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特殊与一般的思想


、特殊与一般的思想和其它方法对比解析
1.什么是特殊化思想 对于某个一般性的数学问题,如果一时难以解决,那么可以先解决它的特殊情况,即从 研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象, 然后再把解决特殊情况 的方法或结论应用或者推广到一般问题上, 从而获得一般性问题的解答, 这种用来指导解决 问题的思想称之为特殊化思想. 2.什么是一般化思想 当我们遇到某些特殊问题很难解决时, 不妨适当放宽条件, 把待处理的特殊问题放在一 个更为广泛、更为一般的问题中加以研究,先解决一般情形,再把解决一般情形的方法或结 果应用到特殊问题上, 最后获得特殊问题的解决, 这种用来指导解决问题的思想称之为一般 化思想. 【 例 1 】 设 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 体 积 为 V , P, Q 分 别 是 侧 棱 AA1 , CC1 上 的 点 , 且

PA ? QC1 ,则四棱锥 B ? APQC 的体积为
(A) V

1 6

(B) V

1 4

(C) V

1 3

(D) V

1 2

【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 方法一 常规方法 如图 2-18,因为 PA ? QC1 , 所以 PQ 将三棱柱的侧面 AA1C1C 分成面积相 等的两个梯形,从而 VB ? APQC ? VB ? PA1C1Q .又 VB ? A1B1C1 ? V柱体 ? V ,且三棱 柱 ABC ? A1 B1C1 被分成两个四棱锥 B ? APQC 与 B ? PA1C1Q 以及三棱锥

A B P

C

1 3

1 3

Q A1 B1

1 B ? A1 B1C1 三部分,所以 VB ? APQC ? V . 3
方法二 特殊化的方法.

C1

仔细分析题目的已知条件会发现,三棱柱的形态没给出具体限制,是一般的三棱柱;侧 棱 AA1 , CC1 上的两点 P, Q 只有 PA ? QC1 的要求,而没有具体位置的限制.从选项来看,所 求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定,用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首 先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱,其次还可以将点 P, Q 分别为 AA1 , CC1 的中点;也可以 使点 P 趋近于点 A ,点 Q 趋近于点 C1 ,即使 PA ? QC1 ? 0 ,使四棱锥特殊化为三棱锥, 实际上,这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后,再求解几何体的体积就要 简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想,用特殊的方 法来解决一般的问题.

【例 2】已知函数 f ( x) ? lg (A) b

1? x ,若 f (a) ? b ,则 f (?a) ? 1? x 1 1 (B) ?b (C) (D) ? b b

【分析及解】 为了说明本题所体现的出来的数学思想方法, 我们先来看解决本题的三种方法. 方法一 常规方法 本题所研究的函数是确定的,其函数解析式已知且不含有参数.如果把 a, b 看成是两个 用 字 母 表 示 的 数 , 则 它 们 也 是 确 定 的 , 已 知 的 . 于 是 由 f (a) ? b , 得 lg

1? a 1? a ,那么为求得 f (?a) 的值,实际上就是求 lg 怎样用关于 b 的解析式 1? a 1? a 1? a 1? a 来 表 示 , 就 是 求 lg 与 lg 的 关 系 . 到 此 , 不 难 发 现 , 有 1? a 1? a 1? a 1 ? a ?1 1? a ,于是 f (?a) ? ?b . lg ? lg( ) ? ? lg 1? a 1? a 1? a f (?a) ? lg
方法二 一般化方法 如果我们探究 f (a ) 与 f (?a) 的关系,产生猜想:如果 f ( x) 是奇函数或偶函数,那么 由 f (a ) 的值求 f (?a) 的值就会变得相当简单. f ( x) 具有奇偶性吗?

1? a ? b .又 1? a

f ( x) 的 定 义 域 为 {x ?1 ? x ? 1} , 关 于 原 点 对 称 . 在 定 义 域 内 任 取 x 和 ?x 有

f ( x) ? f (? x) ? lg

1? x 1? x 1? x 1? x ? lg ? lg( ? ) ? lg1 ? 0 . 1? x 1? x 1? x 1? x

所以 f ( x) 是定义域 ? ?1,1? 内的奇函数,于是 f (?a) ? ? f (a) ? ?b . 方法三 特殊化方法 考虑到是选择题,a, b 是用字母表示的数,那么不妨取特殊值来进行研究.令 a ?

