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江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试 数学 PDF版


2014~2015?学年度第一学期期末考试? 高三数学试题?
(考试时间:120 分钟 总分:160 分)?
命题人:朱占奎 张 俊 吴春胜 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. (参考公式:?S =
2

1? 1? [( x1 - x ) 2 + ( x2? - x ) 2 + L + ( xn?

- x?) 2?]?,?x = ( x1 + x2? + L + x? n?)?) n n

一、填空题: (本大题共?14 小题,每小题?5 分,共?70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. )? 1.已知 A = {1,3, 4} ? ?, B = {3, 4,5} ? ?,则?A I?B = 2.函数? f ( x ) = sin(3 x + ▲? ▲? .? ▲? .? .?

p

) 的最小正周期为? 6?

3.复数 z?满足 i? z? = 3 + 4i ( i 是虚数单位) ,则 z =? 4.函数? f ( x ) =

2 x? - 4?的定义域为?

▲?

.? ▲? .? .?

5.执行如右图所示的流程图,则输出的 n 为? 6.若数据 2, x? , 2, 2?的方差为 0 ,则 x =? ▲?

7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球, 从中任取两个球, 则这两个球颜色相同的概率为? ▲? .? ▲? .?

8.等比数列 {a? 中,?a1 + 32a6? = 0?,?a3 a4 a5? = 1?,则数列的前 6 项和为? n?}?

ì x 2? + sin x, x?? 0? 9.已知函数? f ( x? 是奇函数,则 sin a =? )?= í 2? ? - x + cos( x + a ), x < 0?
10.双曲线?

▲?

.?

x?2 y?2? -? = 1?的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双曲线的 a?2? b?2?
▲? .? ▲? . (写出所有

离心率 e =?

11.若 a、b 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为? 真命题的序号)

①若直线 m ^ a ,则在平面 b 内,一定不存在与直线 m 平行的直线.
高三数学试卷第 1 页 共 4 页?

②若直线 m ^ a ,则在平面 b 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m ? a ,则在平面 b 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m ? a ,则在平面 b 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.? 12.已知实数?a, b,?c 满足?a 2 + b 2 = c 2?,?c ? 0?,则?

13.在梯形 ABCD 中,?AB = 2? DC ,?BC = 6?, P?为梯形 ABCD 所在平面上一点,且满足?

uuu r

uuur

uuu r

b? 的取值范围为? a - 2c ?

▲?

.?

uuu r uuu r uuu r? uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AP + BP + 4? DP = 0 , DA × CB = DA × DP , Q 为边?AD?上的一个动点,则? PQ? 的最小
值为? ▲? .?

14.在?DABC 中,角?A, B,?C?所对的边分别为?a, b,?c ,若?7a 2 + b 2 + c 2? = 4 3?,则?DABC 面 积的最大值为? ▲? . 二、解答题: (本大题共?6 小题,共?90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )? 15.(本题满分?14?分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 a 的终边经过点?P? (3, 4)?. (1)求 sin(a +

p
4

) 的值; uuu r uuur

(2)若 P?关于 x 轴的对称点为 Q ,求 OP × OQ 的值.?

16.(本题满分?14?分) 如图,在多面体?ABCDEF? 中,四边形 ABCD 是菱形,?AC ,?BD 相交于点 O ,?EF / /?AB ,?

AB = 2? EF ,平面 BCF ^ 平面?ABCD , BF = CF ,点 G?为 BC?的中点. (1)求证:直线?OG?/ /?平面 EFCD?; (2)求证:直线?AC ^ 平面 ODE?.? E

F?

D? O? A? B? G?

C?

高三数学试卷第 2 页

共4页

17.(本题满分?14?分) 如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角三 角形?DPRQ 构成,其中 O?为?PQ?的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道?

