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上虞市2007学年第一学期初三数学竞赛试卷及参考答案(2008年1月11日下午1:303:30)


上虞市 2007 学年第一学期初三数学竞赛试卷 学年第一学期初三数学竞赛试卷 第一学期初三数学竞赛
(2008 年 1 月 11 日下午 1:30——3:30)

三 题 次 得 分 阅卷人 一 二 13 14 15 16 总 分

一.选择题:(每小题 5 分,共 30 分)
? xy + yz = 63 1、方程组 ? 的正整数解的组数是( ? xz + yz = 23
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4



?9 x ? a ≥ 0 2、如果不等式组 ? 的整数解仅为 1、2、3,那么适合这个不等式 ?8 x ? b < 0
组的整数 a、b 的有序实数对(a,b)共有( (A)17 个 (B) 64 个 (C)72 个 ) (D)81 个

3、如图,ABCD 是正五边形(各边相等,各角相等) ,AP、AQ 和 AR 是由 A 向 CD、CB 和 DE 或其延长线上所引的垂线段,设 O 是正五边形的中心,若 OP=1,则 AO+AQ+AR 等于( (A)3 (B)1+ 5 (C)4 (D)2+ 5 )

4、在直角坐标系中,已知两点 A(-8,3) 、B(-4,5)以及动点 C (0, n) 、 D (m, 0) ,则当四边形 ABCD 的周长最小时,比值 (A) ?

m 为( n



2 3

(B) ?

3 2

(C)-2

(D)-3

5、如图,正方形 ABCD 的边长为 1,E 为 AD 的中点,P 为 CE 的中点,F 为 BP 的中点,则 F 到 BD 的距离等于( (A) )

2 8

(B)

2 10

(C)

2 12

(D)

2 16

6、一个一次函数的图象与直线 y=

5 95 x+ 平行,且与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B,同时过 4 4


点(-1,-25) ,则在线段 AB 上(包括端点 A、B) ,横、纵坐标都是整数的点有( (A)4 个 (B)5 个 (C)6 个 (D)7 个

1

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)
7、 已知 2007= 2α1 + 2α 2 +…+ 2α n , 其中α1, 2, α …αn 为彼此互不相等的非负整数, 则α1+α2+… +αn= .

8、如图,在 RtΔABC 中,∠B=900,AB=4,BC=2,D 为 RtΔABC 内任 意一点, D 分别作三角形三边的平行线 EF、 过 MN、 PT, S 为ΔDPE、 设 ΔDMF 和ΔDNT 的面积之和,则 S 的最小值是 9、把(x2-x+1)6 展开后得 a12x12+a11x11+…+a2x2+a1x+a0, 则 a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0= . . .

10、正方形 ABCD 内一点到三顶点距离分别是 1、2、3,则正方形的面积等于 11、如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,顶角∠A=20 ,在 AB 边上取 D 点,
0

使得 AD=BC,则∠BDC 的度数等于



12、在凸四边形 ABCD 中,AD=DC=CB=x,AC=BD=AB=y,则 x∶y 的值 为 .

三.解答题(每小题 15 分,共 60 分)
13、已知:如图,矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 BA 边从 B 点开 始向点 A 以 2cm/s 的速度移动,点 Q 沿 CB 边从点 C 向点 B 以 1cm/s 的速度移动,如果 P,Q 同时出发, 用 t 表示移动的时间(0<t<6) ,那么: (1)当 t 为何值时,△QBP 为等腰直角三 角形?(2) 当 t 为何值时,以点 Q,B,P 为顶点的三角形与△ABC 相似?

2

14、二次三项式 x2-x-2n 能分解为两个整系数一次因式的乘积. (1)若 1≤n≤30,且 n 是整数,则这样的 n 有多少个? (2)当 n≤2008 时,求最大整数 n.

15、如图,一粒子在区域{(x,y)|x≥0,y≥0}内运动,在第 1 秒内它从原点运动到点 B1(0,1),接 着由点 B1 → C1 → A1 ,然后按图中箭头所示方向在 x 轴,y 轴及其平行线上运动,且每秒移 动 1 个单位长度,求该粒子从原点运动到点 P(16,44)时所需要的时间.

