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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲 等比数列及其前n项和


第3讲
一、选择题

等比数列及其前 n 项和
)

1.若数列{an}满足 an=qn(q>0,n∈N+),则以下命题正确的是(
? n?

?1? ①{a2n}是等比数列;②?a ?是等比数列;③{lg an}是等差数列;④{lg a2 n} 是

等差数列.

A.①③ C.①②③④ 解析 B.③④ D.②③④
? n?

?1? ∵an=qn(q>0,n∈N+),∴{an}是等比数列,因此{a2n},?a ?是等比

数列,{lg an}, 答案 C

{lg a2 n}是等差数列.

2. 已知各项均为正数的等比数列{an}中, a1a2a3=5, a7a8a9=10, 则 a4a5a6=( A.5 2 C.6 解析 =5 2. 答案 A B.7 D.4 2

)

∵{an}为等比数列, ∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=50, ∵an>0, ∴a4a5a6

3.已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(an+an+2)=5an+1,则数列{an} 的公比 q=( A.2 ). 1 B.2 1 C.2 或2 D.3

解析 ∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq, 化简得,2q2-5q+2=0,由题意知,q>1.∴q=2. 答案 A 4.在正项等比数列{an}中,Sn 是其前 n 项和.若 a1=1,a2a6=8,则 S8= ( A.8 C.15( 2-1) B.15( 2+1) D.15(1- 2) ).

解析

2 6 ∵a2a6=a2 4=8,∴a1q =8,∴q=

1-q8 2,∴S8= =15( 2+1). 1-q

答案 B
2 an +1 5. 若数列{an}满足 a2 =p(p 为正常数, n∈N+), 则称{an}为“等方比数列”. 甲: n

数列{an}

是等方比数列;乙:数列{an}是等比数列,则(

)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的充要条件 C.甲是乙的必要条件但不是充分条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析:乙?甲,但甲?/ 乙,如数列 2,2,-2,-2,-2,是等方比数列, 但不是等比数列. 答案:C 6.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,则 该数列有( A.13 项 C.11 项 解析 ) B.12 项 D.10 项

设前三项为 a1,a1q,a1q2,最后三项分别为 a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1.

3 3 3n-6 所以前三项之积 a3 =4.所以两式相乘,得 1q =2,最后三项之积 a1q 3(n-1) 2 n-1 a6 =8,即 a1 q =2.又 a1· a1q· a1q2· ?· a1qn-1=64,an 1q 1q n-1 n (a2 ) =642,即 2n=642.所以 n=12. 1q

n?n-1? 2 =64,即

答案

B

二、填空题 7.在等比数列{an}中,a1=1,公比 q=2,若 an=64,则 n 的值为________. 解析 因为 an=a1qn-1 且 a1=1,q=2,所以 64=26=1×2n-1,所以 n=7. 答案 7 8.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=________. 解析 答案 由 S3+3S2=0 得 4a1+4a2+a3=0, 有 4+4q+q2=0, 解得 q=-2.[来 -2

9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,且对任意的 n∈N+都有

an+2+an+1-2an=0,则 S5=________. 解析 由{an}为等比数列可知 an≠0,又∵an+2+an+1-2an=0,∴q2+q-2 1×[1-?-2?5] =11. 1-?-2?

=0,∴q=1(舍)或 q=-2.∴S5= 答案 11

10.等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn,给出下列四个命题:
??1? ? n?n-1? ①数列??2?an?为等比数列;②若 a2+a12=2,则 S13=13;③Sn=nan- 2 ?? ? ?

d;④若 d>0,则 Sn 一定有最大值. 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). ?1? ?2?an+1 ? ? ?1? ?1? 解析 对于①,注意到 1 =?2?an+1-an=?2?d 是一个非零常数,因此数列 ? ? ? ? ? ? ?2?an ? ?
??1? ? 13?a1+a13? 13?a2+a12? ?? ?an?是等比数列,①正确.对于②,S13= = =13,因 2 2 ??2? ?