ABCD ,按实际需要,四边形 ABCD 的两个顶点 C、D?分别在线段 QR、PR?上,另外两
个顶点? A、B?在半圆上,? AB / /CD / /?PQ?,且? AB、CD?间的距离为 1km? .设四边形?

ABCD 的周长为 c? km?.
(1)若 C、D?分别为 QR、PR?的中点,求 AB?长; (2)求周长 c 的最大值.?
R? C? Q? B?

O?

D? A? P?

18.(本题满分?16?分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,离心率为?

2? x 2 y?2? 的椭圆?C?:? 2 + 2? = 1( a > b?> 0)?的左顶 2? a b

点为 A ,过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C?交于?P,?Q 两点,直线?PA,?QA 分别

与?y?轴交于?M ,?N?两点.若直线 PQ 斜率为?

2? 时,?PQ = 2 3?. 2?

(1)求椭圆 C?的标准方程; (2)试问以 MN?为直径的圆是否过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.?
y P? M? A? O? x?

Q? N?

高三数学试卷第 3 页

共 4 页?

19.( (本题满分?16?分) 数列 a? bn = an - 2a ? n?+1?,?cn = an +1 + 2an?+ 2? - 2?,?n ? N *?. n?} , b? n?} , c? n?} 满足:? (1)若数列 a? n?} 是等差数列,求证:数列 b? n?} 是等差数列; (2)若数列 b? n?} , c? n?} 都是等差数列,求证:数列 a? n?} 从第二项起为等差数列; (3)若数列 b? b1 + a3? = 0?时,数列 a? n?} 是等差数列,试判断当? n?} 是否成等差数列?证明你 的结论.?

{?

{?

{?

{?
{? {?

{?

{?

{?

{?

20.(本题满分?16?分) 已知函数? f ( x ) = ln?x?-

1? ,?g ( x )?= ax + b .? x

(1)若函数?h( x) = f ( x) - g ( x )?在 (0, +? ) 上单调递增,求实数 a 的取值范围;? (2)? 若直线?g ( x )?= ax + b 是函数? f ( x ) = ln?x?-

1? 图象的切线,求 a + b 的最小值;? x

2? (3)当?b = 0?时, 若? f ( x? )?与?g ( x? )?的图象有两个交点?A( x1 , y1 ), B( x2 , y? 求证:x ? 1 x? 2?)?, 2? > 2e .

(取 e 为 2.8 ,取 ln 2 为 0.7 ,取? 2?为 1.4 )

高三数学试卷第 4 页

共 4 页?

2014~2015 学年度第一学期期末考试 高三数学试题(附加题)?
21.( [选做题]请考生在?A、B、C、D?四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前 两题记分.? A. (本小题满分 10?分,几何证明选讲) 如图, EA 与圆 O 相切于点 A , D 是 EA 的中点,过点 D 引?eO?的割线,与圆 O 相交于点?

B,?C?,连结 EC?.
求证:??DEB = ?DCE .?

B. (本小题满分 10?分,矩阵与变换) 已 知 矩 阵? A = ê

é1 0?ù é1 2? ù -1 ? , ? , 若 矩 阵? AB 对 应 的 变 换 把 直 线?l? 变 为 直 线? B = ú ê ú ? 0 2? ? ? 0 1??

l ? : x + y - 2 = 0?,求直线 l 的方程.?
C. (本小题满分 10?分,坐标系与参数方程选讲) 己知在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 O 的参数方程为?í

ì x?= 2 cos?a ( a 为参数) . 以原点 O 为 ? y = 2sin?a

极点, 以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为?r (sin q - cos q ) = 1 , 直线 l 与圆 M? 相交于?A,?B 两点,求弦长 AB?的值.? D. (本小题满分?10 分,不等式选讲) 已知正实数?a, b,?c 满足?a + b + c = 3?,求证:?

b c a? + 2 + 2? ? 3?. 2 a b c
共 4 页?

