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高三第一轮复习理科数学试题重点中学使用(含答案)[1]


重点中学 高三第一轮复习理科数学试卷(含答案)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案 的代号填在题后的括号内(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 。 1.设全集 U=R,集合 M={x|y= 3 ? 2 x },N={y|y=3-2x},则图中阴影部分表示的集合是 3 3 A.{ x | < x ? 3

} B. { x | <x<3} 2 2 3 3 C. { x | ? x <2} D. { x | <x<2} 2 2
? ? log 3 ( x ? 1) ( x ? 6) 8 2.设 f ( x ) ? ? x ? 6 满足 f ( n ) ? ? ,则 f ( n ? 4) = 9 ?1 ( x ? 6) ?3

A. 2

B. ? 2

C.1

D. ? 1

3.已知集合 A ? {( x , y ) | x 2 ? y 2 ? 2}, B ? {( x , y ) | x ? y ? 2} ,设 p : x ? A ,q :x ? ,则 B A.p 是 q 的充分不必要条件 B.p 是 q 的必要不充分条件 C.p 是 q 的充要条件 D.p 是 q 的既不充分也不必要条件
?y ? x ? 4. 若x,y满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ? ?1 ?

A.-3

B.

3 2

C. 2

D.3

? ? 1? 2? 5 已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上递减, a ? f ?1 ? , b ? f ? log 1 ? , c ? f ? log 2 则 ? 大小为 ? 4? 2 ? ? 2 ? ?

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D.

c?a?b

6.等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S 3 ? A.1 B. ?
1 2

?

3 0

4 xdx ,则公比 q 的值为

C.1 或 ?

1 2

D. ? 1 或 ?

1 2

7. 设 f ( x ) 是一个三次函数, f '( x ) 为其导函数,如图所示是函数 y ? xf '( x ) 的图像的一部 分,则 f ( x ) 的极大值与极小值分别为 A. f (1) 与 f ( ? 1) C. f ( ? 2) 与 f (2) 8. 已 知
A, B , C

B. f ( ? 1) 与 f (1) D. f (2) 与 f ( ? 2)

是 平 面上 不 共线的 三 点 , O 为平 面 ABC 内 任 一 点, 动点 P 满 足等 式
???? ? (1 ? 2 ? ) O C ]( ? ? R

??? ? 1 ??? ? ??? ? O P ? [(1 ? ? ) O A ? (1 ? ? ) O B 3

且?

? 0)

,则 P 的轨迹一定通过 ? ABC 的

1

A.内心

B.垂心

C.重心

D.AB 边的中点

9 . 设 曲 线 y ? x n ( n ? N * ) 与 x 轴 及 直 线 x=1 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 a n , 设
bn ? a n a n 1 , 则 b 1 ? b2 ? ? ? b2 0 =2 ? 1
A.

503 1007

B.

2011 2012

C.

2012 2013

D.

2013 2014

10.已知函数 f ( x ) 满足:①定义域为R;② ? x ? R ,有 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ;③当 x ? [0, 2] 时,
f ( x ) ? 2 ? | 2 x ? 2 | . ? ( x) ? f( x) ? | x ( x [ ?]? | 88) , 记

. 根据以上信息, 可以得到函数 ? ( x )

的零点个数为 A.15 B.10 C.9 D.8 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 。 ? 11.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( x ? R , A ? 0, ? ? 0, | ? |? )
2

的部分图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式是 f(x)=2sin( ? x+

?
6

)



12.已知命题“存在 x ? R , 使得 | x ? a | ? | x ? 2 |? 2 成立”是假命题, 则实数 a 的取值范围是________. ( ?? , ? 4) ? (0, ?? ) 13.一同学在电脑中打出如下图若干个圆(○表示空心圆,●表示实心圆) ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○?? 问:到 2006 个圆中有__61_______ 个实心圆。 ? 14.关于函数 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? ) ( x ? R ) ,有下列命题:
6

① y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称

② y ? f ( x ) 的图象关于点(

?
6

, 0 ) 对称

③ 若 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 可得 x 1 ? x 2 必为 ? 的整数倍 ④ y ? f ( x) 在 (?
? ?
, 6 6 ) 上单调递增

⑤ y ? f ( x ) 的图象可由 y ? 2 sin 2 x 的图象向右平移 ⑥ y ? f ( x ) 的表达式可改写成 y ? 2 cos( 2 x ? 其中正确命题的序号有 14
?
3

?
6

个单位得到

),

15.设函数 f ( x ) 的定义域为 D,如果存在正实数 k ,使对任意 x ? D ,都有 x ? k ? D ,且
f ( x ? k ) ? f ( x ) 恒成立,则称函数 f ( x ) 为 D 上的“ k 型增函数”.已知 f ( x ) 是定义在 R 上

的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? | x ? a | ? 2 a ,若 f ( x ) 为 R 上的“2012 型增函数”,则实数

2

a 的取值范围是

. a<

1006 3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 75 分) 。 16. (12 分)已知命题 p:方程
x
2

?

y

2

2m y
2

m ?1

? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:双曲线

?

x

2

? 1 的离心率 e ? (1, 2 ) ,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,试求 m 的取值范

5

m

围。 「1/3,15〕

17..(12 分)在△ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,向量 m ? (1, ? sin A ) ,
? ?? ? n ? (sin A ,1 ? cos A ) .已知 m // n .

??

(1)若 ? ? 2 ,求角 A 的大小; (2)若 b ? c ? 3 a ,求 ? 的取值范围.

