) , f ( x)

f(-x)=-f(x)的等价形式为: f ( x) ? f (? x) ? 0,

f (? x) ? ?1( f ( x) ? 0) ; f ( x)

(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义,则必有 f(0)=0; (5)若 f(x)既是奇函数又是偶函数,则必有 f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如 果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数为偶函数,则它的图象关于 y 轴对称;反之,如果一个函数的图像关于 y 轴对称, 则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 (1)求函数 f ( x ) 的定义域,判断函数的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既 不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步; (2)结合函数 f ( x ) 的定义域,化简函数 f ( x ) 的解析式; (3)求 f (? x) ,可根据 f (? x) 与 f ( x ) 之间的关系,判断函数 f ( x ) 的奇偶性. 若 f (? x) =- f ( x ) ,则 f ( x ) 是奇函数; 若 f (? x) = f ( x ) ,则 f ( x ) 是偶函数; 若 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数; 若 f (? x) ? f ( x) 且 f (? x) =- f ( x ) ,则 f ( x ) 既是奇函数,又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法

1

(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数; 若函数的定义域是关于原点对称的,再判断 f (? x) 与 ? f ( x) 之一是否相等. (2)验证法:在判断 f (? x) 与 f ( x ) 的关系时,只需验证 f (? x) ? f ( x) =0 及 可. (3)图象法:奇(偶)函数等价于它的图象关于原点( y 轴)对称. (4)性质法:两个奇函数的和仍为奇函数;两个偶函数的和仍为偶函数;两个奇函数的积是偶函数; 两个偶函数的积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. (5)分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时,通常利用定义法判断.在函数定义域内,对自变量 x 的不同取值范围,有着 不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数,而是一个函数.因此其判断方法也是 先考查函数的定义域是否关于原点对称, 然后判断 f (? x) 与 f ( x ) 的关系.首先要特别注意 x 与 ?x 的范围, 然后将它代入相应段的函数表达式中, f ( x ) 与 f (? x) 对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函数的定 义进行比较. 要点三、关于函数奇偶性的常见结论 奇函数在其对称区间[a,b] 和[-b,-a] 上具有相同的单调性,即已知 f ( x ) 是奇函数,它在区间[a,b] 上是增函数 (减函数) , 则 f ( x ) 在区间[-b, -a]上也是增函数 (减函数) ; 偶函数在其对称区间[a,b]和[-b, -a]上具有相反的单调性, 即已知 f ( x ) 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数 (减函数) , 则 f ( x ) 在区间[-b, -a]上也是减函数(增函数). 【典型例题】 类型一、判断函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1)

f (? x) ? ?1 是否成立即 f ( x)

1- x ; 1? x

(2)f(x)=x2 -4|x|+3 ;

(3)f(x)=|x+3|-|x-3|;
2 ? ?- x ? x( x ? 0) (5) f ( x) ? ? 2 ; ? ? x ? x( x ? 0)

(4) f ( x) ?

1- x 2 ; | x ? 2 | -2
1 [ g ( x) - g ( ? x)]( x ? R) 2

(6) f ( x) ?

【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断. 【答案】 (1)非奇非偶函数; (2)偶函数; (3)奇函数; (4)奇函数; (5)奇函数; (6)奇函数. 【解析】(1)∵f(x)的定义域为 ? -1,1 ,不关于原点对称,因此 f(x)为非奇非偶函数; (2)对任意 x∈R,都有-x∈R,且 f(-x)=x2 -4|x|+3=f(x),则 f(x)=x2 -4|x|+3 为偶函数 ; (3)∵x∈R,f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x),∴f(x)为奇函数;

?

2

(4)

?1-x 2 ? 0 ? ? x+2 ? ?2

?-1 ? x ? 1 ?? ? x ? 0且x ? -4

? x ? ? -1,0 ? ? ? 0,1?

? f ( x) ?

1- x2 1- x2 ? ( x ? 2) - 2 x

? f (- x) ?

