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辽宁省五校协作体2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


2015——2016 学年度下学期省五校协作体高二期中考试 数学试题(理科 )
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1 1 ? 的虚部是( ) ? 2 ? i 1 ? 2i 1 1 1 A. B. i C. ? i 5 5 5
1.复数

D. ?

1 5
)

1 2.直线 y= x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b 的值为( 2 A.2 B.ln2+1 C.ln2-1 D.ln2

3. 袋中共有 8 个球,其中 3 个红球,2 个白球,3 个黑球,若从袋中任取 3 个球,则所取 3 个球中至多有 1 个红球的概率是( ) A. 4.

9 14

B.

37 56

C.

39 56

D.

5 7

8 名运动员参加男子 100 米的决赛, 已知运动场有从内到外编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八条跑道, 若指定的 3 名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如:4,5,6) ,则参加比赛的这 8 名运动员安 排跑道的方式有( ) A. 360 种 B.4320 种 C.720 种 D.2160 种 1 2 3 2 5. 设( +x ) 的展开式中的常数项为 a,则直线 y=ax 与直线 y=x 围成图形的面积为( )

x

A.

27 2

B.9

9 C. 2

27 D. 4

6. 设函数 f(x)在 R 上可导, 其导函数为 f′(x), 且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x) 的图象可能是 ( )

1 3 ? i ,且 ( x ? z) 4 ? a0 x 4 ? a1 x 3 ? a2 x 2 ? a3 x ? a4 ,则复数 a 2 ? ( ) 2 2 1 3 A. ? ? B. ? 3 ? 3 3i C. 6 ? 3 3i D. ? 3 ? 3 3i i 2 2
7.若 z ? 8. ( x ? A. ? 20

1 ? 2) 3 的展开式中的常数项为( ) x
B. 19 C. ? 18 D. 21

9.设 f ( x) 是 ( x ?
2

? 2 ? 1 6 ) 展开式的中间项,若 f ( x) ? m x 在区间 ? , 2 ? 上恒成立,则实数 m 的取值 2x ? 2 ?
1

范围是( )

A. [5,??)

B. ( 5 ,??)

C. ( 2 ,5)

D. (5,10)

10.已知在面积为 S 的凸四边形中,四条边长分别记为 a1 , a2 , a3 , a4 ,点 P 为四边形内任意一点,且点 P 到四边的距离分别记为 h1 , h2 , h3 , h4 ,若

a1 a 2 a3 a 4 2S ? ? ? ? k ,则 h1 ? 2h2 ? 3h3 ? 4h4 ? .类 k 1 2 3 4

比以上性质, 体积为 V 的三棱锥的每个面的面积分别记为 S1 , S 2 , S 3 , S 4 ,此三棱锥内任一点 Q 到每个 面的距离分别为 H1 , H 2 , H 3 , H 4 , 若 A.

S1 S 2 S 3 S 4 ? ? ? ?K, 则 H1 ? 2H 2 ? 3H 3 ? 4H 4 ?( 1 2 3 4
2V K
D.



4V K

B.

3V K

C.

V K

11.已知 f ( x) ? ? A.

x ? 3, x ? 1 ? ,则使得 f ( x) ? e x ? m ? 0 恒成立的 m 的取值范围是( ) 2 ?? x ? 2 x ? 3, x ? 1
B.

?? ?,2?

?? ?,2?

C. ?2,???

D. ?2,??? )

12.已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ),则(

1 2 1 C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? ? 2
A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x 2 ) ? ?

B. f ( x1 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0

, ,

1 2 1 f ( x2 ) ? ? 2 f ( x2 ) ? ?

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知函数 f ( x) ? ax ln x, x ? (0,??) ,其中 a 为实数,f′(x)为 f ( x) 的导函数,若 f′(1) ? 3 ,则

a ? __________
1 3 1 1 5 1 1 1 7 1 1 14. 观察下列式子: 1+ 2< , 1+ 2+ 2< , 1+ 2+ 2+ 2< , ……, 根据以上式子可以猜想: 1+ 2+ 2+… 2 2 2 3 3 2 3 4 4 2 3 1 + 2 < ________. 2014 15. 将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡 片放入同一信封,则不同的放法共有________种. 16.有以下命题: ① 若 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? 3x ? 1 没有极值点,则 ? 2 ? a ? 4 ;
3 2

1,2, zi?, i 为虚数单位, N ? ?3,4? , M ? N ? ?4?,则复数 z ? ?4i ; ②集合 M ? ?
③若函数 f ( x ) ?

ln x 1 ? m 有两个零点,则 m ? . x e
2

其中正确的是_____________.

