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向量的夹角公式的应用


教育时空_CHARMING

CHINA

向量的夹角公式的应用
南通市高等师范学校(海门校区)杜飞飞 摘要:空间中角的计算一直以来是立体几何教学中的重点也是难点,苏教版《高中数 学》教材选修2中的第三章突出了向量在立体几何中的运用,由于许多教师对传统几何 方法解题根深蒂固,没有清醒地认识到借助于向量的夹角公式可以很方便的避开寻找

角的过程,通过对向量的计算来实现求角与求距离,完全脱离传统的立体几何的理论体

系,因此仍将空间向量知识束之高阁。本文将空间夹角的向量解法作一研讨,着重突出
空间向量对立体几何中的求角的作用。 关键词:立体几何空间向量求角 空间中角的计算一直以来是立体几何教学中的重点也是 难点,苏教版《高中数学》教材选修2中的第三章突出了向量在 立体几何中的运用,由于许多教师对传统几何方法解题根深蒂 固,没有清醒地认识到借助于向量的夹角公式可以很方便的避 开寻找角的过程,通过对向量的计算来实现求角,完伞脱离传 统的立体几何的理论体系,因此仍将空间向量知识束之高阁。 下面将空间夹角的向量解法作一研讨,着重突出空间向量对立 体几何中的求角的作用。 1.运用夹角公式求异面直线所成角 2.用向量的夹角公式求直线与平面所成角 首先求平面的法向量,然后求直线与法向量所成角,再求 其余角就得出答案。 例3.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相

因此直线BE。与DF。所成的角的大小为accros鲁。
1/

垂直,、/虿,AF=1。
求直线DE与平面BEF所成角的 解:建立如图所示的空间直角

式(即向量的数量积)COS‘、b:然求:和i的夹角,这样就
la|.Ibl

首先在异面直线上各取一个向量a、b,应用向量的夹角公

坐标系,点A的坐标为(、/丁,、/丁,
o),点E的坐标为(0,0,1)点D的坐标 为(1,0,0)B(o,1,0)F(、/2,、/2,0)

可以克服传统几何处理方法,不需将两直线通过平移变为相交 直线处理。需要指出的是a和b的夹角可能等于这两条异面直 线的夹角也可能等于这两条异面直线的夹角的补角。注意两条 异面直线的夹角不超过900。(即余弦值为负值的处理方法) 例l:s是正三角形ABC所在平面外一点,SA=SB=SC,且 [ASB=£BSC=£CSA=900,M、N分别是AB和sc的中点,求 异面直线SM与BN所成的角。 解:如图1所示,设正三角形ABC的边长为4a,则SA= SB=SC=2、/2 a,且SM=71 AB=2a,BN=、/SB2+sN2=、/lO a,因

?.?丽一=(一、/丁,O,1),百F=(一、/丁,
、/丁,o),BE(o,一、/丁,1),可求得平面BEF的一个法向量为i=

(1,一1,一、/f)'...cos<百E,->=单,直线DE与平面BEF所成 角的大小为accsin单。
,。●


,—-



3.运用向量的坐标形式及夹角公式求二面角的大小 首先解决的二面角中的两个半平面的法向量。利用两半 平面所在平面的法向量求二面角的大小。必须注意的是当一 个半平面绕着其棱旋转到与另一个半平面重合时,这两个法向

为SM=导(s五+s百),丽=丽一萌,所以丽丽=睾(豇?S—N-S—A?

量的方向一致。此时这两个法向量所成的角等于二面角,否则
它等予二面角的补角。 例4:如图,PA上平面ABC,AC上BC,PA=AC=1,BC=x/2, 求二面角A—PB—C的大小。 解:建立如图3所示的空间直角坐标系,则有A(1,0,0),B