18(12 分)某企业 2010 年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐 年下降,若不进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企 业一次性投入资金 600 万元进行技术改造, 预测在未扣除技术改造资金的情况下, n 年 第 (今 1 年为第一年)的利润为 500(1 ? n ) 万元(n 为正整数) 2 (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技 术改造后的累计纯利润为 B n 万元(须扣除技术改造资金) ,求 An , B n 的表达式;
3

(2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过 不进行技术改造的累计纯利润?

19.(12分) 设 f ( x ) 是定义在 [ ? 1,1] 上的奇函数,f( ? 1)= ? 1,且对任意 a , b ? [ ? 1,1] ,当
a ? b 时,都有
?0; a?b 1 1 (1)解不等式 f ( x ? ) ? f (2 x ? ) ; 2 4 f ( a ) ? f (b )

(2)设 P ? { x y ? f ( x ? c )}, Q ? { x y ? f ( x ? c )} 且 P ? Q ? ? ,求 c 的取值范围。
2

(3)若 f(x)≤ m ? 2 km ? 1 对所有 x∈[-1,1],k∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围
2

?

1 4

? x?

5 8

解.(1)

(2) c ? 2 或 c ? ? 1 (3) m≤﹣2 或m=0或m≥2

20.(13 分)已知各项均为正数的数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足
S 1 ? 1, 且 6 S n ? ( a n ? 1)( a n ? 2 ), n ? N .
*

(1)求数列 { a n } 的通项公式;

4

(2)设数列 {b n }满足 a n ( 2

bn

? 1) ? 1, 记 T n 为数列 {b n } 的前 n 项和,

求证: 2T n ? 1 ? log 2 ( a n ? 3 ). .解: (1)当 n=1 时,有 6 a 1 ? ( a 1 ? 1)( a 1 ? 2 ). 解得 a 1 ? 1( 与 a 1 ? S 1 ? 1矛盾 , 舍去 ), 或 a 1 ? 2 . ????1 分

? 6 S n ? ( a n ? 1)( a n ? 2 ), 当 n ? 2 时,有 ? 两式相减得 ? 6 S n ?1 ? ( a n ?1 ? 1)( a n ?1 ? 2 )
6 a n ? a n ? a n ?1 ? 3 ( a n ? a n ?1 ), 即 ( a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ? 3 ) ? 0 . ????3 分
2 2

由题设 a n ? a n ?1 ? 0 , 从而 a n ? a n ?1 ? 3 ? 0 , 即 a n ? a n ?1 ? 3 . 故数列 { a n } 是首项为 2,公差为 3 的等差数列 a n ? 2 ? ( n ? 1) ? 3 ? 3 n ? 1 . ??5 分 (2)由 a n ( 2
bn

? 1) ? 1, 得 ( 3 n ? 1)( 2 3 2 ?

bn

? 1) ? 1, b n ? log ? 9 8 ?? ? 3n 3n ? 1 ).

3n
2

3n ? 1

. ????6 分

T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? log 2 (

6 5

3 6 9 3n 而 2T n ? 1 ? log 2 ( a n ? 3 ) ? 2 log 2 ( ? ? ? ? ? ) ? 1 ? log 2 ( 3 n ? 2 ) 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n 2 3n ? 2 ? ( ? ? ?? ? ) ? 2 5 8 3n ? 1 2
2( ? 3 2 ? 6 5 3 2 ? 9 8 3n ? 1 3n ? 2 6 5 ? 9 ?? ? ?? ? 3n )
2

?1 )
2

????8 分

2(

?

3n

令cn ?

8 3n ? 1 3n ? 2
2

.



c n ?1 cn

) (3n ? 2 ) 2 2 (3 n ? 3) 9 n ? 18 n ? 9 3n ? 2 ? ? ? ? 1. 2 3 ( n ? 1) ? 2 ( 3 n ? 5 )( 3 n ? 2 ) 9 n ? 21 n ? 10 (

3n ? 3

而 c n ? 0 , 所以 c n ?1 ? c n , {c n } 是单调递减数列.????10 分
3 6 9 3n 2 3 2 2( ? ? ? ? ? ) 2( ) 9 2 5 8 3n ? 1 2 ? ? 1 .所以 c n ? ? 1. 所以, c n ? c 1 ? 3 ? 1 ? 2 10 3n ? 2

从而 2T n ? 1 ? log 2 ( a n ? 3 ) 成立.

???13 分

5

21.( 14 分)若存在常数 k 和 b ?k 和b 均为实数 ? , 使得函数 f ? x ? 和 g ? x ? 对其定义域上的任意 实数 x 分别满足 f ? x ? ? kx ? b 和 g ? x ? ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ? x ? 和 g ? x ? 的“隔离直线”.已知 h ? x ? ? x 2 , ? ? x ? ? 2 e ln x . (1)求 F ? x ? ? h ? x ? ? ? ? x ? 的极值; (2)函数 h ? x ? 和 ? ? x ? 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线;若不存在, 请说明理由.

解: (1)因为 F ( x ) ? h ( x ) ? ? ( x ) ? x ? 2 e ln x , x ? 0
2

F ( x) ? 2 x ?
'

2e x

?

2( x ?

e )( x ? x

e)

所以 当x ?
'

????????????1 分

e 时, F ( x ) ? 0
e时 , F ( x ) ? 0 ,此时函数 F ( x ) 递减;
'
'

当0 ? x ? 当
x ?

e时 , F ( x ) ? 0

,此时函数 F ( x ) 递增

??????????4 分

所以当 x ?

e 时, F ( x ) 取极上值,它的极小值为 F ( e ) ? 0 ,无极大值。 ???6 分

6

7


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