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湖南省株洲市2016届高三教学质量统一检测(一)数学(理)试题


绝密★启用前

株洲市 2016 届高三年级教学质量统一检测(一)

数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分 钟.

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项符合题目要求) 1.复数 z=

2?i 的共轭复数是( i
B. 2 ? i

) C.1+2i D. 1 ? 2i

A.2+i

2.下列有关命题的说法错误的是( ) 2 2 A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 2 2 D. 对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0 3.已知 tan ? =2,其中 ? 是第三象限的角,则 sin(π + ? )等于( ) A.—

5 5
?

B.

5 5
? ?

C. —

2 5 5

D.

2 5 5

4.如图(1) ,AB 是⊙ O 的直径,点 C,D 是半圆弧 AB 上的两 个三等分点,设 AB = a , AC = b ,则 AD =( A.
?

?

) D. a )
?

1 ? ? a +b 2
2

B.

1 ? ? a -b 2

C. a +

?

1 ? b 2

1 ? b 2
图(1)

5.在 (4 x ? 5)(1 ?

1 5 ) 的展开式中,常数项为( x2

A.20 B.-20 C.15 D.-15 6.执行如图(2)所示的程序框图,若输出的结果为 2 ,则输入的正整数 a 的可能取值 的集合是( ) B. ?1, 2,3, 4,5, 6? C. ?2,3, 4,5? D. ?2,3, 4,5, 6? A. ?1, 2,3, 4,5?

7.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 平移

(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向右
图(2) )

?
6

个单位后得到函数 g ? x ? ? sin ??x ? 的图像,则函数 f ( x) 的图像 (

A.关于直线 x ? C.关于点 (

?
12

5? 对称 12

B.关于直线 x ? D.关于点 (

?
12

对称
13

, 0 ) 对称

5? , 0 ) 对称 12

8.已知袋中装有标号为 1,2,3 的三个小球,从中任取一个小球(取后
正视图
1 1 侧视图

图(3)
2 俯视图

放回) ,连取三次,则取得的小球的最大标号为 3 的概率为( A.



2 3

B.

19 27

C.

20 27

D.

7 9

9.已知一个圆的圆心在曲线 y = 时,该圆的方程为( )

2 (x>0)上,且与直线2x+y+1=0相切,则当圆的面积最小 x
B. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 D. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 25 )

A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25

10.某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图(3)所示,则该四棱锥的体积等于( A.1 B. 2 C.3 D.4

11.如图(4)所示,已知点 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 , F2 分别为双 a2 b2

曲 线 的 左 右 焦 点 , 且 | F1 F2 |?

b2 , I 为 三 角 形 PF1 F2 的 内 心 , 若 a
则 ? 的值为( )

S?IPF1 ? S?IPF2 ? ?S?IF1F2 成立,
A.

1? 2 2 2

B. 2 3 ? 1

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1 )

图(4)

12.已知函数 f ( x) ? A. e ?

1 e2

ln x k ? x ? ? 2e 有且只有一个零点,则 k 的值为( 2 x x 1 2 B. e ? C.1 D. e e 第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卷上) 13.由曲线 y= x 与直线 y=1 围成的封闭图形的面积为
2



?x ? 2 ? 14.若 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 ?

, 则 z ? 2x ? y 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

15.已知 A、 B、 C 是球 O 的球面上三点, AB=2, BC=4, ∠ABC=60 , 且棱锥 O—ABC 的体积为
0

4 6 3

则球 O 的表面积为



? D? D C, 16. 在 △ ABC 中 , B ? , BC ? 2 , 点 D 、 E 分 别 在 边 A B 、 AC 上 , A 3
D E?A C,且 DE≥

6 ,则∠ACB 的最大值为 2



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)

17.(本小题满分 12 分)已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 a2 =2, S 9 =45. (I)求数列{ an }的通项公式; (II)若数列{bn}满足 b1=l,

1 3bn ?1 an = 3 (n∈N+) ,求数列{ }的前 n 项和 Tn. bn bn ? n ? 1 3
患病 20 x 30 未患病 30 y N 总计 50 50 100

18. (本小题满分 12 分)为考察某种药物 预防疾病的效果,进行动物试验,得到如 下数据的列联表:

没服用药 服用药 总计

设从没服药的动物中任取两只,未患病数为 ? ; (I)求出列联表中数据 x,y,N 的值及 ? 的分布列; (II)能够以 97.5% 的把握认为药物有效吗?(参考数据如下)

n(ad ? bc )2 (参考公式: K ? ) (a ? b )(c ? d )(a ? c )(b ? d )
2

P(K ≥k0) k0

2

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19. (本小题满分 12 分)在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E、 F、 P 分别是 AB、 AC、 BC 边上的点, 满足 AE∶EB = CF∶FA = CP∶PB = 1∶2( 如图( 5 ) ) .将 △ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置, 使二面角 A1-EF-B 成直二 面角,连结 A1B、A1P(如图(6)). 图(5) 图(6)

(I)求证:A1E⊥平面 BEP; (II)求二面角 B—A1P—E 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆 2 2 a b

心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 7 x ? 5 y ? 12 ? 0 相切. (I) 求椭圆 C 的方程; (II) 设 A(?4, 0) , 过点 R(3, 0) 作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 P ,

Q 两点,连接 AP , AQ 分别交直线 x ?