丽+萌?S—N—S—B2)=}弼2,从而c。s<鲡,丽>=素::暹赫=孚 <o'故sM与BN所成的角为sccr0孚。
c A

根据本题条件SA、SB、SC两两互相垂 直,我们也可以考虑以SA、SB、SC分别为

(0,、/丁,0),C(o,0,0),P(1,0,1),可求得PC=、/丁.过c作
CD上PB于D,则D是PB的

图1

坐标轴建立空间直角坐标系用向量的坐标 法求解也比较方便。

例2:在正方体ABCD—A。BlClD,中,E.,F。分别在AIBl,C。DI

中点,可得D(虿1,业2
丁1)。过A作AE J-PB于E,
[]APAB是RtA…贝1.1 EPE矿=



上,且EtB-=}A-B,,D-F1_丁1
小。

Dtc一,

BE?DF-所成的角的大

解:(运用坐标法)设正方体棱长为4,以

D~A。D—C一,D一一DI为正交基底,建立如图所示空间
坐标系D—xyz,蟊El-(O,1,4),BE广西蕾l=15.cos<

嚣=丁1,即点E分面的比
是丁1,从而得E(},土笋,
2009.09●-力中_◆129

BE…DF扛龋‰=静
万方数据

CHARMING

CHINA-教育时空

跨文化交际与高职英语教学
周口科技职业学院 “跨文化交际”的英语名称是“intercultural
communication”

刘春华

背景、风土人情和生活方式。教师在课堂教学中,可以进行一些 “角色扮演”、“创设真实或半真实的情景”等多种形式的活动, 从而创造一种良好的学习外语的交际氛围。例如:教材中,打招 呼的表达方式(Greetings)就有不少。“Nice
to
see

或“CROSS—cultural communication”。它指本族语者与非本族语者 之间的交际。也指任何在语言和文化背景方面有差异的人们 之间的交际。由于不同的民族所处的生态、物质、社会及宗教等 环境不同,因而各自的语言环境产生了不同的语言习惯、社会 文化、风土人情等等诸语境因素。不同文化背景造成人们说话 方式或习惯不尽相同。因此,在交流中,人们总喜欢用自己的 说话方式来解释对方的话语,这就可能对对方的话语做出不准 确的推论,从而产生冲突和故障。 近年来,随着改革开放步伐的加快,对外交往日益频繁, 国与围之间的交流也越来越广泛,特别是社会信息化提高,国际 互联网的开通使更多的人足不出户便涉及到跨文化交际。时代 的变化和要求,使许多语言教师对之表现出浓厚的兴趣,研究这

to

meet you!”“Nice

you!”“How

are

you?”等等。教师应让学生懂得它们的使

用对象,以及使用时的时空意境。比如,模拟这样的情景:在 外地旅游时偶然遇见一位老同学。这时,打招呼可以用:“Hi。
Mary!Nice “Nice
to to¥ee

you

here!What



surprise!”如果学生用:

meet

you!”就不够得体,这句打招呼用语是用在初次

见面时。 笔者认为教师在课堂教学中还应该指导学生注意主要的 语用差异。现将教材中常见的有关跨文化交际教学的主要内容 列举如下: 1.称呼(Addressing)。称呼习惯方面中西习惯也不大一样。 英语国家常把男士称Mr.'女士称为Miss(未婚)或Mrs.(P-婚)。如 果在不明对方是否已婚的情况下,叮用Ms,这是英国女权运动 的产物。需要注意的是:Miss可单独用以称呼女性,Mr.或M8通 常是与自己的姓名或姓连用,而不能单独与名连用;Mrs.只能与 夫姓或自己的姓加夫姓连用。Sir和Madam一般既不与姓,也不 与名连用,而是单独使用。在中国,习惯上有“李同志”、“黄主 任”、“郭校长”、“王经理”“林老师”等称呼,在英美国家除了某 些特定T作头衔,如法官、医生、博士、教授、教士等外,一般是直 呼其名倒觉得亲切、自然。如教材中出现:Good
morning,doctor,

些跨文化交际中的故障问题,对于我们的英语教学确实有着
重大的实际意义。这是因为英语教学不仅是传授语言知识,更 重要的是培养学生的交际能力,培养他们应用英语进行跨文化

交际的能力。仅仅学会一门外语的语音、语法规则和掌握一定
量的词汇并不意味着学会了这f J外语能顺利地进行交际。在跨 文化交际中,交际的双方若不能进入同一文化背景之中,就容易 产生不解或误解,从而使交际失败。正如托马斯Thomas)指出摘

自作者:赖招仁龙岩师专学报1998年9月第16卷第3期):“语
法错误从表层上就能看出,受话者很容易发现这种错误。这种 错误一旦发现。受话者便会认为说话者缺乏足够的语言知识, 因此可以谅解。语用失误却不会被象语法失误一样看待。如果