高三数学试卷第 5 页

[必做题]第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.? 22.((本小题满分 10 分) 如图,在长方体?ABCD - A?B?C ?D? 中,?DA = DC = 2?,?DD ? = 1?,?A?C ? 与 B?D ? 相交于 点 O ? ,点 P?在线段 BD 上(点 P?与点 B?不重合) . (1)若异面直线 O ?P 与 BC ? 所成角的余弦值为?

55? ,求 DP 的长度?? 55?

(2)若?DP =

3 2 ,求平面 PA?C ? 与平面 DC ?B 所成角的正弦值.? 2?

23.((本小题满分 10 分)
r? 记?C? i? 为从 i?个不同的元素中取出?r? 个元素的所有组合的个数.随机变量 x 表示满足?

Ci?r? ?

1? 2? i 的二元数组 (r , i? )?中的 r?,其中 i ? {2,3, 4,5, 6, 7,8, 9} ? ,求 Ex . 2?

高三数学试卷第 6 页

共4页

?

泰州市 2015 届高三第一次模拟考试 数学参考答案
一、填空题 1. ?3, 4? ; 6. 2 ;

2? ; 3 1 7. ; 3
2. 12. [?

3. 4 ? 3i ; 8. ?

4. [2, ??) ; 9 . ?1 ;

5. 4 ; 10.

21 ; 4
13.

5 ; 3

11.②④; 二、解答题

3 3 , ] ; 3 3

5 ; 5

14.

4 2 3

15. 解: (1)∵角 ? 的终边经过点 P (3, 4) ,∴ sin ? ? ∴ sin(? ?

4 3 , cos ? ? ,……………4 分 5 5

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?

4 2 3 2 7 ? ? ? ? ? 2 .……………7 分 4 5 2 5 2 10

(2)∵ P (3, 4) 关于 x 轴的对称点为 Q ,∴ Q (3, ?4) .………………………………9 分 ∴ OP ? (3, 4), OQ ? (3, ?4) ,∴ OP ? OQ ? 3 ? 3 ? 4 ? ( ?4) ? ?7 .

??? ?

????

??? ? ????

……………14分

16.? 证明(1)∵四边形 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O ,∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点 ∴ OG / / CD , ………………3 分 又∵ OG ? 平面 EFCD , CD ? 平面 EFCD ,∴直线 OG / / 平面 EFCD .………7分 (2)∵ BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点, ∴ FG ? BC , ∵平面 BCF ? 平面 ABCD ,平面 BCF ? 平面 ABCD ? BC ,

FG ? 平面 BCF , FG ? BC

∴ FG ? 平面 ABCD ,

………………9 分

∵ AC ? 平面 ABCD ∴ FG ? AC , ∵ OG / / AB, OG ?

1 1 AB , EF / / AB, EF ? AB ,∴ OG / / EF , OG ? EF , 2 2
∴ FG / / EO , ………………11 分

∴四边形 EFGO 为平行四边形,

∵ FG ? AC , FG / / EO ,∴ AC ? EO , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? DO , ∵ AC ? EO , AC ? DO , EO ? DO ? O , EO、DO 在平面 ODE 内, ∴ AC ? 平面 ODE . ………………14分

?

1

?

17. (1)解:连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M 、N ,连结 OB ,

Q B C

1 ∵ C、D 分别为 QR、PR 的中点, PQ ? 2 ,∴ CD ? PQ ? 1 , 2 1 ? ?PRQ 为等腰直角三角形, PQ 为斜边,? RO ? PQ ? 1 , 2 1 1 1 NO ? RO ? .∵ MN ? 1 ,∴ MO ? .………………3 分 2 2 2
在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? ∴ AB ? 2 BM ? (2) 解法1

R

N

M O

D A P

BO 2 ? OM 2 ?

3 , 2
……………6 分

3.
设 ?BOM ? ? , 0 ? ? ?