1- (- x)2 1- x2 ?? - f ( x) ,∴f(x)为奇函数; -x x
∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x),∴f(x)为奇函数;

(5)∵x∈R,f(x)=-x|x|+x (6)

1 1 f (- x) ? {g (- x) - g[-(- x)]} ? [ g (- x) - g ( x)] ? - f ( x) ,∴f(x)为奇函数. 2 2

【总结升华】 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是 函数具有奇偶性的前提条件,因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则,即优先研究函数的 定义域, 否则就会做无用功.如在本例 (4) 中若不研究定义域, 在去掉 | x ? 2 | 的绝对值符号时就十分麻烦. 举一反三: 【变式 1】判断下列函数的奇偶性:

3x (1) f ( x) ? 2 ; x ?3

(2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ;

2 x2 ? 2 x (3) f ( x) ? ; x ?1

? x 2 ? 2x ? 1 (x ? 0) ? (4) f (x) ? ?0 (x ? 0) . ?? x 2 ? 2x ? 1 (x ? 0) ?
【答案】 (1)奇函数; (2)偶函数; (3)非奇非偶函数; (4)奇函数. 【解析】(1) f ( x ) 的定义域是 R , 又 f ( ? x) ?

3(? x) 3x ?? 2 ? ? f ( x) ,? f ( x) 是奇函数. 2 (? x) ? 3 x ?3

(2) f ( x ) 的定义域是 R , 又 f (? x) ?| ? x ? 1| ? | ? x ? 1|?| x ? 1| ? | x ? 1|? f ( x) ,? f ( x) 是偶函数. (3) f (? x) ? (? x) ? (? x) ? 1 ? x ? x ? 1
2 2

? f (? x) ? ? f ( x)且f (? x) ? f ( x) ,∴ f ( x) 为非奇非偶函数.
(4)任取 x>0 则-x<0,∴f(-x)=(-x) +2(-x)-1=x -2x-1=-(-x +2x+1)=-f(x) 任取 x<0,则-x>0 f(-x)=-(-x)2 +2(-x)+1=-x2 -2x+1=-(x2 +2x-1)=-f(x) x=0 时,f(0)=-f(0) ∴x∈R 时,f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂:函数的奇偶性 356732 例 2(1) 】 【变式 2】已知 f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶
2 2 2

3

函数. 证明:设 F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂:函数的奇偶性 356732 例 2(2) 】 【变式 3】设函数 f ( x ) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论 恒成立的是 ( ). B. f ( x ) -|g(x)|是奇函数

A. f ( x ) +|g(x)|是偶函数

C.| f ( x ) | +g(x)是偶函数 D.| f ( x ) |- g(x)是奇函数 【答案】A 例 2.已知函数 f ( x), x ? R , 若对于任意实数 a , b 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 判断 f ( x ) 的奇偶性. 【答案】奇函数 【解析】因为对于任何实数 a , b ,都有 f ( a ? b) ? f ( a) ? f ( b),可以令 a , b 为某些特殊值,得出

f (? x) ? ? f ( x).
设 a ? 0, 则 f (b) ? f (0) ? f (b) ,? f (0) ? 0 . 又设 a ? ? x, b ? x ,则 f (0) ? f (? x) ? f ( x) ,

? f (? x) ? ? f ( x) ,? f ( x) 是奇函数.
【总结升华】判断抽象函数的单调性,可用特殊值赋值法来求解. 在这里,由于需要判断 f (? x) 与

f ( x) 之间的关系,因此需要先求出 f (0) 的值才行.
举一反三: 【 变 式 1 】 已 知 函 数

f ( x), x ? R , 若 对 于 任 意 实 数 x1 , x2 , 都 有

f ( 1x ?

2

x )?

( f 1? x

2

)x ? 2

( f x ) 2( f x )f ( x) 的奇偶性. 1 ? ,判断函数

【答案】偶函数 【 解 析 】 令

x1 ? 0, x2 ? x, 得

f ( x) ? f (? x) ? 2 f (0) f ( x)

, 令 x2 ? 0, x1 ? x,



f ( x) ? f ( x) ? 2 f (0) f ( x)
由上两式得: f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x)

? f ( x) 是偶函数.
4

类型二、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合) 例 3. f(x), g(x)均为奇函数, H ( x) ? af ( x) ? bg ( x) ? 2 在 ? 0, ??? 上的最大值为 5 ,则 H ( x ) 在 (- ?, 2 )上的最小值为 【答案】 -1 【解析】考虑到 f ( x), g ( x) 均为奇函数,联想到奇函数的定义,不妨寻求 H ( x ) 与 H (? x) 的关系. .

