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2015高三理科第一轮复习《椭圆》作业2


2015 高三理科第一轮复习《椭圆》作业 2
号数: x2 y2 1、直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 A、相交 B、相切 C、相离 D、不确定 班级: 姓名: 成绩: )

2、椭圆的焦点为 F1,F2,过 F1 的最短弦 PQ 的长为 10,△PF2Q 的周长为 36, 则此椭圆的离心率为( ) A、 3 3 B、

1 3 C、 2 3 D、 6 3

x2 y2 1 3、设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个实根 a b 2 分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2) ( ) A、必在圆 x2+y2=2 内 C、必在圆 x2+y2=2 外
2 2

B、必在圆 x2+y2=2 上 D、以上三种情形都有可能

x y 4、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴, a b → → 直线 AB 交 y 轴于点 P,若AP=2PB,则椭圆的离心率是( A、 3 2 B、 2 2 1 C、 3 D、 1 2 ) )

5、 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1, 则椭圆长轴的最小值为 ( A、1 B、 2
2 2

C、2

D、2 2

x y 6、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),以 O 为圆心,短半轴长为半径作圆 O, a b 过椭圆的长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A、B, 若四边形 PAOB 为正方形,则椭圆的离心率为________. 7、椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M、N 两点,原点 O 与线段 MN 的中点 P 连线的斜率 为 m 2 ,则 n 的值是________. 2

x2 8、过椭圆 +y2=1 的左焦点 F 作斜率为 k(k≠0)的直线交椭圆于 A,B 两点, 2 使得 AB 的中点 M 在直线 x+2y=0 上,则 k 的值为________. x2 y2 9、已知点 M(-5,0),N(0,5),P 为椭圆 + =1 上一动点,则 S△MNP 的最小值为_____ 6 3 10、椭圆 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2 的大小为________. 9 2

x2 y2

1

x2 y2 11、椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x+y=1 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,其中 O 为坐标原点. a b 1 1 3 2 (1)求 2+ 2的值; (2)若椭圆的离心率 e 满足 ≤e≤ ,求椭圆长轴的取值范围. a b 3 2

x2 y2 2 12、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,且椭圆 C 上 a b 3 的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O: x2+y2=1 相交于不同的两点 A,B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应 的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由.

2

2015 高三理科第一轮复习《椭圆》作业 2
1、A 解析 ∵直线方程可化为 y-1=k(x-1),恒过(1,1)定点,而(1,1)在椭圆内部. b2 2、C 解析:PQ 为过 F1 垂直于 x 轴的弦,则 Q(-c, ),△PF2Q 的 a 2 2 2 a -c b 周长为 36. ∴4a=36,a=9. 由已知 a =5,即 a =5. c 2 2 又 a=9,解得 c=6,解得 = ,即 e= . a 3 3 c 1 a b c 3、A 解析:由已知得 e=a= ,c= ,x1+x2=-a,x1x2=-a, 2 2 2 2 2 b2 2c b +2ca b +a 2a2 2 2 x2 = 2 < 2 =2, 2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2= 2+ = a a a a a 2 2 因此点 P(x1,x2)必在圆 x +y =2 内. b2 AP a 4、D 解析:由题意知:F(-c,0),A(a,0),B(-c,± ),∵BF⊥x 轴,∴ = . a PB c → → a c 1 又∵AP=2PB,∴ c=2 即 e=a= . 2 x2 y2 5、D 解析:设椭圆 2+ 2=1(a>b>0),则使三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆 a b b2+c2 a2 1 短轴端点,∴S= ×2c×b=bc=1≤ = . ∴a2≥2.∴a≥ 2,∴长轴长 2a≥2 2. 2 2 2 6、解析:如图,因为四边形 PAOB 为正方形,且 PA、PB 为圆 O 的切线,所以△OAP 是等腰 c 2 直角三角形,故 a= 2b.所以 e=a= . 2 ?y=1-x, ? 7、解析 由? 2 消去 y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0. 2 ?mx +ny =1 ? n m m 2 则 MN 的中点 P 的坐标为( , ).∴kOP= = . n 2 m+n m+n x2 2 8、解析 由椭圆方程 +y =1 知,a= 2,b=1,c=1,则点 F 的坐标为(-1,0). 2 ∴直线 AB 的方程为 y=k(x+1),将其代入椭圆方程,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0. ① x1+x2 2k2 k 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则 x0= =- 2 ,y0=k(x0+1)= 2 . 2 2k +1 2k +1 由点 M 在直线 x+2y=0 上,得-2k2+2k=0. ∵k≠0,∴k=1. x2 y2 9、解析 ∵直线 MN 的斜率为 1,∴设直线 y=x+m 为椭圆 + =1 的一切线. 6 3 y=x+m, ? ? 2 2 ∴联立?x y 即 3x2+4mx+2m2-6=0. ∴Δ=0,∴m=± 3.∴m=3 时,S△MNP 最小. + = 1 , ? ?6 3 |5-3| 1 又 y=x+3 与 y=x+5 两平行线间的距离为 = 2,∴S△MNP 最小值为 · 5 2· 2=5. 2 2 2 2 10、解析:由椭圆方程得 a=3,b= 2,故 c= a -b = 7. 由|PF1|=4 得|PF2|=2a-|PF1|=6-4=2. 又|F1F2|=2c=2 7,