16 于 M , N 两点,若直线 MR 、 NR 的斜率分别 3

为 k1 、 k2 ,试问: k1k2 是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? a ln x ? b( x ? 3x ? 2) ,其中 a, b ? R .
2

(I)若 a ? b ,讨论 f ( x ) 极值(用 a 表示) ; ( II )当 a ? 1 , b = ?

1 ? ? 3)x ? 2,若 x1 , x2 ( x1 ? x2 )满足 ,函数 g ( x) ? 2 f ( x ) ? ( 2

g ( x1 ) ? g ( x2 ) 且 x1 ? x2 ? 2 x0 ,证明: g '( x0 ) ? 0 .
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-l:几何证明选讲 如图(7) ,⊙ O 的半径为6,线段 AB 与⊙ O 相交于点 C 、 D , AC ? 4 , ?BOD ? ?A , OB 与⊙ O 相交于点 E . (I)求 BD 长; (II)当 CE ? OD 时,求证: AO ? AD . 23. (本小题满分 10 分)选修 4 -4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为

{

x ? 3 cos ? , (α 为参数) , y ? sin ?

图(7)

以 原 点 O 为 极 点 , x 轴 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

? ? sin(? ? ) ? 4 2 .
4
(I)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (II)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4 -5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? a | , a ? R . (I)当 a =2 时,求不等式 f ( x) <4 的解集; (II)当 a ? ?

1 1 时,对于 ?x ? ( ?? ,? ] ,都有 f ( x) ? x ≥3 成立,求 a 的取值范围. 2 2

2016 届株洲市高三检测试题参考答案及评分标准 (理科数学)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1、 C; 2、C; 3、D; 4、A; 5、C; 6、C

7、B;8、B;9、A; 10、B; 11、D;12、B.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

4 0 ;14.[—2,4];15.48π; 16.75 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17(本小题满分 12 分) 解:(I)an=n 分 (2)bn=

…………………4

1 2 1 n — n+1 2 2 2n Tn= n ?1

…………………8 分 ………………12 分 ………2 分

18. (本题满分 12 分)解:(1)x=10,y=40,N=70

ξ取值为 0,1,2

P ?? ? 0? ?

2 C 20 38 ? 2 C 50 245

P ? ? ? 1? ?

1 1 C 20 ?C 30 120 ? 2 C 50 245

P ?? ? 2? ?

2 C 30 87 ? 2 C 50 245

∴ E? ? (2)∵ K 2 ?

294 245

…………6 分

n(ad ? bc )2 100(800 ? 300)2 ? ? 4.762 ? 5.024 (a ? b )(c ? d )(a ? c )(b ? d ) 30 ? 70 ? 50 ? 50

故没有 97.5%的把握认为药物有效 … ……12 分 19. (本题满分 12 分)解:(1)在图(5)中,取 BE 的中点 D,连结 DF, ∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2,∴AF=AD=2,而∠A=60°,∴△ADF 为正三角形. 又 AE=DE=1,∴EF⊥AD.在图(6)中,A1E⊥EF,BE⊥EF, ∴∠A1EB 为二面角 A1-EF-B 的一个平面角, 由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥平面 BEP; ………6 分 (2)面 EA1P 的法向量 n1 =( 3 ,—1,0) ;面 BA1P 的法向量 n 2 =( 3 ,1,2 3 ) 所以 cos< n1 , n 2 >=……= 20. (本题满分 12 分)
? ? ? ?

1 1 ,所以二面角 B—A1P—E 的大小的余弦值为 ………12 分 4 4

?c 1 ?a ? 2 , ?a ? 4, ? ? x2 y 2 ? 12 ? b, 解得 ?b ? 2 3, 故椭圆 C 方程为 ? ? 1 …4 分 解: (1)由题意得 ? 16 12 ? 7?5 ?c ? 2, ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?

? x2 y 2 ? 1, ? ? (2)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,直线 PQ 的方程为 x ? my ? 3 ,由 ?16 12 ? x ? my ? 3, ?
得 (3m2 ? 4) y 2 ? 18my ? 21 ? 0 .∴ y1 ? y2 ? 由 A , P , M 三点共线可知,

?18m ?21 , y1 y2 ? , 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

yM y1 28 y1 ? ,所以 yM ? ; ? 16 x1 ? 4 3 x ? 4 1 ?4 3

同理可得 yN ?