1 ,则 2

1 1 1? 1? 1 1 1 2 ? lg ? ? lg 3 ? b ,那么 f (? ) ? lg 2 ? lg 3 ? ?b .比较四个选项后, f ( ) ? lg 1 1 2 3 2 1? 1? 2 2
便可得出,只有(B)成立. 对于这样一个求函数值的常规问题,其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方 法一与方法二相比较,方法一是对具体函数、具体函数值的研究,可以认为是对特殊问题的 特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质,只要函数 f ( x) 是奇函数,无论 其解析式是否为 lg

1? a ,都有 f (?a) ? ? f (a) ? ?b .这种研究问题的方法体现出的恰是由 1? a

特殊到一般的思维方法.由特殊函数,研究它的一个性质,再由一般函数的性质,得出一般

的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来,得出所求结果,又由一般回到了特殊.这种特 殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式. 如果将方法一与方法三相比较, 由于方法一中含有字母已知数, 而方法三中则是将字母 具体化、特殊化,研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊 的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究,转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究. 不过最终还要回到一般上来,利用“特殊情况下命题不成立,那么在含有这个特殊情况的一 般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式. 可以认为,本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例. —— 特殊 —— 一般的研究

二、特殊与一般的思想应用举例
【例 3】设 S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,若 (B) ? 1

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5
(D)

(A) 1

(C) 2

1 2

分析:确定一个等差数列需要两个独立条件,而题设中只给出了一个条件,因此不能确 定这个等差数列,也就不能求出它的各项,自然也就求不出 S 5 , S 9 的值.可以另辟蹊径,构 造一个符合条件的特殊数列解此问题. 解:由已知条件

a5 5 5?9 ? ,令 a5 ? 5, a3 ? 9 ,得公差 d ? ? ?2 , a3 9 5?3 S9 ? 1 ,选(A). S5

a1 ? 9 ? 2 ? (?2) ? 13 ,求出 S 5 ? 45, S 9 ? 45 ,所以

评析:符合条件的等差数列有无穷多个,虽然 S 5 , S 9 的值不确定,但是由选择项可知,

S9 的值是确定的,即不因 S 5 , S 9 的变化而变化,因此可以通过构造符合条件的特殊数列得 S5
出结果,也就是一般性结果,体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想. 【例 4】定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期.若将 方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?T,T ] 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为( A.0 B.1 C.3 D.5 )

(提示:取 f ( x) ? sin x )

【例 5】在△ OAB 中, O 为坐标原点, A(1, cos? ), B(sin ? ,1), ? ? (0, 面积达到最大值时, ? ? (A)

?
2

] ,则当△ OAB 的

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D) y C

? 2
B

分析:由已知, 0 ? cos? ? 1,0 ? sin? ? 1 , 可以把△ OAB 放在平面直角坐标系中边长为 1 的 一个正方形的内部(如图) ,即构造一个特殊的正 方形,使它与△ OAB 之间建立关于面积大小的一 种关系,在此思路下寻求题目中所求的 ? 值. 解:在正方形 ODEC 中,得 C (0,1), D(1,0), E (1,1) , 所以 S ?OAB ? 1 ? S ?OBC ? S ?ODA ? S ?AEB

E A

o

D

x

1 1 1 ? 1 ? sin ? ? cos? ? (1 ? sin ? )(1 ? cos? ) 2 2 2 1 1 ? ? ? sin 2? , 由 ? ? (0, ] 可知, 2 4 2 1 ? 当 sin 2? 取最小值 0 时, S ?OAB 取最大值 ,此时 ? ? ,选(D). 2 2
评析:本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造,即通过条件,把△ OAB 放在一 个正方形的内部,在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解. 【例 6】若 0 ? x ? A. sin x ?

2 x π

π ,则下列命题正确的是( ) 2 2 3 B. sin x ? x C. sin x ? x π π

D. sin x ?

3 x π

(提示:取 x ? ? ,可排除 A、D;取 x ? ? ,可排除 C)

4

6

【例 7】已知 f ( x ) ? ? (A) (0,1)

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1, 是 (??,??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 log a x, x ? 1. ?
(B) (0, )

1 3

(C) [ , )

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

分析:已知函数 f (x) 是一个分段函数,从形的方面看, f (x) 的图象由一条直线的一部分 和对数曲线的一部分组成,由条件,图象从左到右应呈下降趋势,若采用由特殊到一般的思 想求解,可以对 a 赋特殊值,并检验是否符合题意. y