?
2



在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? sin ? , OM ? cos ? . ∵ MN ? 1 ,∴ CN ? RN ? 1 ? ON ? OM ? cos ? , ∴ BC ? AD ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) ,……………………………………………………8 分
2

∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(sin ? ? cos ? ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) ) ………………10 分
2

(当 ? ? ? 2 2 (sin ? ? cos ? ) 2 ? ( 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ) 2 ? 2 6 , ∴当 ? ? 解法2

?
12



?
12

或? ?

5? 时,周长 c 的最大值为 2 6 km . 12

5? 时取等号) 12

…………………14 分

以 O 为原点, PQ 为 y 轴建立平面直角坐标系.
2 2

设 B ( m, n) , m, n ? 0 , m ? n ? 1 , C ( m ? 1, m) , ∴ AB ? 2n , CD ? 2m , BC ? AD ? 1 ? ( m ? n) .……………………………8 分
2

∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2( m ? n ? 1 ? ( m ? n) )
2

………………………10 分

? 2 2 ( m ? n) 2 ? ( 1 ? ( m ? n ) 2 ) 2 ? 2 6 ,
(当 m ?

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时取等号) 4 4 4 4

?

2

?

∴当 m ?

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时,周长 c 的最大值 4 4 4 4
……………14分

为 2 6 km . 18.? 解: (1)设 P ( x0 ,

2 x0 ) ,? ? 2

∵直线 PQ 斜率为

2 2 2 x0 ) 2 ? 3 ,∴ x0 2 ? 2 …………3分 时, PQ ? 2 3 ,∴ x0 ? ( 2 2



2 1 c a 2 ? b2 2 2 2 ? ? ? e ,∵ ,∴ a ? 4, b ? 2 . 1 ? ? 2 2 a a 2 a b
x2 y2 ? ? 1 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………6分? 4 2

∴椭圆 C 的标准方程为

(2)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2, 0) .? 设 P ( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且
2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 2 y0 ? 4 ,? 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ) , ( x ? 2) ,∴ M (0, x0 ? 2 x0 ? 2
………………9分

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ), ( x ? 2) ,∴ N (0, x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

2 y0 2 y0 )( y ? ) ? 0? x0 ? 2 x0 ? 2

即x ? y ?
2 2

4 x0 y0 4 y0 2 y ? ? 0 ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………12 分 x0 2 ? 4 x0 2 ? 4 2 x0 y ? 2 ? 0 ,? y0

? ∵ x0 ? 4 ? ?2 y0 ,∴ x ? y ?
2 2 2 2 2 2

令 y ? 0 , x ? y ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 ,?
? 3

?

∴以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2, 0) .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………16 分

19.证明: (1)设数列 an ? 的公差为 d , ∵ bn ? an ? 2an ?1 , ∴ bn ?1 ? bn ? (an ?1 ? 2an ? 2 ) ? (an ? 2an ?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? 2( an ? 2 ? an ?1 ) ? d ? 2d ? ? d , ∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列. (2)当 n ? 2 时, cn ?1 ? an ? 2an ?1 ? 2 , ∵ bn ? an ? 2an ?1 ,∴ an ?

?

?

………………4分

bn ? cn ?1 b ?c ? 1 ,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2 b ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ∴ an ?1 ? an ? n ?1 ? ? ? , 2 2 2 2 b ? bn cn ? cn ?1 ∵数列 ?bn ? , ?cn ? 都是等差数列,∴ n ?1 ? 为常数, 2 2

∴数列 an ? 从第二项起为等差数列. (3)数列 an ? 成等差数列. 解法1 设数列 bn ? 的公差为 d ? ,

?

………………10分

?

?