16 y1 y2 y 9y y 28 y2 yM ,所以 k1k2 ? . ? ? N ? M N ? 16 16 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) 3 x2 ? 4 49 ?3 ?3 3 3

因为 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? (my1 ? 7)(my2 ? 7) ? m2 y1 y2 ? 7m( y1 ? y2 ) ? 49 ,

?21 16 ? 2 12 16 y1 y2 3m ? 4 所以 k1k2 ? 2 ? ? ? …12 分 7 m y1 y2 ? 7m( y1 ? y2 ) ? 49 m2 ? ?21 ? 7m ? ?18m ? 49 2 2 3m ? 4 3m ? 4
21. (本小题满分 12 分) 解: (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,∵a=b ∴ f ( x) ? a ln x ? a( x 2 ? 3x ? 2) ∴ f / ( x) =

a a a ( x ? 1)( 2 x ? 1) + a(2 x ? 3) ,∴ f / ( x) = + a(2 x ? 3) = x x x

①当 a ? 0 时,f(x)=0,所以函数 f(x)无极值;

1 1 )和(1,+∞)单调递增,在( ,1)单调递减, 2 2 1 3 ∴f(x)的极大值为 f( )= -aln2+ a,f(x)的极小值为 f(1)=0; 2 4 1 1 ③当 a ? 0 时,f(x)在(0, )和(1,+∞)单调递减,在( ,1)单调递增, 2 2 1 3 ∴f(x)的极小值为 f( )= -aln2+ a,f(x)的极大值为 f(1)=0; 2 4
②当 a ? 0 时,f(x)在(0, 综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f(x)无极值; 当 a ? 0 时,函数 f(x)的极大值为-alna,函数 f(x)的极小值为 0; 当 a ? 0 时,函数 f(x)的极小值为-alna,函数 f(x)的极大值为 0。……………5 分
/ 2 (2) g ( x) ? 2ln x ? x ? ? x , g ( x ) ?

2 ? 2x ? ? . x

? ?2 ln x ? x 2 ? ? x ? 2 ln x ? x 2 ? ? x , ……① 1 1 1 2 2 2 ? ? 假设结论不成立,则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 , ………………………………② ?2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0……………………………③ ? ? x0

x1 x2 x 由①,得 2ln 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ,∴ ? ? 2 ? 2 x0 , x1 ? x2 x2 ln
x x1 x 2 1 ?2 ln 1 x x2 x2 x2 1 2 2 ? ,即 ? 由③,得 ? ? ,即 ln 1 ? .④ ? 2 x0 ,∴ x1 x2 x1 ? x2 x0 x1 ? x2 x1 ? x2 x0 ?1 x2

ln

令t ?

(t ? 1)2 2t ? 2 x1 ? 0, ,不妨设 x1 ? x2 , u (t ) ? ln t ? (0 ? t ?1) ,则 u '(t ) ? t ?1 x2 t (t ? 1)2

∴ u(t ) 在 0 ? t ? 1 上增函数, u (t ) ? u (1) ? 0 ,∴④式不成立,与假设矛盾. ∴ g '( x0 ) ? 0 . 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 【解析】 (1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴ ∴ ……………12 分

BD OD ? ,∵OC=OD=6,AC=4, OC AC
……………5 分

BD 6 ? ,∴BD=9. 6 4

(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. 0 0 ∴∠AOD=180 —∠A—∠ODC=180 —∠COD—∠OCD=∠ADO.∴AD=AO……………10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? cos? ? x ? 3 cos? ? 【解析】( 1 )由曲线 C1 : ? 得? 3 ? y ? sin ? ? y ? sin ? ?

即:曲线 C1 的普通方程为:

x2 ? 2 ? y 2 ? 1 由曲线 C 2 : ? sin(? ? ) ? 4 2 得: ? (sin ? ? cos? ) ? 4 2 4 3 2
即:曲线 C 2 的直角坐标方程为: x ? y ? 8 ? 0 ……………………5 分

(2) 设椭圆上的点 P 的坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) ,则点 P 到直线 x ? y ? 8 ? 0 的距离为

d?

3 cos? ? sin ? ? 8 2

2 sin(? ? ? 2

?
3

) ?8

所以当 sin(? ?

?
3

) ? 1 时,d 的最小值为 3 2

……………10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

1 ;令|x﹣2|=0,得 x=2. 2 5 ①当 x≥2 时,原不等式化为 2x+1+x﹣2<4,即 x ? ,得无解; 3
【解析】解: (1)令|2x+1|=0,得 x ? ? ②当 ③当 x≤ 时,原不等式化为 2x+1+2﹣x<4,即 x<1,得 时,原不等式化为﹣2x﹣1+2﹣x<4,即 x>﹣1,得﹣1<x≤ ; .

综合①、②、③,得原不等式的解集为{x|﹣1<x<1}. (2)令 g(x)=f(x)+x,当 x ? ?

……………………5 分

1 时,g( x)=|x﹣a|﹣x﹣1, 2

1 ? ? ?1 ? a , a ? x ? ? 由 a<﹣ ,得 g ( x ) ? ? 2 ? ? 2 x ? a ? 1, x ? a ?

对于 ?x ? ( ?? ,? ] 使得 f ( x) ? x ≥3 恒成立, 只需[g(x)]min≥3( x ? (?? ,? ] )即可. 作出 g(x)的大致图象,易知,[g(x)]min=g(a)=﹣a﹣1,∴﹣a﹣1≥3,得 a≤﹣4 ……………10 分

1 2

1 2


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