? 4 , x ? 1, 1 ? 解:取 a ? ,得 f ( x) ? ? 3 如图, 3 ?log 1 x, x ? 1. ? 3

o

1

x

显然, f (x) 在 (??,??) 上不是减函数, 可排除选项(A)(D) , ; y

4 ? 2 1 ?? 3 x ? 9 , x ? 1, 再取 a ? ,得 f ( x) ? ? 如图, 1 9 ? log 1 x, x ? 1. x o 9 ? 2 ,综上,选(C). f ( ) ? f (1) ? 0 ,即 f (x) 在 (??,??) 上不是减函数,可排除选项(B) 3
评析: 求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解, 根据选择项对参数赋予适当 的特殊值,再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值,通常要结合参数所在的 数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑, 这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之 有效的. 【例 8】在数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) ,
n

(n ? N *) ,则 S100 ? _____________.
分析:可以考虑先求 S n 或 S 2 n ,再求 S100 ,这里采用先求 S 2 n 的方法. 解:由 a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) ,得 a n ?1 ? a n ?1 ? 1 ? (?1)
n n ?1

(n ? 2) ,

两式相加得 (a n ?1 ? a n ? 2 ) ? (a n ?1 ? a n ) ? 2 (n ? 2) ,而 a1 ? 1, a2 ? 2 , 得 S 2 n ? (a1 ? a 2 ) ? (a3 ? a 4 ) ? ? ? (a 2 n ?1 ? a 2 n )

? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ?
所以, S100 ? 50 ? 52 ? 2600 .

n[3 ? (2n ? 1)] ? n(n ? 2) , 2

评析:本题的解法采用的是一般化的思想,即把待求的 S100 这一特殊值放在一般的 S 2 n 中加以研究,正是因为一般性中蕴涵着特殊性,能使我们从该数列的本质特征入手, “先进 后退”的解决了问题. 【例 9】 .将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0-1 三角数表.从上 往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全行的数都为 1 的是第 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 行;第 61 行中 1 的个数是 .

??

??????????????? )

【例 10】若对任意 x ?R ,不等式 x ≥ ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?1 B. a ≤ 1 C. a ? 1 D. a ≥1

(提示:取 a ? ?1 )
【例 11】 两个相同的正四棱锥组成如图 (1) 所示的几何体, 可放入棱长为 1 的正方体图 (2) 内,使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几 何体体积的可能值有 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)无穷多个

图(1)

图(2)

分析:由已知,图(1)所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定,根据 该底面与正方体的位置关系, 可考虑用一个特殊的平面衬托该底面, 以此分析它与正方体的 面的关系及该底面的面积情况. 解:把图(1)所示的几何体放入棱长为 1 的正方体 图(2)内,沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开, 截面如图(3)所示,由平面几何知识可知,一个正方形 有无穷多个边长各不相等的内接小正方形,设其面积为 S , 则图(1)所示的几何体体积等于 S ,选(D).
图(3)

1 3

评析:本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置,即特殊的截面,使正四棱锥 的底面和正方体的面可以依托在此截面内, 从而将空间问题转化为易于研究的平面问题, 这 里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.

, 【例 12】在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) ,若 f ( x) 在区间 [1 2] 上
是减函数,则 f ( x) ( )

4] A.在区间 [?2, 1] 上是增函数,在区间 [3, 上是增函数 ? 4] B.在区间 [?2, 1] 上是增函数,在区间 [3, 上是减函数 ?
C.在区间 [?2, 1] 上是减函数,在区间 [3, 上是增函数 4] ?

D.在区间 [?2, 1] 上是减函数,在区间 [3, 上是减函数 4] ? 【分析及解】由条件知 f ( x) 是以 2 为周期的周期函数,取 f ( x) ? cos ? x ,求单调区间. 令 2k? ? ? ? ? x ? 2k? ,解得增函数区间为 ? 2k ? 1, 2k ? ,取 k ? 2 ,得增区间 [3, ; 4] 令 2k? ? ? x ? 2k? ? ? ,解得减函数区间为 ? 2k , 2k ? 1? ,取 k ? ?1 ,得减区间 [?2, 1] ; ? 从而选 C.

? 1? ?1 ? ? ? 1 ? n? ? 【例 13】 (07 上海) .已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且 q ≥ 2 ,则 lim q n →? ? 1? ?1 ? ? ? 1 ? n?
( A.0 ) B.1 C.

p

p q

D.

p ?1 q ?1

【分析及解】取 p ? 1, q ? 2 ,得

? 1? ? 1? 1 ?1 ? ? ? 1 ?1 ? ? ? 1 1 1 n? n? lim ? ? lim ? ? lim n ? lim ? q 2 n→? n→? n→? 2 1 n→? 1 2 ? 1? ? 1? ? 2 2? ?1 ? ? ? 1 ?1 ? ? ? 1 n n n ? n? ? n?
从而选 C.

p

【例 14】 (2006 年广东卷)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样 的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥” 形的展品, 其中第 1 堆只有一层, 就一个球; 2、 4、 第 3、 ? 堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下 一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? __________ ; f (n) ? __________(答案用 n 表示).