∵ bn ? an ? 2an ?1 , ∴ 2 bn ? 2 an ? 2
n n n ?1

an ?1 ,∴ 2n ?1 bn ?1 ? 2n ?1 an ?1 ? 2n an ,…, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 ,

∴ 2 bn ? 2
n

n ?1

bn ?1 ? ? ? 2b1 ? 2a1 ? 2n ?1 an ?1 ,
2

设 Tn ? 2b1 ? 2 b2 ? ? 2

n ?1

bn ?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ? ? 2n bn ?1 ? 2n ?1 bn ,
2

两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (2 ? ? ? 2 即 Tn ? ?2b1 ? 4(2 ∴2
n ?1 n ?1

n ?1

? 2n )d ? ? 2n ?1 bn ,

? 1)d ? ? 2n ?1 bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n ?1 ? 1)d ? ? 2n ?1 bn ? 2a1 ? 2n ?1 an ?1 ,

an ?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n ?1 ? 1)d ? ? 2n ?1 bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n ?1 (bn ? d ?) ,
4

?

?

∴ an ?1 ?

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ………………12分 ? (bn ? d ?) , 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 ? b1 , ? (b2 ? d ?) ? 1 3 2 23 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 , 23

∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴

∴ an ?1 ? ?(bn ? d ?) ,∴ an ? 2 ? an ?1 ? ?(bn ?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ?d ? , ∴数列 an ? ( n ? 2 )是公差为 ? d ? 的等差数列,

? ?

………………14分

∵ bn ? an ? 2an ?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ? a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴数列 an ? 是公差为 ? d ? 的等差数列. 解法 2 ∵ bn ? an ? 2an ?1 , b1 ? a3 ? 0 , ………………12分 ………………16分

令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ? a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴ bn ?1 ? an ?1 ? 2an ? 2 , bn ? 2 ? an ? 2 ? 2an ?3 , ∴ 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ? (2an ?1 ? an ? an ? 2 ) ? 2(2an ? 2 ? an ?1 ? an ?3 ) , ∵数列 bn ? 是等差数列,∴ 2bn ?1 ? bn ? bn ? 2 ? 0 , ∴ 2an ?1 ? an ? an ? 2 ? 2(2an ? 2 ? an ?1 ? an ?3 ) , ∵ a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2an ?1 ? an ? an ? 2 ? 0 , ∴数列 an ? 是等差数列. 20.? 解: (1) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

?

………………14分

?

………………16分

1 1 1 ? ax ? b ,则 h?( x) ? ? 2 ? a ,? x x x 1 1 ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x) ? ? 2 ? a ? 0 , x x 1 1 1 1 即对 ?x ? 0 ,都有 a ? ? 2 ,∵ ? 2 ? 0 ,∴ a ? 0 ,? x x x x
故实数 a 的取值范围是 (??, 0] . ………………4 分?

?

5

?

(2)? 设切点 ( x0 , ln x0 ?

1 1 1 1 ) ,则切线方程为 y ? (ln x0 ? ) ? ( ? 2 )( x ? x0 ) ,? x0 x0 x0 x0

即y?(

1 1 1 1 1 1 1 2 ? 2 ) x ? ( ? 2 ) x0 ? (ln x0 ? ) ,亦即 y ? ( ? 2 ) x ? (ln x0 ? ? 1) ,? x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0



1 1 1 2 ? t ? 0 ,由题意得 a ? ? 2 ? t ? t 2 , b ? ln x0 ? ? 1 ? ? ln t ? 2t ? 1 ,……7分? x0 x0 x0 x0
2

令 a ? b ? ? (t ) ? ? ln t ? t ? t ? 1 ,则 ? ?(t ) ? ? ? 2t ? 1 ? 当 t ? (0,1) 时? , ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (0,1) 上单调递减;? 当 t ? (1, ??) 时, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 在 (1, ??) 上单调递增,

1 t

(2t ? 1)(t ? 1) ,? t

∴ a ? b ? ? (t ) ? ? (1) ? ?1 ,故 a ? b 的最小值为 ?1 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………10分? (3)由题意知 ln x1 ?

