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江苏省张家港高级中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


2015~2016 学年第一学期期中考试 高 二 年级 数学 试卷

【注意】 1.本试卷满分 160 分,答题时间为 120 分钟。 2.答案写在答题卷上。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上. 1. 2. 直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ▲ . ▲ .

>
空间两条直线 a , b 都平行于平面 ? ,那么直线 a , b 的位置关系是

3. 过圆 x 2 ? y 2 ? 4 上一点 P 1,? 3 的切线方程为 4. 5.

?

?



. ▲ . ▲ . ▲ . .

如果方程 x 2 ? y 2 ? x ? y ? k ? 0 表示一个圆,则 k 的取值范围是

已 知直线 l : m x ? y ? 4 若直线 l 与直线 x ? m(m ? 1) y ? 2 垂直, 则 m 的值为

6. 已知正四棱柱的底面边长是 3,侧面的对角线长是 5,则这个正四棱柱的侧面积为 7. 8. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? r 2 与直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 相切,则圆 C 的半径 r ? 若一个球的表面积为 12? ,则该球的半径为 ▲ . ▲

9. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与连结 A(2,3), B(?3,2) 两点的线段 AB 相交,则实数 a 的取值范围是 10. 设 l , m 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的序号 (1)若 m // l, m // ?, 则l // ? ; (3)若 ? / / ? , l ? ? , m / / ? , 则l ? m ; (2)若 m ? ? , l ? m, 则l / /? ; (4)若 m ? ? , m / / ? , l ? ? , l / /? , 则? / / ? ▲ .



.

11. 若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A 、B 两点, 且两圆在点 A 处的切线 互相垂直,则线段 AB 的长度是 ▲ . ▲ .

12. 若关于 x 的方程: kx ? 1 ? 2x ? x2 ? 0 有两个不相等的实数解,则实数 k 的取值范围是

13. 已知三棱锥 P ? ABC 的所有棱长都相等,现沿 PA , PB , PC 三条侧棱剪开 ,将其表面展开成一个平面 图形,若这个平面图形外接圆的半径为 2 6 ,则三棱锥 P ? ABC 的体积为 14. ▲ .

一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体的表面上某一点 P 处出发,走遍正方体的每个面的中心的最短距离 那么 d 的最大值是 ▲ .

d ? f ( P)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内,否则答题无效. 解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1

15.(本题满分 14 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形, DE ⊥平面 ABCD . (1)求证: AB ∥ EF ; (2)求证:平面 BCF ⊥平面 CDEF .

16.(本题满分 14 分) 已知直线 m : 2 x ? y ? 3 ? 0, n : x ? y ? 3 ? 0 . (1)求过两直线 m, n 交点且与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 平行的直线方程; (2)直线 l 过两直线 m, n 交点且与 x, y 正半轴交于 A, B 两点,△ ABO 的面积为 4 ,求直线 l 的方程.

17. (本题满分 15 分)
2

已知圆 C : ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P (2, 2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A 、 B 两点.
2 2

(1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45 时,求弦 AB 的长.
?

18.(本题满分 15 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰 梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1 分别 是棱 AD,AA1 的中点. (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1∥平面 FCC1; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C; (3)求点 D 到平面 D1AC 的距离.

19. (本题满分 16 分)
3

已知圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1, 直线l1过点A(3, 且与圆 O 相切. 0), (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴交与 P, Q 两点,M 是圆 O 上异于 P, Q 的任意一点, 过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l 2 , 直线 PM 交直线 l 2 于点 P ,直线 QM 交直线 l 2 于点 Q' .求证:以 P 'Q' 为直径 的圆 C 总过定点,并 求出定点坐标.
'

20. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C 经过 A(0, 2), O(0,0), D(t ,0),(t ? 0) 三点, M 是线段 AD 上的动点,

l1 , l2 是过点 B(1, 0) 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交 y 轴于点 E , l2 交圆 C 于 P 、 Q 两点.
(1)若 t ? PQ ? 6 ,求直线 l2 的方程; (2)若 t 是使 AM ? 2 BM 恒成立的最小正整数,求三角形 EPQ 的面积的最小值.

