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上海市2013届高三数学一模试卷静安高考补习班新王牌


第一学期期末考试试卷静安高考补习班新王牌
(考试时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(每题 4 分,共 56 分)
1、设复数 z (2 ? i) ? 11 ? 7i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 2、已知 ? ? (0, ? ) 且 tan(? ? ) ? ? 3 ,则 ? ? 4 3、过点 P(1, ?1) ,且与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程是
1 3

. . . . .

?

1 4、若集合 A ? { y y ? x , ?1 ≤ x ≤1}, B ? { y y ? 2 ? ,0 ? x ≤1} ,则 A ? B 等于 x
5、已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x2 ? 2 ( x ≤ 0) 的反函数,则 f ?1 (3) ?

1 6、 ( x2 ? )5 展开式中 x4 的系数是 x

.(用数字作答) .

开 始 A←3, N←1

7、执行框图,会打印出一列数,这个数列的第 3 项是 8、若圆锥的侧面展开图是半径为 1cm、圆心角为 180? 的 半圆,则这个圆锥的轴截面面积等于
? 1 ? ?n ?1 9、数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? ? 1 ? ? 3n (n ? 1, 2)

.

打印 A N← N ? 1 否


(n ? 2)

前 n 项和为 Sn ,则 lim Sn ?
n??

. 是 结束

N≤10

10、已知:条件 A:

2 x ? 0 ,条件 B: x ? a , 3 1 ? x2

A← A ? ( A ? 1)
第 7 题图

如果条件 A 是条件 B 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是

.

11、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,若 a 2 ? b2 ? 2c 2 ,则 cos C 的最小值等 于 . ??? ? ???? 3? 12、在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 后得向量 OQ ,则点 Q 的 4 坐标是 . 13、数列 {a n} 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ? 1 ,则 {a n} 的前 60 项和等于 .

14、已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2x ? 2 ,若同时满足条件:①对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成 立 ; 是 .
, ? 4) ? ) ② 存 在 x?( ? ? , 使 得 f ( x)? g ( x 0 立.则 m 的取值范围 成

1/4

二、选择题(每题 5 分,共 20 分)
15、设函数 f ( x) ? sin x , x ? R ,则下列结论错误的是………………………………………( A. f ( x) 的值域为 [0,1] C. f ( x) 不是周期函数 16、下面是关于复数 z ? B. f ( x) 是偶函数 D. f ( x) 不是单调函数 )

2 的四个命题: ?1 ? i
③ z 的共轭复数为 1 ? i ; ④ z 的虚部为 ?1 . )

① z ? 2 ; ② z 2 ? 2i ;

其中正确的命题……………………………………………………………………………( A.②③ B.①② C.②④ D.③④

17、等轴双曲线 C : x 2 ? y 2 ? a 2 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ,则 双曲线 C 的实轴长等于……………………………………………………………………( A. 2 B. 2 2 C.4 D.8 )

18、某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为……………………( A. )

3 5

B.

8 15

C.

2 5

D.

1 5

三、解答题(本大题共 74 分,解答下列各题需要必要的步骤)
19、 (本题 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 已知函数 f (x)=sin (2x+ )+sin(2x ? )+2cos2 x ? 1 , x ? R . 3 3 (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)当 x ?[ ?

?

?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域以及函数 f ( x) 的单调区 间. 4 4

20、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) (理科)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1 , E 为 CD 中点. (1)求证: B1 E ? AD1 ; (2)若 AB ? 2 ,求二面角 A ? B1 E ? A1 的大小.
2/4

A1 B1

D1

C1

A B E C

D

(文科)如图,四面体 ABCD 中, O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点, AO ? 平面 BCD ,
CA ? CB ? CD ? BD ? 2 .

(1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小.

A

D O B E C

21、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知数列 ?an ? ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? a3 ? ?????? ?an , B(n) ? a2 ? a3 ? a4 ? ?????? ?an ?1 ,
C (n) ? a3 ? a4 ? a5 ? ?????? ?an ? 2 , (n ? 1, 2,3,......) ,并且对于任意 n ? N ? ,恒有 an ? 0 成立.

(1)若 a1 ? 1, a2 ? 5 ,且对任意 n ? N ? ,三个数 A(n), B(n), C (n) 组成等差数列,求数列 ?an ? 的 通项公式; (2)证明:数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ? ,三个数
A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列.

22、 (本题 16 分,第(1)小题 4 分;第(2)小题 6 分;第(3)小题 6 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) .

1 (1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( ,1) 内的零点; 2 1 (2)设 n ≥ 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点; 2
3/4

(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ≤ 4 ,求 b 的取值范围.

23、 (本题 18 分,第(1)小题 6 分;第(2)小题 12 分) 如图,椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 a 2 b2

A, B 两点, ?ABF2 的周长为 8,且 ?AF1 F2 面积最大时, ?AF1 F2 为正三角形.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 试探究:① 以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系? ② 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出 M 的坐标;若不存在,说明理由. y A

F1 O B

F2 x

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