1 1 ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 ,? x1 x2

两式相加得 ln x1 x2 ?

x1 ? x2 x x ?x ? a( x1 ? x2 ) ,两式相减得 ln 2 ? 1 2 ? a ( x2 ? x1 ) ,? x1 x1 x2 x1 x2

x2 x ln 2 x1 x ?x x1 1 1 即 ? )( x1 ? x2 ) ,? ? ? a ,∴ ln x1 x2 ? 1 2 ? ( x2 ? x1 x1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2

ln

即 ln x1 x2 ?

2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln , x1 x2 x2 ? x1 x1

? ? ? ? …………12分?

不妨令 0 ? x1 ? x2 ,记 t ? ∴ F (t ) ? ln t ? ∴ ln t ?

x2 2(t ? 1) (t ? 1) 2 (t ? 1) ,则 F ?(t ) ? ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? ? ?0, t (t ? 1) t ?1 x1

2(t ? 1) 2(t ? 1) 在 (1, ??) 上单调递增,则 F (t ) ? ln t ? ? F (1) ? 0 ,? t ?1 t ?1

x 2( x2 ? x1 ) 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 2(t ? 1) ln ? 2 ,? ,则 ln 2 ? ,∴ ln x1 x2 ? ? t ?1 x1 x2 x2 ? x1 x1 x1 x1 ? x2

?

6

?

又 ln x1 x2 ?

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ,? ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4 2 ? 1 ,? ? 2 ,即 ln x1 x2 ? x1 x2 x1 x2 2 1 2 ,则 x ? 0 时, G ?( x ) ? ? 2 ? 0 ,∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,? x x x

∴ 2 ln

x1 x2 ?

令 G ( x ) ? ln x ? 又 ln 2e ?

2 1 2 ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 , e 2e 2 x1 x2 ? 2 2 2 ? 1 ? ln 2e ? ,则 x1 x2 ? 2e ,即 x1 x2 ? 2e . x1 x2 2e
………………16分?

∴ G ( x1 x2 ) ? ln

附加题参考答案
21.A.证明:∵ EA 与 ?O 相切于点 A .由切割线定理: DA ? DB ? DC .?
2

∵ D 是 EA 的中点,∴ DA ? DE .∴ DE ? DB ? DC ? .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………5分?
2



DE DB ? .∵ ?EDB ? ?CDE ? ∴ ?EDB ? ?CDE ∴ ?DEB ? ?DCE ……10分 DC DE ?1 2 ? ?1 ?2 ? ?1 ,∴ B ? ? ? ? ,? ?0 1 ? ?0 1 ?

21.B.解:∵ B ? ?

∴ AB

?1

? 1 0 ? ? 1 ?2 ? ? 1 ?2 ? ?? ?? ??? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………5分? ?0 2 ? ?0 1 ? ?0 2 ?
?1

设直线 l 上任意一点 ( x, y ) 在矩阵 AB 对应的变换下为点 ( x?, y?) ?

? 1 ?2 ? ? x ? ? x ? ? ? x? ? x ? 2 y ,∴ . ? ? ? ? ? ?? ? ? 0 2 ? ? y ? ? y?? ? y? ? 2 y
代入 l ? , l ? : ( x ? 2 y ) ? (2 y ) ? 2 ? 0 ,化简后得: l : x ? 2 .
2 2

………………10分

21.C.解:圆 O : x ? y ? 4 ,直线 l : x ? y ? 1 ? 0 ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………5 分?

?

7

?

圆心 O 到直线 l 的距离 d ?

1 2 2 2 2 ? ,弦长 AB ? 2 2 ? ( ) ? 14 .………10分 2 2 2

21.D. 证明:∵正实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 3 , ∴ 3 ? a ? b ? c ? 3 3 abc ,∴ abc ? 1 , ∴ ………………5 分 ………………10分

b c a b c a 1 ? 2 ? 2 ? 33 2 ? 2 ? 2 ? 33 ? 3. 2 a b c a b c abc

22.? 解: (1)以 DA, DC , DD? 为一组正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 由题意,知 D (0, 0, 0) , A?(2, 0,1) ,

??? ? ???? ???? ?

