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选修1-1高二数学文科试题及其答案


高二数学文科练习(12)
一.选择题
1.有以下四个命题:①若 ③若 x ? y ,则 x ?

9.过点 P(0,1) 与抛物线 y 2 ? x 有且只有一个交点的直线有(
A.4 条 10.函数 f ( x) ? B.3 条 C.2 条 D.1 条



1 1 ? ,则 x ? y .②若 lg x 有意义,则 x ? 0 . x y
)

A. a ? 0

1 4 1 2 x ? ax , f (x) 的导函数 f ?(x) 在 R 上是增函数, 若 则实数 a 的取值范围是 ( 12 2 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0



y .④若 x ? y ,则 x2 ? y2 .则是真命题的序号为(
C.②③ )
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)
11. 曲线 y ?

A.①② B.①③ 2. “ x ? 0 ”是 “ x ? 0 ”是的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.若方程 C: x ?
2
?

D.③④ B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

x 在点(1,1)处的切线方程为___________ 2x ? 1
.
2

12.顶点在原点,对称轴为 x 轴且过点 (?4, 4) 的抛物线的标准方程是 13. AB 是过 C: y ? 4 x 焦点的弦,且 AB ? 10,则 AB 中点的横坐标是_____. 14.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? b 在 x ? 1 时取得极值,则实数 a ? _______.

y2 ? 1 ( a 是常数)则下列结论正确的是( a
?
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

A. ?a ? R ,方程 C 表示椭圆 C. ?a ? R ,方程 C 表示椭圆 4.抛物线: y ? x 的焦点坐标是(
2
?

B. ?a ? R ,方程 C 表示双曲线 D. ?a ? R ,方程 C 表示抛物线 ) C. ( ,0)

2 2 15. 已知一个动圆与圆 C: ( x ? 4) ? y ? 100 相内切,且过点 A(4,0) ,则这个动圆圆心的轨迹方程是

_______________
16.双曲线 4x +ty -4t=0 的虚轴长等于_____________ 17.有以下命题:
2 2

A. (0, ) 5.双曲线: x ?
2

1 2

B. (0, )

1 4

1 2

D. ( ,0)

1 4

①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②椭圆的离心率为 e ,则 e 越接近于 1,椭圆越圆; e 越接近于 0,椭圆越扁; ③ 不是奇函数的函数的图像不关于原点对称; ④ 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 ( a, b) ,若 f ( x ) 在定义域内有极大值,则 f ( x ) 在定义域内必有最大值. 其中,错误的命题是 .(写出所有你认为错误的命题的序号) .. 18. 已知椭圆 C:

y2 ? 1 的渐近线方程和离心率分别是( 4
B. y ? ?



A. y ? ?2 x; e ? 3 C. y ? ?

1 x; e ? 5 2

1 x; e ? 3 2

D. y ? ?2 x; e ? 5 ) D. y ? x ? e ) D. a ? 0 ) D.1

x2 y2 ? ? 1, (a ? 2) 上一点 P 到它的两个焦点 F1 (左), F2 (右)的距离的和是 6, a2 4

x 6.函数 f ( x) ? e ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是(

(1)求椭圆 C 的离心率的值. (2)若 PF2 ? x 轴,且 p 在 y 轴上的射影为点 Q ,求点 Q 的坐标. 19.设函数 f ( x) ? x ?
3

A. y ? 2e( x ? 1)
3

B. y ? ex ? 1

C. y ? e( x ? 1) (

7.函数 f ( x) ? ax ? x ? 1有极值的充要条件是 A. a ? 0 B. a ? 0
3

9 2 x ? 6x ? a . 2



C. a ? 0

(1)求函数 f (x ) 的单调区间. (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有三个实根,求实数 a 的取值范围.

8.函数 f ( x) ? 3x ? 4 x A.

( x ??0,1? 的最大值是( C.0

1 2

B. -1

19. .双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 右支上的弦 AB 过右焦点 F . (1)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 (2)是否存在以 AB 为直径的圆过原点 O?,若存在,求出直线 AB 的斜率 K 的值.若不存在,则说明理 由.

高二数学文科试题参考答案
一.ABBBD,CCDBA,CA
x2 y 2 二. 4;-2; 25 ? 9 ? 1 ;②③
三 17.(1) a ? 3 ---------2 分 21. 已 知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 区 间 [0,1] 上 是 增 函 数 , 在 区 间 (??,0), (1,??) 上 是 减 函 数 , 又 18.(1) x ? 3 是极小值点-----3 分

e?

4 5 ---------5 分 (2) Q (0,? ) -------10 分 3 3

?1,3? 是单调减区间-----6 分

1 3 f ?( ) ? . 2 2 (1)求 f (x) 的解析式. (2)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f (x) ≤x 成立,求 m 的取值范围.