4

班级 姓名 考试号 班级学号 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

2015~2016 学年第一学期期中考试 高 二 年级 数学 答题卷 注意事项 答题前请您务必将自己的姓名、考号填在指定位置.答题时请用黑色 0.5 毫米签字笔写在答题卷的指 定位置.在其它位置作答一律无效.如要作图,须用 2B 铅笔,并加黑加粗. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将正确答案填写在相应位置。 1. 4. 7. 10. 13. 2. 5. 8. 11. 14. 3. 6. 9. 12.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答卷纸指定 区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 ..... 程或演算步骤. 15.(本小题满分 14) 解:

5

16.(本小题满分 14) 解:

6

17.(本小题满分 15 分) 解:

7

18.(本小题满分 15 分) 解:

8

19.(本小题满分 16 分) 解:

9

20.(本小题满分 16 分) 解:

10

2015~2016 学年第一学期期中考试四校联考 高 二 年级 数学参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将正确答案填写在相应位置。 1.

? 3
8.

2. 平行、 相交或异面

3. x ? 3 y ? 4 ? 0 10. (3)

4. k ?

1 2
4

5.

0 或2
12.

6.

48
13.

7.

2

3

9. a ? ?2 或 a ? 1

11.

? 1 ? ? ,0? ? ? 2 ?

9

14. 5 ?

2 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答卷纸指定 区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 ..... 程或演算步骤. 15.证明: (1)因为四边形 ABCD 是矩形,所以 AB∥CD, 因为 AB ? 平面 CDEF, CD ? 平面 CDEF, 所以 AB∥平面 CDEF.……………………… 4 分 因为 AB ? 平面 ABFE,平面 ABFE ? 平面 CDEF ? EF , 所以 AB∥EF. (2)因为 DE⊥平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD, 所以 DE⊥BC. 因为 BC⊥CD, CD ? DE ? D , CD, DE ? 平面 CDEF, 所以 BC⊥平面 CDEF. 因为 BC ? 平面 BCF,平面 BCF⊥平面 CDEF. 16.解: (Ⅰ)由 ? ………………………… 12 分 …… …………………… 14 分 ………………………… 9 分 ………………………… 7 分

?2 x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 2 ,得 ? ,所以 m, n 的交点为(2,1) ……3 分 ?x ? y ? 3 ? 0 ?y ?1 1 又所求直线与 x ? 3 y ? 1 ? 0 平行,所以所求直线的斜率为 ? , ……5 分 3 1 1 5 所求直线方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 1 即 y ? ? x ? ……7 分 3 3 3
则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ? 1 ? kx ? 2k ? 1

(Ⅱ)方法一:由题可知,直线 l 的斜率 k 存在,且 k ? 0 .

2k ? 1 >0 k 1 2k ? 1 1 ? 4 ,解得 k ? ? 所以 S ?OAB ? (1 ? 2k ) ……13 分 2 k 2 1 1 所以 l 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ? 1 ? ? x ? 2 ……14 分 2 2 x y 方法二:由题可知,直线 l 的横、纵截距 a、b 存在,且 a>0、b>0,则 l : ? ? 1 a b
令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? 2k >0;令 y ? 0 ,得 x ?
11

又 l 过点(2,1) ,△ABO 的面积为 4

?2 1 ? ?1 ? ?a b 所以 ? , ? 1 ab ? 4 ? ?2 ?a ? 4 解得 ? , ?b ? 2 x y 1 所以 l 方程为 ? ? 1 即 y ? ? x ? 2 . 4 2 2
17.解: (1)已知圆

……10 分

……13 分 ……14 分

? x ? 1? C:

2

? y2 ? 9

的圆心为 C(1,0) ,因直线过点 P、C,所以直线 l 的斜率为

kl ?

2?0 ? 2, ………………………… 2 分 2 ?1 直线 l 的方程为 y=2(x-1),即 2x-y-2=0. …………………………5 分

(2)当弦 AB 被点 P 平分时, l ⊥PC, 所以 kl ? k pc ? ?1,…………………………7 分 又 k pc ?

2?0 1 ? 2 ,所以 kl ? ? , 2 ?1 2

1 y ? 2 ? ? ( x ? 2) 2 故直线 l 的方程为 , 即 x+2y-6=0 . …………………………10 分
(3)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,斜率为 1,直线 l 的方程为 y-2=x-2 ,即 x-y=0, 圆心 C 到直线 l 的距离为 d ?

1?1 ? ? ?1? ? 0 ? 0 12 ? 12
2

?