?

分析:通过观察与计算,得出 f (1), f (2), f (3), f (4) ,然后归纳探求其内在的变化规 律,猜想出结论的一般形式,并给出证明.

解: f (1) ? 1 , f (2) ? 3 ? f (1) ? 4 ?

4?5? 6 ,下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的 6 n(n ? 1) 个 数 之 和 , 而 各 堆 第 一 层 球 的 个 数 分 别 是 1,3,6,10,? , ,于是可得 2 5? 6 5? 6? 7 n(n ? 1) ,? , f (n) ? f (5) ? ? f (4) ? 35 ? ? f (n ? 1) , 2 6 2 n(n ? 1)( n ? 2) 猜想: f (n) ? ,此命题可用数学归纳法证明(略). 6 f (4) ? 10 ? f (3) ? 20 ?
评析:归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法,本题的 核心就是由特殊的 f (1), f (2), f (3), f (4) 得到一般的 f (n) ? 是它的猜测发现,其重要作用是启发解决问题的思路. 【例 15】 (2006 年浙江卷)如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB ∥平面 ? ,则正四 面体上的所有点在平面 ? 内的射影构成的图形面积的取值范围是________________. 分析:为了解决此问题,可考虑平面几何中 与此类同的问题:求边长为 1 的正三角形上的所 有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范 围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题 的思路. 解:在上述平面几何问题中,让正三角形绕其一个顶点旋转,如图,当正三角形的一条 b 边平行于直线 a 时,在直线 a 上的射影为正三角形的边, 是最大射影长为 1 ;当正三角形的一条边垂直于直线 a 时 (图中 a ? b ) ,在直线 a 上的射影为正三角形的高,是 1 a α
B C D

2 ? 3? 4 3? 4 ? 5 , , f (3) ? 6 ? f (2) ? 10 ? 6 6

n(n ? 1)( n ? 2) ,其主要意义 6

A

3 3 ,1] . 最小射影长为 (证明略) ,得射影的取值范围是 [ 2 2

有了平面几何问题的结论和已知棱 AB ∥平面 ? , 可类比得到立体几何问题的结论: 当正四 面体 ABCD 的棱 CD ∥ ? 时,可得正四面体在 ? 内的射影最大面积,是对角线长为 1 (正 四面体的棱长)的正方形的面积等于

1 ,当 CD ? ? 时,可得正四面体在 ? 内的射影最小 2
2 (对棱 AB, CD 间的距离)的三角 2

面积,是底边长为 1 (正四面体的棱长)且对应高为

形的面积等于

2 1 2 , ](射影图及证明略). , 由此可得所求射影图形面积的取值范围是 [ 4 2 4

评析:本题的解法采用了由特殊(平面)到一般(空间)的类比方法,关键是从联想的 角度先考虑平面几何中的类似问题(相对容易一些) ,从中挖掘出立体几何中相关问题的突 破点,也为充分发挥空间想象能力提供重要线索. 四、复习建议 1.明确特殊化思想的特点 特殊情形相对一般情形而言是比较简单、 直观和具体的, 因而常常易于找出特殊情形的 解答, 而且普遍性存在于特殊性之中, 一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法 途径或思路,因此,特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一. 2.明确一般化思想的特点 从一般性问题入手,可以使我们的视野更为广阔,避免在枝节问题上纠缠,容易触及问 题的本质.同时,由于限制条件减少,涉及范围增大,更容易引起联想,发现各种条件与结 论之间的内在联系.因此,从一般到特殊,是人们认识事物的另一个重要侧面,它与从特殊 到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面. 3.注意与其他数学思想方法的联合运用 在同一道题中, 有时需要运用多种数学思想方法, 因此复习时要全面复习高中阶段的重 要数学思想方法,不能重此轻彼,复习时要注意这一点. 4.能适时正确的选用 要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件, 如特殊化处理的可行性, 有时虽然能用 特殊化思想解答,但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中,由于需要写出解答 过程,因此对于一般性的结论,要防止用特殊代替一般的解答等.


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