(2)由图知 a ? 0 , f ' ( x) ? ax2 ? 4 x ? 3a 2

? ' ? f (1) ? 0 ? a ? 1 -------12 分 ? ' ? f (3) ? 0 ?
19.(1) x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 , x ? 2 )-------6 分 ( 注:没有 x ? 2 扣 1 分

(2)假设存在,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , l AB : y ? k ( x ? 2) 22. 已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,焦点为 F,一直线 l 与
2

抛物线交于 A、

由已知 OA ? OB 得: x1 x2 ? y1 y2 ? 0

B 两点,AB 的中点是 M( x0 , y0 )且 AF ? BF ? 8 ,AB 的 M 过定点 S(6, 0) (1)求抛物线方程; (2)求 ?ABF 面积的最大值.

(1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k 2 ( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? 0 --------垂直平分线恒



?x 2 ? y 2 ? 2 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 2 ? 0 ? ? y ? k ( x ? 2)
所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 2 , x1 x2 ? 2 (k ? 1) --------② k 2 ?1 k ?1
2

联立①②得: k ? 1 ? 0 无解 所以这样的圆不存在.-----------------------12 分

20.(1) ?? ?,1? 和 ?2,??? 是增区间; ?1,2? 是减区间--------6 分 (2)由(1)知 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

②若

5 ?a; 2

3? 3 3? 3 3? 3 1 ?m? , 有g (m) ? 0 综合得: ?m? 6 6 6 2 3? 3 3? 3 3 , 有g ( )? ? 0, 矛盾 6 6 18
综上: 0 ? m ?

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ;----------9 分 因为方程 f ( x) ? 0 仅有三个实根.所以 ? 解得: 2 ? a ?

③m ?

1 2

? f (1) ? 0 ? f (2) ? 0

22.(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB 中点 M ( x0 , y0 ) 由 AF ? BF ? 8 得 x1 ? x 2 ? p ? 8,? x0 ? 4 ? 又?

5 ------------------12 分 2 21. (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 , ?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2 ? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ? f ? ? ? ? ? ? ? a ? ?2 ,? f ( x) ? ?2x3 ? 3x2 .--------------6 分 ?2? 4 2 2 3 2 (2)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x ? 3x ? x ≤ 0 , 1 ? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤ 或 x ≥ 1 . 2 1 又 f ( x) ≤ x 在区间 ?0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤ --------12 分 2
另解:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ?2 x 3 ? 3x 2 ? x ? 0 在 ?0, m ? 上恒成立 即求在 ?0, m ? 上 ?g ( x)?max ? 0 满足的条件

p 2

? 2 p ? y1 ? 2 px1 2 2 得 y1 ? y 2 ? 2 p ( x1 ? x 2 ),? y 0 ? 2 k ? y 2 ? 2 px2 ?

p p 所以 M ( 4 ? , ) 依题意 2 k

p k ? k ? ?1 , ? p ? 4 p 4? ?6 2

抛物线方程为 y 2 ? 8x ------------------6 分 (2)由 M (2, y0 ) 及 k l ? 令 y ? 0 得 xK ? 2 ?
2

4 4 , l AB : y ? y 0 ? ( x ? 2) y0 y0

1 2 y0 4

又由 y ? 8x 和 l AB : y ? y 0 ?

4 2 ( x ? 2) 得: y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 16 ? 0 y0

g ' ( x) ? ?6x 2 ? 6x ? 1 ? 0 , x ?

3? 3 3? 3 或 6 6

? S ?ABF ?

?3? 3 3? 3? ? g ' ( x) ? 0 ? ? ? 6 , 6 ? 是单调增区间 ? ? ? ? 3? 3? ?3? 3 ?和? g ' ( x) ? 0 ? ? ? ?, ,?? ? 是单调减区间 ? ? 6 ? ? 6 ? ? ? ?
①若 0 ? m ?

1 1 1 2 2 2 ? KF ? y2 ? y1 ? ( y0 ) 4 y0 ? 4(2 y0 ? 16) 2 2 4 1 2 1 2 4 6 16 y0 ? y0 = y0 16 ? y 0 = 4 4
4 6 令 h( y0 ) ? 16y0 ? y0 , ( y0 ? 0)

3 5 3 h ' ( y0 ) ? 64 y0 ? 6 y0 ? 6 y0 (

32 2 ? y0 ) 3
所以 y0 ?

当 h ( y0 ) ? 0,0 ? y0 ?
'

32 3

? 3? 3 3? 3? , 则有?0, m? ? ? ? ?, ? ? 6 6 ? ?

当 h ( y0 ) ? 0, y0 ?
'

32 3

32 是极大值点,并且是唯一的 3

g ( x) max ? g (0) ? 0, 成立

所以 y0 ?

32 32 3 时, ( S ?ABF ) max ? -----------------12 分 9 3


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