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河北省唐山一中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


高二下学期期末考试数学(理)试题
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一. 选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项 符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。 1.在复平面内,复数 A 第一象限

2 ? i3 对应的点位于( ) 1? i
B 第二象限 C 第三象限 D 第四象

限 )

2.设随机变量 ξ 服从正态分布 N (2,9) ,若 P (? ? c) = P (? ? c ? 2) ,则 c 的值是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.命题“ ?x ∈R, e x -x+1≥0”的否定是( A. ?x ∈R,lnx+x+1<0 C. ?x ∈R, e x -x+1>0 )

B. ?x ∈R, e x -x+1<0 D. ?x ∈R, e x -x+1≥0

4. 如果方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是( m ? 2 m ?1
B. (??,?2) ? (?1,??)
x ? ? 2 ( x ? 0)

) D. (?3,?2)

A. (?2,?1) 5. 已知函数 f ( x) ? ?

C. (?1,1)

? ? ? x ( x ? 0)

则 x ? 1 是 f ( x) ? 2 成立的 C .充要条件





A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

D .既不充分也不必要条件 )

6.已知 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 的最小值为 n, 则 ( x ? ) n 的展开式中常数项为( A. 20 B. 160 C. -160 D. -20

2 x

7.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 am ?1 ? am ?1 ? 2am (m ? 2) ,数列 ?an ? 的前 n 项积为 Tn ,若

T2 m ?1 ? 512 ,则 m 的值为(
A.4 B.5

) C.6 D.7

?y≤5 ? 8.若实数 x, y 满足不等式组?2x-y+3≤0,则 z=|x|+2 y 的最大值是( ? ?x+y-1≥0
A. 10 9.若函数 B. 11 C. 13 D. 14



1 f ( x) ? ? e ax (a>0, b>0) 的图象在 x ? 0 处的切线与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切, 则 a ? b 的最 b
) B. 2 2 C.2 D. 2

大值是( A.4

10.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) , 过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A, B 两点, 若线段 AB 的 中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为( ) A. x ? 1 B. x ? 2 C. x ? ?1 D. x ? ?2 11.四面体 ABCD 中,已知 AB=CD= 29,AC=BD= 34,AD=BC= 37,则四面体 ABCD 的外接球 的表面( ) A.25? B.45? C.50? D.100?

? x 2 -x,x ? [0,1) 12. 定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x +2)=2 f (x) ,当 x ? [0,2)时, f (x)= ? 若 |x-1.5| ?-(0.5) ,x ? [1,2)

x ? ?? 4,?2 ? 时, f ? x ? ?
A.[-2,0) (0,l)

t 1 ? 有解,则实数 t 的取值范围是 4 2t
[l,+∞) C.[-2,l] D.( -? ,-2] (0,l]

B.[-2,0)

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置。

(共 4 页,第 2 页)

三.解答题:大本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为 C2 : ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ,若曲 ? ? y ? sin ?

线 C1 与 C2 相交于 A 、 B 两点. (1)求 | AB | 的值; (2)求点 M (?1, 2) 到 A 、 B 两点的距离之积. 18. (本小题满分 12 分)已知等差列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, S3 ? 9 (1)求数列 {an } 的通项公式:

(2)若函数 f ( x) ? Asin(2 x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? ? ) 在 x ? 函数 f ( x) 的解析式。

?
6

处取得最大值,且最大值为 a2,求

19.(本小题满分 12 分)从天气网查询到衡水历史天气统计 (2011-01-01 到 2014-03-01)资料如下:

自 2011-01-01 到 2014-03-01,衡水共出现:多云 507 天,晴 356 天,雨 194 天,雪 36 天,阴 33 天,其它 2 天,合计天数为:1128 天。 本市朱先生在雨雪天的情况下,分别以

1 的概率乘公交或打出租的方式上班(每天一次,且交 2

通方式仅选一种) ,每天交通费用相应为 2 元或 40 元;在非雨雪天的情况下,他以 90%的概率 骑自行车上班,每天交通费用 0 元;另外以 10%的概率打出租上班,每天交通费用 20 元。 (以 频率代替概率,保留两位小数. 参考数据:

115 ? 0.20 ) 564

(1)求他某天打出租上班的概率; (2)将他每天上班所需的费用记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

20. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB ? 侧面 BB1C1C ,AB=BC=1,

? BB1=2,∠ BCC1= . 3 (1) 求证:C1B⊥平面 ABC;

→ (2)设 CE =? CC1 (0≤?≤1),且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角 的大小为 30° ,试求?的值.

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f (x)=

1 2x e -ax(a∈R,e 为自然对数的底数). 2
1 2x 2 + ?) (0, 上为增函数, 求整数 m 的 e +x +x 在区间 4

(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2) 若 a=1 , 函数 g(x)=(x-m)f(x)最大值.

参考答案

18. 解:(1)设等差数列的公差为 d,依题意知 ? 所以 a n ? 2n ? 1 。………5 分

a1 ? 1 ?s3 ? a1 ? 3d ? 9 ?

解得 d=2, ………3 分

(2)由(1)知,最大值 a 2 ? 3,所以 A=3,………7 分 因为在 x ?

?
6

处取得最大值,所以 2 ?

?
6

?? ?

?
2

? 2k? , k ? Z ,………9 分

又 0 ? ? ? ? , 所以 ? ?

?
6

。……… 10 分

所以函数的解析式为 f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

??

? 。……12 分 6?

19. 解:(Ⅰ)设 A 表示事件“雨雪天”, B 表示事件“非雨雪天”, C 表示事件“打出租上班”,

P?C ? ? P? AC ? ? P?BC ? ? P? A?P?C A? ? P?C B ? …………………………2 分
?
分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,2,20,40 ………………6 分

194 ? 36 1 ? 194 ? 36 ? ? ? ?1 ? ? ? 10% ? 0.20 ? 0.5 ? 0.8 ? 0.1 ? 0.18 ……4 1128 2 ? 1128 ?