H ( x ) + H (? x) = af ( x) ? bg ( x) ? 2 ? af (? x) ? bg (? x) ? 2 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x) , ? H ( x ) ? H ( ? x) ? 4 .
当 x ? 0 时, H ( x) ? 4 ? H (? x) , 而 ? x ? 0 ,? H (? x) ? 5 ,? H ( x) ? ?1

? H ( x ) 在 (??, 0) 上的最小值为-1.
【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义,其实如果仔细观察还可以发现 af ( x) ? bg ( x) 也是奇 函数,从这个思路出发,也可以很好地解决本题.过程如下:

x ? 0 时, H ( x ) 的最大值为 5,? x ? 0 时

af ( x) ? bg ( x) 的最大值为 3,? x ? 0 时 af ( x) ? bg ( x) 的最小值为 -3,? x ? 0 时, H ( x ) 的最小值为
-3+2=-1. 举一反三: 5 3 【变式 1】已知 f(x)=x +ax -bx-8,且 f(-2)=10,求 f(2). 【答案】-26 【解析】法一:∵f(-2)=(-2) +(-2) a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 ∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25 +23 a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二:令 g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 【总结升华】本题要会对已知式进行变形,得出 f(x)+8= x5 +ax3 -bx 为奇函数,这是本题的关键之处, 从而问题 g (2) 便能迎刃而解. 例 4. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 3x ? 1 ,求 f ( x ) 的解析式.
2
5 3

? x 2 ? 3 x ? 1, x ? 0, ? 【答案】 f ( x ) ? ?0, x ? 0, ?? x 2 ? 3 x ? 1, x ? 0. ?
5

【解析】

f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,

? f (? x) ? ? f ( x) , 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,
2 ? f ( x) ? ? f (? x) ? ? ? ?(? x) ? 3(? x) ? 1? ?

= ? x 2 ? 3x ? 1 又奇函数 f ( x ) 在原点有定义,? f (0) ? 0 .

? x 2 ? 3 x ? 1, x ? 0, ? ? f ( x) ? ?0, x ? 0, ?? x 2 ? 3 x ? 1, x ? 0. ?
【总结升华】若奇函数 f ( x ) 在 x ? 0 处有意义,则必有 f (0) ? 0 ,即它的图象必过原点(0,0) . 举一反三: 【高清课堂:函数的奇偶性 356732 例 3】 【变式 1】(1)已知偶函数 求

f ( x) 的定义域是 R,当 x ? 0 时 f ( x) ? x 2 ? 3x ? 1 ,

f ( x) 的解析式.

(2)已知奇函数 g ( x ) 的定义域是 R,当 x ? 0 时 g ( x) ? 求 g ( x ) 的解析式.

x2 ? 2 x ? 1 ,

? x 2 ? 2 x ? 1( x ? 0) 2 ? x ? 3 x ? 1( x ? 0) ? ? 【答案】(1) f ( x) ? ? ;(2) g ( x) ? ?0    (x ? 0) 2 ? ? x ? 3x ? 1( x ? 0) ?? x 2 ? 2 x ? 1( x ? 0) ?
例 5. 定义域在区间[-2,2]上的偶函数 g ( x) ,当 x≥0 时,g ( x) 是单调递减的,若 g (1 ? m) ? g (m) 成立,求 m 的取值范围. 【思路点拨】根据定义域知 1-m,m∈[―1,2],但是 1―m,m 在[―2,0],[0,2]的哪个区间内尚 不明确,若展开讨论,将十分复杂,若注意到偶函数 f ( x ) 的性质: f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) ,可避免讨论. 【答案】 [ ?1, ) . 【解析】 由于 g ( x) 为偶函数,所以 g (1 ? m) ? g (m ? 1) , g (m) ? g (| m |) .因为 x≥0 时,g ( x) 是单调递减的,