三.解答题:解答 应写出文字说明,证明过程或演算步骤. m2+m-6 2 17.当实数 m 为何值时,复数 z= +(m -2m)i 为

m

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc . 3 4 (1)如果函数 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ? ,求 b 、 c ; 3 1 (2)设当 x ? ( ,3) 时,函数 y ? f ( x) ? c( x ? b) 的图象上任一点 P 处的切线斜率为 k, 2 若 k≤2,求实数 b 的取值范围.
18. 已知关于 x 的函数 f ( x) ? ?

19. 如图所示,抛物线 y ? 1 ? x 与 x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一
2

块矩形地块 ABCD 作为工业用地, 其中 A、 B 在抛物线上, C、 D 在 x 轴上.已知工业用地每单位面积价值为 3a 元 (a ? 0) ,其它的三个边角地块每单位面积价值 a 元. (1)求等待开垦土地的面积; (2)如何确定点 C 的位置,才能使得整块土地总价值最大.

20.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=(-x +ax-3)·e (其中 a 实数,e 是自然对数的底数). (1)当 a=5 时,求函数 y=g(x)在点(1,e)处的切线方程; (2)求 f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值; (3)若存在 ..x1、x2∈[e ,e](x1≠x2),使方程 g(x)=2e f(x)成立,求实数 a 的取值范围.
3
-1

2

x

x

21、已知 ( x ? 1)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? a3 ( x ?1)3 ? ?? an ( x ?1)n , (其中 n ? N ? ) . (1)求 a0 及 S n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ; (2)试比较 Sn 与 n 3 的大小,并说明理由.

22.已知函数 f ( x ) ?

ln( x ? 1) . x

(1)判断 f ( x) 在 (0,??) 的单调性; (2)若 x ? 0 ,证明: (e x ? 1) ln(x ? 1) ? x 2 .

4

2015——2016 学年度下学期省五校协作体高二期中考试 数学(理科)参考答案 一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 A 9 A 10 B 11 D 12 D

二、填空题 三、解答题 17、解
2

13、3

4027 14、 2014

15、18

16、②

? ?m -2m=0 (1)当? ?m≠0 ?

2

,即 m=2 时,复数 z 是实数; -----------3 分

? ?m -2m≠0, (2)当? ?m≠0 ?

即 m≠0 且 m≠2 时,复数 z 是虚数;-------------6 分

m +m-6 ? ? =0 m (3)当? ? ?m2-2m≠0

2

,即 m=-3 时,复数 z 是纯虚数.-------------10 分

18、解:(1)? f ( x) ? ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? bc ? f′(x) ? ? x 2 ? 2bx ? c ,-----------1 分 3

? f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ?

4 ? ? b ? 1 ?b ? ?1 4 ? f (1) ? ? , ?? 或? -----------4 分 3 ,解得 ? 3 ' c ? ? 1 c ? 3 ? ? ? ? f (1) ? 0

当?

? b ?1 2 2 时,f′(x)=﹣x +2x﹣1=﹣(x﹣1) ≤0,f(x)递减,不满足题意; ?c ? ?1 ?b ? ?1 2 时,f′(x)=﹣x ﹣2x+3=﹣(x﹣ 1)(x+3),满足题意. ?c?3

当?

综上可得, b ? ?1, c ? 3 .--------------------6 分 (2)函数 y ? ?

1 3 x ? bx 2 , 3

? f ' ( x) ? ? x 2 ? 2bx ,-------------------7 分
1 2

2 由题意可得 ? x ? 2bx ? 2 在 x ? ( ,3) 时恒成立,

即 2b ? x ?

2 1 在 x ? ( ,3) 时恒成立-------------------9 分 x 2

?x?

2 ? 2 2 ,当且仅当 x= 2 时,取得最小值 2 2 ,-------------------11 分 x

? 2b ? 2 2 ,? b ? 2 .-------------------12 分

5

19、解: (1)S=

?

1 1 4 (1 ? x 2 )dx ? ( x ? x3 ) ? , ?1 ?1 3 3
1

故等待开垦土地的面积为

4 -------------------4 分 3

2 (2)设点 C 的坐标为 ( x, 0) ,则点 B ( x,1 ? x ) 其中 0 ? x ? 1 ,∴ S ABCD ? 2 x(1 ? x2 )

∴土地总价值 y ? 3a ? 2 x(1 ? x ) ? a[ ? 2 x(1 ? x )] ? 4ax (1 ? x ) ?
2 2 2

4 3

4 a, x ? (0,1) ----8 分 3

由 y ' ? 4a(1 ? 3x 2 )=0 得 x ?

3 3 或者x ? ? (舍去) 3 3

并且当 0 ? x ?

3 3 时, y ' ? 0,当 ? x ? 1时,y ' ? 0 3 3

故当 x ?