? 194 ? 36 ? P ? X ? 0 ? ? ?1 ? ? ? 90% ? 0.8 ? 0.9 ? 0.72 1128 ? ?

P? X ? 2? ?

194 ? 36 1 ? ? 0.20 ? 0.5 ? 0.10 1128 2

? 194 ? 36 ? P? X ? 20 ? ? ?1 ? ? ? 10% ? 0.8 ? 0..1 ? 0.08 1128 ? ?

P? X ? 40 ? ?
X P

194 ? 36 1 ? ? 0.20 ? 0.5 ? 0.10 1128 2
0 0.72 2 0.10 20 0.08 40 0.10

…………10 分

∴ X 的分布列为

E ? X ? ? 0 ? 0.72 ? 2 ? 0.10 ? 20 ? 0.08 ? 40 ? 0.10 ? 5.80 (元)…………12 分
20.解: (1)因为 AB ? 侧面 BB1C1C , BC1 ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 , 在 ?BCC1 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
3

, 由余弦定理得:

BC12 ? BC 2 ? CC12 ? 2 BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ? 12 ? 22 ? 2 ? 1? 2 ? cos
所以 BC1 ? 3 , ……3 分 故 BC 2 ? BC12 ? CC12 ,所以 BC ? BC1 ,而 BC

?
3

? 3,

AB ? B,?C1 B ? 平面 ABC .……5 分

(2)由(1)可知, AB, BC , BC1 两两垂直.以 B 为原点, BC , BA, BC1 所在直线为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系.
则 B (0, 0, 0), A(0,1, 0), B1 ( ?1, 0, 3) , C (1, 0, 0) , C1 (0, 0, 3) . ……7 分 所以 CC1 ? (?1, 0, 3) ,所以 CE ? (?? , 0, 3? ) ,? E (1 ? ? , 0, 3? ) 则 AE ? (1 ? ? , ?1, 3? ), AB1 ? ( ?1, ?1, 3) . 设平面 AB1 E 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则由 ?

? ( ? ? ? 1-? ) x ? y ? 3? z ? 0 ? n ? AE ? n ? AE ? 0 ,得 ? ,即 ? , n ? AB n ? AB ? 0 ? ? ? x ? y ? 3 z ? 0 ? ? 1 ? 1 ?
3 ? 3? 3 3 ? 3? 3 ,y? ,? n ? ( , , 3) 是平面 AB1 E 的一个法 2?? 2?? 2?? 2??
……10 分

令 z ? 3 ,则 x ? 向量.

AB ? 侧面 BB1C1C , BA ? (0,1, 0) 是平面 BEB1 的一个法向量,

? cos? n, BA? ?

n ? BA n BA

? 1? (

3 ? 3? 2 3 2 ) ?( ) ? ( 3) 2 2?? 2??

3 2??

?

3 . 2

两边平方并化简得 2? 2 -5? +3=0 ,所以 ? =1 或 ? ? 21. 解: (1)直线 L: bx ? ay ? ab ? 0 ,

3 (舍去).…………12 分 2

由题意得: e ?

c 6 ab 3 ? , ? , a 3 2 a2 ? b2
x2 3

又有 a 2 ? b 2 ? c 2 ,——3 分

解得: a ? 3 , b ? 1,? 椭圆的方程为: ? y 2 ? 1 。 (2)若存在,则 EM ? EN ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则:

——5 分

EM ? EN ? ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? y1 y 2 ? 0 ,————6 分
? y ? kx ? 2 ? 联立 ? x 2 得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*)——————8 分 2 ? ? y ?1 ?3

?? ? 144k 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 ? k 2 ? 1 ? ?? 12k 9 , x1 x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ? ? y1 y 2 ? (kx1 ? 2)(kx 2 ? 2) ? k 2 x1 x 2 ? 2k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ?
代入(*)式,得:

——10 分

4 ? 3k 2 1 ? 3k 2

9 12k 4 ? 3k 2 7 ? ?1? ? 0, 即: 9 ? 12k ? 1 ? 3k 2 ? 4 ? 3k 2 ? 0,? k ? , 2 2 2 6 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k
满足 ? ? 0 —— 12 22. 解: (Ⅰ)定义域为 (??, ? ?) , f ' ( x) ? e
2x

?a,

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (??, ? ?) 上为增函数;………………2 分 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x?(

ln a ln a ,且当 x ? (??, ) 时, f ' ( x) ? 0 , 2 2

ln a , ? ?) 时 f ' ( x) ? 0 , 2 ln a ln a ) 为减函数,在 x ? ( , ? ?) 为增函数.……………6 分 2 2
1 2 1 2x e ? x 2 ? x ,若 g ( x) 在区间 (0, ? ?) 上为增函数, 4

所以 f ( x) 在 x ? (??,

(Ⅱ) 当 a ? 1 时,g ( x) ? ( x ? m)( e 2 x ? x) ? 则 g '( x) ? ( x ? m)(e 即m ?
2x

? 1) ? x ? 1 ? 0 在 (0, ? ?) 恒成立,
………………8 分

x ?1 ? x 在 (0, ? ?) 恒成立 e2 x ? 1

e 2 x (e 2 x ? 2 x ? 3) x ?1 令 h( x ) ? 2 x , x ? (0, ? x , x ? (0, ? ? ) ; h' ( x ) ? ? ?) ; (e 2 x ? 1) 2 e ?1
令 L( x) ? e
2x

1 ? 2 x ? 3 ,可知 L( ) ? e ? 4 ? 0 , L(1) ? e 2 ? 5 ? 0 , 2


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