1 2

6

? m 2 ? 2m ? 1 ? m 2 ?| m ? 1|?| m | ? ? 故 g (1 ? m) ? g ( m) ? g (| m ? 1|) ? g (| m |) ? ?| m ? 1|? 2 , 所 以 ??2 ? m ? 1 ? 2 , 解 得 ?| m |? 2 ??2 ? m ? 2 ? ? 1 ?1 ? m ?. 2 1 故 m 的取值范围是[ ?1, ) . 2
【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质,将 1―m,m 转化到同一单调区间上,避免了对由于 单调性不同导致 1―m 与 m 大小不明确的讨论,从而使解题过程得以优化.另外,需注意的是不要忘记定 义域. 类型三、函数奇偶性的综合问题 例 6. 已知 y ? f ( x) 是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,求函数 f (1 ? x 2 ) 的单调递增区间.

【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共 同决定,即“同增异减” 。 【答案】[0,1]和(―∞,―1] 【解析】 ∵ f ( x ) 是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,∴ f ( x ) 在(-∞,0]上是增函数.

设 u=1―x2 ,则函数 f (1 ? x 2 ) 是函数 f (u ) 与函数 u=1―x2 的复合函数. ∵当 0≤x≤1 时, u 是减函数, 且 u≥0, 而 u≥0 时,f (u ) 是减函数, 根据复合函数的性质, 可得 f (1 ? x 2 ) 是增函数. ∵当 x≤-1 时, u 是增函数, 且 u≤0, 而 u≤0 时,f (u ) 是增函数, 根据复合函数的性质, 可得 f (1 ? x 2 ) 是增函数. 同理可得当-1≤x≤0 或 x≥1 时, f (1 ? x 2 ) 是减函数. ∴所求的递增区间为[0,1]和(―∞,―1]. 【总结升华】 (1)函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类:一类是两个性质交融在一起(如本 例) ,此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性,从而得到其对称区间上的单调性;另一类是两个性质简 单组合,此时只需分别利用函数的这两个性质解题. (2)确定复合函数的单调性比较困难,也比较容易出错.确定 x 的取值范围时,必须考虑相应的 u 的取值范围.本例中,x≥1 时,u 仍是减函数,但此时 u≤0,不属于 f (u ) 的减区间,所以不能取 x≥1, 这是应当特别注意的. 例 7. 设 a 为实数,函数 f(x)=x +|x-a|+1,x∈R,试讨论 f(x)的奇偶性,并求 f(x)的最小值. 【思路点拨】对 a 进行讨论,把绝对值去掉,然后把 f(x)转化成二次函数求最值问题。 【答案】当 a=0 时,函数为偶函数;当 a≠0 时,函数为非奇非偶函数. 当 a ? - 时,f ( x) |min ?
2

1 2

3 1 3 1 1 - a; a ? 时,f ( x) |min ? ? a; - ? a ? 时,f ( x) |min ? a 2 ? 1 . 4 2 4 2 2

【解析】当 a=0 时,f(x)=x2 +|x|+1,此时函数为偶函数; 当 a≠0 时,f(x)=x2 +|x-a|+1,为非奇非偶函数.

7

(1)当 x ? a 时, f ( x ) ? ( x ?

1 2 3 ) ? -a 2 4 1 2 3 - a, 4

① a ? ? 时,函数f ( x)在 ? a, ? ? ? 上的最小值为f (- ) ?

1 2

1 ) ? f(a). 2 1 ② a ? ? 时,函数f ( x)在 ? a, ?? ? 上单调递增, 2
且 f(-

? f ( x)在?a, ??? 上的最小值为 f(a)=a2 +1.
(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x 2 - x ? a ? 1 ? ( x ? ) 2 ? a ? ①a ?

1 2

3 4

1 时,函数f ( x)在 ? -?, a ? 上单调递减, 2

? f ( x)在? -?,a? 上的最小值为 f (a) ? a2 ? 1
1 1 3 1 时,f ( x)在 ? -?,a ? 上的最小值为 f ( ) ? ? a,且f ( ) ? f (a). 2 2 4 2 1 3 1 3 综上: a ? - 时,f ( x) |min ? - a; a ? 时,f ( x) |min ? ? a; 2 4 2 4 1 1 - ? a ? 时,f ( x) |min ? a 2 ? 1 . 2 2
②a ? 举一反三: 【变式 1】 判断 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? a | (a ? R) 的奇偶性. 【答案】当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 既是奇函数,又是偶函数;当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 是奇函数. 【解析】对 a 进行分类讨论. 若 a ? 0 ,则 f ( x) ?| x | ? | x |? 0 .

x ? R ,?定义域 R 关于原点对称,? 函数 f ( x) 既是奇函数,又是偶函数.
当 a ? 0 时,

f (? x) ?| ? x ? a | ? | ? x ? a |?| x ? a | ? | x ? a |? ? f ( x) ,? f ( x) 是奇函数.