3

在△PF1F2 中,由余弦定理得,cos∠F1PF2= 所以∠F1PF2=120°. 11、解析

|PF1| +|PF2| -|F1F2| 4 +2 - 7 = 2|PF1|·|PF2| 2×4×2

2

2

2

2

2

2

1 =- , 2

(1)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 OP⊥OQ?x1x2+y1y2=0,∵y1=1-x1,y2=1-x2, x2 y2 代入上式,得 2x1x2-(x1+x2)+1=0.① 又将 y=1-x 代入 2+ 2=1? a b 2 a2?1-b2? 2a (a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0. ∵Δ>0,∴x1+x2= 2 , 2,x1x2= a +b a2+b2 1 1 代入①化简得 2+ 2=2. a b c2 b2 b2 1 1 b2 2 a2 1 (2)∵e2= 2=1- 2,∴ ≤1- 2≤ ? ≤ 2≤ . 又由(1)知 b2= 2 , a a 3 a 2 2 a 3 2a -1 1 1 2 5 3 5 6 ∴ ≤ 2 ≤ ? ≤ a2≤ ? ≤a≤ . ∴长轴是 2a∈[ 5, 6]. 2 2a -1 3 4 2 2 2 a -b x2 y2 2 c = = ,所以 a2=3b2,即椭圆 C 的方程可写为 2+ 2=1. a 3 a 3b b 设 P(x,y)为椭圆 C 上任意给定的一点,|PQ|2=x2+(y-2)2=-2(y+1)2+6+3b2≤6+3b2, y∈[-b,b],由题设知存在点 P1 满足|P1Q|=3,则 9=|P1Q|2≤6+3b2,所以 b≥1. 当 b≥1 时,由于 y=-1∈[-b,b],此时|PQ|2 取得最大值 6+3b2, x2 所以 6+3b2=9?b2=1,a2=3.故所求椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3 (2)存在点 M 满足要求,使△OAB 的面积最大.假设存在满足条件的点 M, 因为直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A,B,则圆心 O 到 l 的 m2 1 距离 d= <1. 因为点 M ( m , n ) 在椭圆 C 上,所以 +n2=1<m2+n2,于是 0<m2≤3. 3 m2+n2 12、解析 (1)因为 e= 因为|AB|=2 1-d2=2 m2+n2-1 , m2+n2 2 |m| 3 m2+n2-1 1 × = ≤ m2+n2 m2+n2 1+2m2 2 3
2 2

2 |m| 3 1 1 所以 S△OAB= · |AB|· d= = , 2 2 2 2 1·m 3 2 3 6 2 当且仅当 1= m2 时等号成立.所以 m2= ∈(0,3].因此当 m=± ,n=± 时等号成立. 3 2 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 所以满足要求的点 M 的坐标为( , ),( ,- ),(- , )和(- ,- ),此时对应 2 2 2 2 2 2 2 2 1 的三角形的面积均达到最大值 . 2

4


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