B(2, 2, 0) , C ?(0, 2,1) , O?(1,1,1) .设 P (t , t , 0) ,
∴ O?P ? (t ? 1, t ? 1, ?1) , BC ? ? ( ?2, 0,1) . 设异面直线 O?P 与 BC ? 所成角为 ? ,

????

???? ?

???? ???? ? O?P ? BC ? ?2(t ? 1) ? 1 55 则 cos ? ? ???? ???? , ? ? ? 55 O?P ? BC ? 2(t ? 1) 2 ? 1 ? 5
2

化简得: 21t ? 20t ? 4 ? 0 ,解得: t ?

2 2 或t ? , 3 7
………………5 分

DP ?

2 2 2 或 DP ? 2. 3 7

3 2 3 3 ,∴ P ( , , 0) , 2 2 2 ???? ? ??? ? ???? 1 3 ???? ? 3 1 DC ? ? (0, 2,1) , DB ? (2, 2, 0) , PA? ? ( , ? ,1) , PC ? ? (? , ,1) , 2 2 2 2 ?? 设平面 DC ?B 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
(2)∵ DP ?

?? ???? ? ?? ? ? 2 y1 ? z1 ? 0 ? z1 ? ?2 y1 ?n1 ? DC ? ? 0 ,取 y1 ? ?1 , n1 ? (1, ?1, 2) , ∴ ? ?? ??? ,∴ ? ,即 ? ? ? x1 ? ? y1 ?2 x1 ? 2 y1 ? 0 ? ? n1 ? DB ? 0 ?? ? 设平面 PA?C ? 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

?

8

?

3 ? 1 ?? ? ???? x2 ? y2 ? z2 ? 0 ?? ? ? ? ? ? z 2 ? y2 ? n2 ? PA ? 0 ? 2 2 ∴ ? ?? ,∴ ? ,即 ? ,取 y2 ? 1 , n2 ? (1,1,1) , ? ???? ? ? x2 ? y2 ? ?? 3 x ? 1 y ? z ? 0 ?n2 ? PC ? ? 0 2 2 2 ? 2 ? 2
设平面 PA?C ? 与平面 DC ?B 所成角为 ? ,

?? ?? ? n1 ? n2 2 2 ∴ cos ? ? ?? ?? , ? ? ? 3 6? 3 n1 ? n2
∴ sin ? ?

7 . 3
r

………………10分

23.解:∵? Ci ? 当 i ? 2 时,?

1 2 i ,? 2

1 2 1 2 i (i ? 1) 1 2 52 3 1 i ?1 2 i ?2 C ? C ? 1 ? i , Ci ? Ci ? i ? i , Ci ? Ci ? ? i , C5 ? ,? 2 2 2 2 2
0 i

i i

1 2 i 的解为 r ? 0,1,? , i . ………………3 分? 2 i ?1 r ?1 r 当 6 ? i ? 10, i ? N * ,? Ci ? Ci ? r ? ,? 2 i (i ? 1)(i ? 2) 1 2 3 由 Ci ? ? i ? i ? 3, 4,5 可知:? 6 2 1 2 r 当 r ? 0,1, 2, i ? 2, i ? 1, i 时, Ci ? i 成立,? 2 1 1 2 r 3 2 r 当 r ? 3,? , i ? 3 时, Ci ? Ci ? i (等号不同时成立) ,即 Ci ? i .……………6 分? 2 2
∴当 2 ? i ? 5, i ? N * 时, Ci ?
r

?
P (? )





















10

3 16

3 16

3 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 24

1 48

…………………………………………8 分? ∴ E? ? (0 ? 1 ? 2) ?

1 77 3 1 1 ? (3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? ? 9 ? ? 10 ? ? .? 16 16 24 48 24
? ? ………………………………………10 分?

?
? 9


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