综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 既是奇函数,又是偶函数; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 是奇函数. 例 8. 对于函数 f ( x ) ,若存在 x0 ∈R,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称点(x0 ,x0)为函数 f ( x ) 的不动点.
2

(1)已知函数 f ( x) ? (ax ? bx ? b)(a ? 0) 有不动点(1,1) , (―3,―3) ,求 a,b 的值; (2)若对于任意的实数 b,函数 f ( x) ? (ax ? bx ? b)(a ? 0) 总有两个相异的不动点,求实数 a 的取
2

8

值范围; (3)若定义在实数集 R 上的奇函数 g ( x) 存在(有限)n 个不动点,求证:n 必为奇数. 【答案】 (1)a=1,b=3; (2) (0,1) ; (3)略. 【解析】 (1)由已知得 x=1 和 x=―3 是方程 ax2 +bx―b=x 的根,

b ?1 ? 1? 3 ? ? ? ? a 由违达定理 ? ?a=1,b=3. ? ?3 ? ? b ? a ?
(2)由已知得:ax +bx―b=x(a≠0)有两个不相等的实数根, ∴Δ 1 =(b-1) +4ab>0 对于任意的实数 b 恒成立. 即 b +(4a-2)b+1>0 对于任意的实数 b 恒成立. 也就是函数 f (b) ? b2 ? (4a ? 2)b ? 1 的图象与横轴无交点. 又二次函数 f (b) 的图象是开口向上的抛物线, 从而Δ 2 =(4a―2)2 ―4<0,即|4a―2|<2,∴0<a<1. ∴满足题意的实数 a 的取值范围为(0,1) . (3)∵ g ( x) 是 R 上的奇函数,∴ g (? x) ? ? g ( x) . 令 x=0,得 g (0) ? ? g (0) ,∴ g (0) ? 0 .∴(0,0)是 g ( x) 的一个不动点. 设(x0 ,x0 ) (x0 ≠0)是 g ( x) 的一个不动点,则 g ( x0 ) ? x0 . 又 g (? x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? x0 ,∴(―x0 ,―x0 )也是 g ( x) 的一个不动点. 又∵x0 ≠-x0 ,∴ g ( x) 的非零不动点是成对出现的. 又(0,0)也是 g ( x) 的一个不动点,∴若 g ( x) 存在 n 个不动点,则 n 必为奇数. 【总结升华】本例是一个信息迁移问题,解这类问题关键在于准确理解新定义,充分利用新定义分析 解决问题.本例的“不动点”实质是关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的问题.本例(3)的解决主要是结合奇 函数关于原点的对称性从而得到有关的结论.
2 2 2

9

【巩固练习】
1. 函数 f ( x ) ? x ?

1 ( x ? 0) 是( x

) B.偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 ) D. b ? 0, c ? R )

A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

2.若函数 y ? x 2 ? bx ? c 是偶函数,则有 ( A. b ? R, c ? R B. b ? R, c ? 0

C. b ? 0, c ? 0

3.设函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx ? 1,且 f (?1) ? 3, 则 f (1) 等于( A.-3 B.3 C.-5 D. 5

4.若偶函数 f ( x) 在 ?? ?,?1?上是增函数,则下列关系式中成立的是( A. f ( ? ) ? f ( ?1) ? f ( 2) C. f ( 2) ? f ( ?1) ? f ( ? )

)

3 2

3 2

3 2 3 D. f ( 2) ? f ( ? ) ? f ( ?1) 2
B. f ( ?1) ? f ( ? ) ? f ( 2) )

5.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x) 在区间 ?? 7,?3? 上是( A.增函数且最小值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 B.增函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5 )

6.设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,在 R 上一定是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.偶函数 D.非奇非偶函数. . .