2 ,…………13 分 2
2

? 2? 圆的半径为 3,所以弦 AB 的长 AB ? 2 3 ? ? .…………15 分 ? 2 ? ? ? 34 ? ? 1 1 18.(1)? CD / / AB, CD ? AB, AF ? AB,? CD / / AF , CD ? AF 2 2 ? 四边形 AFCD 为平行四边形

? CF / / AD 又? AD ? 面 ADD1 A1 , CF ? 面 ADD1 A1 ? CF / / 面 ADD1 A1 …………2 分
CF ? 面 ADD1 A1 在直四棱柱中, CC1 / / DD1 , 又? AD ? 面 ADD1 A 1 ,

? CC1 / / 面 ADD1 A1 …………3 分
又?CC1 ? CF ? C, CC1 , CF ? 面 CC1F ? 面 CC1F //面 ADD1 A 1 又 EE1 ? 面 ADD1 A 1 ,? EE1 / / 面 CC1F …………5 分 (2)? BC ? CD ?

1 AB ? 2 ? 平行四边形 AFCD 是菱形 2
12

? DF ? AC ,易知 BC / / DF ? AC ? BC …………7 分
在直四棱柱中, CC1 ? 面 ABCD , AC ? 面 ABCD ? AC ? CC1 又 BC ? CC1 ? C ? AC ? 面 BCC1B1 …………9 分 又 AC ? 面 D1 AC ? 面 D1 AC ? 面 BCC1B1 …………10 分 (3)易知 VD?D1AC ? VD1 ? ADC …………11 分

? 设 D 到面 D1 AC 的距离为 d ,则
1 1 S? AD1C ? d ? S? ADC ? DD1 ,又 S? AD1C ? 15, S? ADC ? 3, DD1 ? 2 …………13 分 3 3

? d?

2 5 2 5 ,即 D 到面 D1 AC 的距离为 . …………15 分 5 5
2 2

19.解: (1)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C : x ? y ? 1相切, 设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 , …………………………2 分 则圆心 O (0, 0) 到直 线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . …… …………………5 分 4 4

(2)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) .又直线 l2 过点 A 且与 x 轴垂直,∴ 直线 l2 方程为 x ? 3 ,设 M (s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?

t ( x ? 1). s ?1

? x ? 3, 4t 2t ? 解方程组 ? ,得 P' (3, ). 同理可得, Q' (3, ). ……………… 11 分 t y ? ( x ? 1) s ?1 s ?1 ? s ?1 ?
∴以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 又 s 2 ? t 2 ? 1 ,∴整理得 ( x2 + y 2 - 6x + 1) +

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

6s - 2 y = 0 ,……………………… 14 分 t

若圆 C ? 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) . …………………………………………… 16 分 20.解: (1)由题意可知,圆 C 的直径为 AD,所以,圆 C 方程为: ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 10 .…1 分

13

设 l 2 方程为: y ? k ( x ? 1) ,则 当k

4 (2k ? 1) 2 ? 32 ? 10 ,解得 k1 ? 0 , k2 ? ,……3 分 2 1? k 3

? 0 时,直线 l1 与 y 轴无交点,不合,舍去.

所以, k

?

4 此时直线 l 2 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 3

……………………………5 分

(2)设 M ( x, y) ,由点 M 在线段 AD 上,得 由 AM≤2BM,得 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

x y ? ? 1,即 2 x ? ty ? 2t ? 0 . t 2
……………………………6 分

4 3

2 3

20 . 9

8 8 | ? t| 2 5 4 2 2 2 20 依 题 意 知 , 线 段 AD 与 圆 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 至多有一个公共点,故 3 3 ? ,解得 2 3 3 9 3 4?t

t?

16 ? 10 3 16 ? 10 3 或t ? . 11 11

……………………………8 分

因为 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数,所以,t=4. 所以,圆 C 方程为: ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 ……………………………9 分

①当直线 l 2 : x ? 1 时,直线 l1 的方程为 y ? 0 ,此时, S? EPQ ? 2 ………………11 分 ②当直线 l 2 的斜率存在时,设 l 2 的方程为: y ? k ( x ? 1) ( k

1 ?0) ,则 l1 的方程为: y ? ? ( x ? 1) , k

点 E (0,

1 1 ) .所以, BE ? 1 ? 2 k k
| k ? 1|



4k 2 ? 2k ? 4 又圆心C到 l 2 的距离为 ,所以, PQ ? 2 5 ? ( . ) ?2 1? k2 1? k2 1? k2
2

| k ? 1|

故 S? EPQ ?

1 1 1 4k 2 ? 2k ? 4 4k 2 ? 2k ? 4 4 2 15 .15 分 BE ? PQ ? 1? 2 ? 2 ? ? ? ?4 ? 2 2 2 2 2 k 1? k k k k 2

因为

15 15 ? 2 所以, ( S? EPQ )min ? . 2 2

…………………………16 分

14


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