3 时,y 取得最大值. 3 3 ,0) 时,整个地块的总价值最大. -------------------12 分 3
2 x x

答:当点 C 的坐标为 (

20、解: (1)当 a=5 时,g(x)=(-x +5x-3)·e , g′(x)=(-x +3x+2)·e ,故切线的斜率为 g′(1)=4e, 所以切线方程为:y-e=4e(x-1),即 4ex-y-3e=0. -----------------2 分 (2) 1 f′(x)=lnx+1,令 f′(x)=0,得 x= , e 1 ①当 t≥ 时,在区间(t,t+2)上,f′(x)>0,f(x)为增函数, e 所以 f(x)min=f(t)=tlnt; 1 1 ②当 0<t< 时,在区间(t, )上 f′( x)<0,f(x)为减函数, e e 1 1 1 在区间( ,e)上 f′(x)>0,f(x)为增函数,所以 f(x)min=f( )=- .-----------------6 分 e e e 3 x 2 (3)由 g(x)=2e f(x)可得 2xlnx=-x +ax-3,a=x+2lnx+ , x 3 2 3 ( x ? 1)( x ? 3) 令 h(x)=x+2lnx+ ,h′(x)=1+ - 2= , x x x x2 x h′(x) 1 ( ,1) e - 1 0 (1,e) +
6
2

h(x)

单调递减

极小值(最小值)

单调递增

1 1 3 1 2 h( )= +3e-2,h(1)=4,h(e)= +e+2,h (e)-h( )=4-2e+ <0, e e e e e 3 ∴实数 a 的取值范围为(4,e+2+ ].-----------------12 分 e 21、解: (1)取 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ;-------------2 分 对等式两边求导,得 n( x ? 1) n?1 ? a1 ? 2a2 ( x ? 1) ? 3a3 ( x ? 1) 2 ? ? ? nan ( x ? 1) n?1 , 取 x ? 2 ,则 S n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? n ? 3n?1 .-------------6 分 (2)要比较 Sn 与 n 3 的大小,即比较: 3 n ?1 与 n 2 的大小,
n ?1 2 当 n ? 1 时, 3 ? n ; n ?1 2 当 n ? 2 时, 3 ? n ; n ?1 2 当 n ? 3 时, 3 ? n ;

当 n ? 4,5 时, 3 n ?1 ? n 2 ; 猜想:当 n ? 4 时, 3
n ?1

? n 2 ,下面用数学归纳法证明:

由上述过程可知, n ? 4 时结论成立, 假设当 n ? k ,(k ? 4) 时结论成立,即 3 当 n ? k ? 1 时, 3
( k ?1) ?1
k ?1

? k2,

? 3 ? 3k ?1 ? 3k 2 ,

而 3k 2 ? (k ? 1) 2 ? 2k 2 ? 2k ? 1 ? 2k (k ? 1) ? 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? 1 ? 23 ? 0

? 3k 2 ? (k ? 1) 2
∴ 3( k ?1)?1 ? (k ? 1) 2 , 即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3
n ?1

? n 2 成立.

综上得,当 n ? 1,3 时, S n ? n3 ; 当 n ? 2 时, S n ? n3 ; 当 n ? 4 时, S n ? n3 .---------------------------12 分

x ? ln ? x ? 1? x ? 1 22、解:(1)对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? ,---------1 分 x2
7

令 g ? x? ?

x ? ln ? x ? 1? , x ?1

? g? ? x ? ?

1

? x ? 1?

2

?

1 x ?? ? 0 ---------3 分 2 x ?1 ? x ? 1?

故 g ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的减函数, ? g ? x ? ? g ? 0? ? ? ln1 ? 0 ---------4 分

? f ? ? x ? ? 0 , ? f ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的减函数. ---------5 分
(2)不等式 (e x ?1) ln(x ? 1) ? x 2 等价为
x x ln e x ln ? e ? 1 ? 1? 因为 x , ? ? e ?1 ex ?1 ex ?1 x ln ? x ? 1? ln ? e ? 1 ? 1? 故原不等式等价于 ,---------8 分 ? x ex ?1

ln( x ? 1) x ? x ---------6 分 x e ?1

由(1)知, f ? x ? ?

ln ? x ? 1? 是 ? 0, ?? ? 上的减函数, x
x

故要证原不等式成立,只需证明:当 x ? 0 时, x ? e ? 1, 令 h ? x ? ? ex ? x ?1,则 h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 , h ? x ? 是 ? 0, ?? ? 上的增函数,
x x 所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 x ? e ? 1,故 f ? x ? ? f e ? 1 ,

?

?

x ln ? x ? 1? ln ? e ? 1 ? 1? x 即 ---------12 分 ? ? x x x e ?1 e ?1

8


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