7.设函数 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称,且 f (a) ? b ,则 f (?a) ? 8.如果函数 f ( x) ? x ?

2 ? a 为奇函数,那么 a = x

9.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2) ? 0 , f ( x ) 在 0,1 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递 减,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为 .

? ?

10.若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是____________. 11.函数 f ( x) 在 R 上为奇函数,且 f ( x) ?

x ? 1, x ? 0 ,则当 x ? 0 , f ( x) ? ____________.

10

2 ? ?? x ? x ? x ? 0 ? 12.已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? a ? a ? 0? , h ? x ? ? ? ,试判断 f ? x ? , h ? x ? 的奇偶 2 x ? x x ? 0 ? ? ? ?

性.

13.设函数 f ( x) 是偶函数,且在 ? ??,0? 上是增函数,判断 f ( x) 在 ? 0, ??? 上的单调性,并加以证明.

14.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足:对任意 x1, x2 ? 0, ??? ( x1 ? x2 ) ,有 试比较 f (?2), f (1), f (3) 的大小.

?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 成立, x2 ? x1

11

【巩固练习】
1.函数 f ( x) ? x2 ? | x | 的图象( ) C.关于 x 轴对称 D.不具有对称轴 )

A.关于原点对称 B.关于 y 轴对称

2.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? (m 2 ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

3.设函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx ? 1,且 f (?1) ? 3, 则 f (1) 等于( A.-3 B.3 C.-5 D. 5

4.如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x) 在区间 ?? 7,?3? 上是( A.增函数且最小值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 B.增函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5 )

)

5.设 f ( x) 是定义在 R 上的一个函数,则函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,在 R 上一定是( A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数.

6.定义在 R 上的偶函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在区间 [?1,0] 上为递增,则( A. f (3) ? f ( 2 ) ? f (2) C. f (3) ? f (2) ? f ( 2 ) B. f (2) ? f (3) ? f ( 2 ) D. f ( 2 ) ? f (2) ? f (3)

)

7. 若 f ( x) 是偶函数, 其定义域为 ?? ?,??? , 且在 ?0,??? 上是减函数, 则 f (? )与f (a ? 2a ?
2

3 2

5 )的 2

大小关系是(

)

3 5 2 2 2 3 5 2 C. f ( ? ) ? f (a ? 2a ? ) 2 2
A. f ( ? ) > f (a ? 2a ? )

3 5 2 2 2 3 5 2 D. f ( ? ) ? f ( a ? 2 a ? ) 2 2
B. f ( ? ) < f (a ? 2a ? )

8.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意 x1 , x2 ? R 有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) +1,则下列说法 一定正确的是( ) . B. f ( x ) 为偶函数 C. f ( x) ? 1 为奇函数 D. f ( x) ? 1 为偶函数

A. f ( x ) 为奇函数

2 9 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x ) , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x ? | x | ?1 , 那 么 x ? 0 时 ,

f ( x) ?
10.若函数 f ( x ) ?

.

x?a 在 ??1,1? 上是奇函数,则 f ( x ) 的解析式为 x ? bx ? 1
2

.

11 . 奇 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ 3, 7 ] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 [ 3, 6 ] 上 的 最 大 值 为 8 , 最 小 值 为 -1 , 则

2 f (? 6 ) ?f ? ( 3) ?

.
12

12. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 为偶函数, 其定义域为 a ?1,2a , 则 f ( x ) 的值域 13.判断下列函数的奇偶性,并加以证明.

?

?



(1) f ( x) ? x 1? | x | ;

? x ? 2, x ? ?1, ?1 ? (2) f ( x) ? ? , ?1 ? x ? 1 ?2 ? ?? x ? 2, x ? 1

14.已知奇函数 f ( x ) 在(-1,1)上是减函数,求满足 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的实数 m 的取值范围.

15. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对任意的 a, b ? R 都满足 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) . (1)求 f (0), f (1) 的值; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论.

16 .设奇函数 f ( x ) 是定义在 ? ??, ?? ? 上的增函数,若不等式 f (ax ? 6) ? f (2 ? x2 ) ? 0 对于任意

x ?? 2, 4? 都成立,求实数 a 的取值范围.

13


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