3

16、已知对于任意正整数 n,都有 a1+a2+…+an=(-1)nn2,



1 1 1 1 1 的值. ? + ? +L? a2 ?1 a3 + 1 a4 ?1 a5 +1 a 2007 + 1

学年初三数学竞赛试卷参考 试卷参考答案及评分意见 上虞市 2007 学年初三数学竞赛试卷参考答案及评分意见 一.选择题:(每小题 5 分,共 30 分)
1、B; 2、C; 3、C; 4、B; 5、D; 6、B;

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)
7、47; 8、

4 ; 3

9、365;

10、5+2 2 ;

11、300;

12、

5 ?1 . 2

三.解答题(每小题 15 分,共 60 分)
13、 (1)依题意有 BP=2t,QB=t,QB=6-t. 当 QB=BP 时,△QBP 为等腰直角三角形,即 6-t=2t,解得 t=2s. 分) (5 (2)根据题意,分情况来研究,若△QBP∽△ABC,
4

则=

QB BP 6 ? t 2t = , 所以 = ,解得 t=1.2s. AB BC 12 6 QB BP 6 ? t 2t = , 所以 = ,t=3. BC AB 6 12

当 t=1.2s 时,△QBP∽△ABC. (10 分) ②若△PBQ∽△ABC,则有

所以当 t=3s 时,△PBQ∽△ABC. (15 分)

14、(1)由题意可知,x2-x-2n=(x-

1 + 1 + 8n 1 ? 1 + 8n )(x ? ) , 分) (2 2 2

则应有:1+8n=9,25,49,81,121,169,225,289 ,…(4 分)即 n=1,3,6,10,15,21, 28,36,… (6 分)故当 1≤n≤30 时,满足条件的整数 n 有 7 个. 分) (8 (2)观察数列 1,3,6,10…,发现 1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,…(10 分) 故 n=1+2+3+…+k≤2008,所以

(1 + k )k (12 分) ≤ 2008 , 2

验证得:当 k=62 时,n 取最大值为 1953. (15 分)

15、设粒子从原点到达 An、Bn、Cn 所用的时间分别为 an、bn、cn, 则有 a1=3,a2=a1+1,a3=a1+12=a1+3×4×,a4=a3+1,a5=a3+20=a3+5×4,a6=a5+1…, a2n-1=a2n-3+(2n-1)×4,a2n=a2n-1+1, ∴a2n-1=a1+4[3+5+…(2n-1)]=4n2-1,a2n=a2n-1+1=4n2, 分) (3 ∴b2n-1=a2n-1-2(2n-1)=4n2-4n+1,b2n=a2n+2×2n=4n2+4n, 分) (6 c2n-1=b2n-1+(2n-1)=4n2-2n,c2n=a2n+2n=4n2+2n=(2n)2+2n, ∴c2n=n2+n. 分) (9 ∴粒子到达(16,44)所需时间是到达点 C44 所用的时间再加上 44-16=28(s)(12 分) .
2

∴t=44 +44+28=2008(s)(15 分) . (或分别计算出粒子到达 C1、C2、C3…时所用的时间也可以)

16、当 n 为偶数时,则 a1+a2+…+an=n2

(1) , (2)(5 分) ,

此时 n-1 为奇数,则 a1+a2+…+an-1= -(n-1)2

(1)-(2)得 an=n2+(n-1)2,即 an-1=2n(n-1) ; 当 n 为奇数时,同理可得 an=-2n(n-1)-1,an+1=-2n(n-1)(10 分) .

5



1 1 1 1 1 ? + ? +L? a 2 ? 1 a3 + 1 a 4 ? 1 a 5 + 1 a 2007 + 1

=

1 1 1 1 ( + +L+ ) (12 分) 2 1× 2 2 × 3 2006 × 2007 1 1 1 1 1 1 2006 1003 =( 1 ? + ? + L + ? )= × = . (15 分) 2 2 3 2006 2007 2 2007 2007

6


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