此②正确.对于③,注意到 Sn=na1+

n?n-1? n?n-1? d = n [ a n-(n-1)d]+ 2 2 d=

n?n-1? n?n-1? nan- 2 d,因此③正确.对于④,Sn=na1+ 2 d,d>0 时,Sn 不存在 最大值,因此④不正确.综上所述,其中正确命题的序号是①②③. 答案 ①②③ 三、解答题 11.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2), 且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)证明 ∵an+Sn=n, ① ②

∴an+1+Sn+1=n+1, ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴ an+1-1 1 = . an-1 2

∵首项 c1=a1-1,又 a1+a1=1. 1 1 1 ∴a1=2,∴c1=-2,公比 q=2. 1 1 ∴{cn}是以-2为首项,公比为2的等比数列. (2)解 ? 1? ?1?n-1 ?1? ?2? =-?2?n, 由(1)可知 cn=?-2?· ? ?? ? ? ?

?1? ∴an=cn+1=1-?2?n. ? ? ?1? ? ?1? ? ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1=1-?2?n-?1-?2?n-1? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? =?2?n-1-?2?n=?2?n. ? ? ? ? ? ? 1 ?1? 又 b1=a1=2代入上式也符合,∴bn=?2?n. ? ? 12.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2, b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解 (1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+ aq2=3+q2,由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1. (2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a- 1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0, 1 代入(*)得 a=3. 13.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈ N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和, 求 Tn. 解 (1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,

∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且 n∈N*). ∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an(n>1,n∈N*),a2=3S1+1=3a1+1 =3t+1, ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1 +n, ∴Tn=c1+c2+?+cn=(40+1)+(41+2)+?+(4n-1+n) =(1+4+42+?+4n-1)+(1+2+3+?+n) 4n-1 ?1+n?n = 3 + 2 . 14. 已知定义域为 R 的二次函数 f(x)的最小值为 0 且有 f(1+x)=f(1-x), 直线 g(x) =4(x-1)被函数 f(x)的图像截得的弦长为 4 17,数列{an}满足 a1=2, (an+1-an)g(an)+f(an)=0(n∈N+). (1)求函数 f(x); (2)求数列{an}的通项公式;[来源: (3)设 bn=3f(an)-g(an+1),求数列{bn}的最值及相应的 n. 解 (1)依题意,设 f(x)=a(x-1)2(a>0),则直线 g(x)=4(x-1)与函数 y=f(x)

16? ?4 图像的两个交点为(1,0),?a+1, a ?,[来源 ? ? ∵ ?4?2 ?16?2 ?a? +? a ? =4 17,∴a=1,f(x)=(x-1)2. ? ? ? ?

(2)f(an)=(an-1)2,g(an)=4(an-1), ∵(an+1-an)· 4(an-1)+(an-1)2=0, ∴(an-1)(4an+1-3an-1)=0, ∵a1=2,∴an-1≠0,∴4an+1-3an-1=0, 3 ∴an+1-1=4(an-1),又 a1-1=1, 3 ∴ 数列{an-1}是首项为 1,公比为4的等比数列, ?3? ?3? ∴an-1=?4?n-1,an=?4?n-1+1. ? ? ? ? ??3? ? ?3? (3)bn=3(an-1)2-4(an+1-1)=3??4?n-1?2-4?4?n, ?? ? ? ? ?

?3? - 设 bn=y,u=?4?n 1, ? ? 1? 1? 1? 3 ?? u-2?2- ?=3? u-2?2- . ? 则 y=3?? ? 4? ? ? 4 ?? 3 9 27 9 1 ∵n∈N+,u 的值分别为 1,4,16,64,?,经比较16距2最近, 189 ∴当 n=3 时,bn 有最小值-256,当 n=1 时,bn 有最大值 0.


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