但如果搬用来称呼教师则不符合英美人士的习惯:Good
morning,teacher Teacher

一个能说一口流利外语的人出现语用失误,他很可能会被认为
缺乏礼貌或不友好。他在交际中的失误便不会被归咎于语言能 力的缺乏,而会被归咎于他的粗鲁或敌意。”高职英语教学目的, 是在中学听、说、读、写的训练的基础上,使学生进一步获得英 语知识和互为交际运用英语的能力,为此高职英语教材进一步 介绍了英语国家的风俗习惯和文化。这就要求广大英语教师要

Lin)。

2.介绍(Introducing)。学习介绍自己和他人,有正式场合与 非正式场合之分。在会场上介绍一位来访嘉宾或重要人物时主 持人说:“It
Professor is with great of pleasure that I introduce
to

you

Wang,president

Beijing University."这样的介绍既

郑重又得体。在非正式场合介绍方式则随便多了。带朋友到家

把跨文化教育列入英语教学一个莺要环节。
笔者认为现行的高职英语新教材不仅具有知识性,而且 还具有趣味性。教材内容贴近学生的生活实际,容易引起学生的

里可这样介绍——“Mum,this
IM like
you to

is

Joan,my classmate,”“Joan。
is my

meet

my family.This

father。…”等。在介

绍两人相识时,一般要注意以下顺序:先男后女;先少后老;先 低后高;先客后主;先小姐后太太;先近后远等。 3.关一fi,(Showing concern).教材中有这样对话:(一个小女孩 问一个老太太)Gid:How
old
are

共鸣。对于这样的好教材,应打破传统意义上每节课只教单词、 发音、语法等应付考试的教学法。打好英语的基础,这些自然很 重要。但是有了一定基础之后,培养学生创造性的交际能力是 现代英语教学所要达到的最终目的。为此j笔者认为在英语课
堂教学中应该采取适当的语言交际教学法。语言交际教学法的

you?Woman:Ah,it's



secret.汉语里可以对任何人发问:“你几岁了?”以表示关心和 亲切;而在英语国家,除了对小孩,人们不轻易问一个成年人特 别是女士或老人的年龄。以免冒犯他人隐私权。所以在跨文化 交际中要避免问以下这些问题:How
married?How much do you make old
are

语言理论基础是它把语言看作是交际。既然语言是作为交际的
一种手段,那么教师就有责任提高学生的跨文化意识。让学生在 学习语言基本知识的基础上,学会了解所学语言国家的文化、

you?Are

you

every

month?What's your

彳3)。.?.EA=(},一二%£,一丢)则E万和百石的夹角大小等于二

面角A—PB—c的大/J、为arccos孚。
向量的夹角公式在立体几何中应用进一步突出了现在数 学的教育理念,使学生更加注重数学的实际应用,实现了数学新 思维的突破。

面角A—PB—c的大小。又cos<EADb=嚣流DC I=亚3
1:t0●-力中国◆2009.09 万方数据

'...二

向量的夹角公式的应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 杜飞飞 南通市高等师范学校(海门校区) 魅力中国 CHARMING CHINA 2009,""(26) 0次

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7.期刊论文 王兴 空间向量的创新应用 -科技资讯2008,""(22)
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8.期刊论文 张孝梅.张建凤 例谈法向量在立体几何计算与证明中的运用 -延边教育学院学报2006,20(3)
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9.期刊论文 陈光立 选修2-1"空间向量与立体几何"教学问答 -中学数学月刊2007,""(11)
问:"空间向量与立体几何"这一章的基本思想是什么? 答:本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想.根据立体几何问题的特点,以适当的方式(例如构建向量、建立空间直角坐标系)用空间向量表示 空间图形中的点、线、面等元素,建立起空间图形与空间向量的联系;然后通过空间向量的运算,研究相应元素之间的关系(平行、垂直和夹角等);最后对 运算结果的几何意义作出解释,从而解决立体几何问题.教科书通过例题,引导学生对解决立体几何问题的三种方法(向量方法、坐标法、综合法)进行比较 ,分析各自的优势,因题而宜作出适当的选择,从而提高综合运用数学知识解决问题的能力.

10.期刊论文 肖玲 例谈以向量为背景的立体几何--对2005年高考立体几何综合题的分析 -黔东南民族师范高等专 科学校学报2006,24(3)
向量融"数"、"形"于一体,是沟通代数与几何的天然桥梁.用向量方法解决立体几何问题,可使立体几何问题代数化,降低难度.立体几何中关于空间角 、空间距离及空间平行和垂直问题是高考考查的重点和热点,本文通过对2005年高考立体几何综合题的分类分析,例谈向量方法在解立体几何综合题中的

应用.

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