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河北省卓越联盟2015-2016学年高二下学期第二次月考数学(理)试题 Word版含答案


高二年级理科数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

2016.4

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设复数 z ? ?1 ? i ( i 为虚数单位) , z 的共轭复数为 z ,则 A. ?1 ? 2i B. ?2 ? i

7

2? z 等于( z



C. ?1 ? 2i

D. 1 ? 2i )

2 8 2.若 ?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a8 x ,则 a1 ? a2 ? ? ? a7 的值是(

A. ?2

B. ?3
n

C. 125

D. ?131 )

3 ? ? 3.已知 ? 2 x ? ? 展开式中各项系数和为 625,则展开式中含 x 项的系数为( x? ?
A. 216 B. 224 C. 240 D. 250

4.分配 4 名水暖工去 3 个不同的居民家里检查暖气管道,要求 4 名水暖工都分配出去,且每 个居民家庭都要有人去检查,那么分配的方案共有( )
3 A. A4 种

B.

3 2 A3 A3 种

C.

2 3 C4 A3 种

1 1 3 D. C4 C3 A3 种

5.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)得到数据如下: 年龄 x 身高 y 6 118 7 126 8 136 9 144

? ? 8.8 x ??a ? ,预测该学生 10 由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为 y
岁时的身高约为( ) A. 154cm B. 153cm C. 152cm D. 151cm

6.学习活动小组由 12 名同学组成, 现将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同的课题, 且每组只研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案共有( 种) A.
3 3 3 C12 C9 C6 4 A4 3 A3

B.

C CC3

3 12

3 9

3 4 6

C.

3 3 3 C12 C9 C6 3 4 4 A4

3 3 3 3 D. C12 C9 C6 4

7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架“歼—15”飞机准备着 舰,如果甲机不能先着舰,而乙机必须在丙机之前着舰(不一定相邻)那么不同的着舰方 法种数为( ) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 8.设 n ? A. 4

?

?

2 0

1? ? 4 sin x ? cos x ? dx ,则二项式 ? ? x ? ? 的展开式中 x 的系数为( x? ?
B. 10 C. 5 D. 6

n



9.已知随机变量 X 服从正态分布 N ?3,1? , 且 P ? X ? 2c ?1? ? P ? X ? c ? 5? , 则 c ?(



A. ?

4 3

B.

?1

C. 0

D.

1


10.设随机事件 A,B 的对立事件为 A, B ,且 P ? A? P ? B ? ? 0 ,则下列说法错误的是( A.若 A 和 B 独立,则 A和B 也一定独立 B. 若 P ? A ? ? P B ? 0.2 ,则 P A ? P ? B ? ? 1.8 C. 若 A 和 B 互斥,则必有 P ? A | B ? ? P ? B | A? D. 若 A 和 B 独立,则必有 P ? A | B ? ? P ? B | A?

? ?

? ?

11.有 5 个大小相同的黑球,编号为 1,2,3,4,5,还有 4 个同样大小的白球,编号为 7,8,9,10, 现从中任取 4 个球,有如下几种变量:① X 表示取出的最大号码;② Y 表示取出的最小号 码;③取出一个黑球记 2 分,取出一个白球记 1 分,? 表示取出的 4 个球的总得分;④ ? 表 示取出的黑球的个数,这四种变量中服从超几何分别的是( A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ )

12. 已 知 定 义 在 R 上 的可 导 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 f ? ? x ? , 满足 f ? ? x ? ? f ? x ? , 且

y ? f ? x ? 1? 为偶函数, f ? 2? ? 1 ,则不等式 f ? x ? ? ex 的解集为(
4 A. ??, e



?

?

B.

? e , ?? ?
4

C.

? ??,0?

D. ? 0, ???

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
1 2 3 n 13. Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ?? 2n?1Cn ?

共 90 分)
.

14.已知随机变量 ? ? B ? 5, ? , 随机变量? ? 2? ? 1 ,则 E ?? ? ?

? 1? ? 3?

.

15.在心连心活动中,5 名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访,每个村子至少 安排 1 名党员,且 A,B 两名党员必须在同一个村子的不同分配方法的总数为 . 16.已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? ? m ? 6? x ? 1 既存在极大值又存在极小值, 则实数 m 的取值
3 2

范围是

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 0—9 共 10 个数字,可以组成以下多少个无重复数字的数. (1)五位数; (2)大于或等于 30000 的五位数; (3)在无重复数字的五位数中,50124 从大到小排第几位?

18.(本小题满分 12 分)

1 ? ? 若 ? 6 x ? 6 ? 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列. x? ?
(1)求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,并说明为什么?

n

19.(本小题满分 12 分) 每逢节假日,在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚,还能增进彼此的感情.2016 年春 节期间,小鲁在自己的微信校友群,向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包,发 放的规则为:每次发放 1 个,每个人抢到的概率相同. (1)若小鲁随机发放了 3 个红包,求甲至少得到 1 个红包的概率; (2)若丁因有事暂时离线一段时间,而小鲁在这段时间内共发放了 3 个红包,其中 2 个 红包中各有 5 元,1 个红包中有 10 元,记这段时间内乙所得红包的总钱数为 X 元,求 X 的 分布列和数学期望.

20.(本小题满分 12 分) 在《奔跑吧兄弟第三季》热播期间,某校一兴趣小组为研究收看《奔跑吧兄弟第三季》 与年龄是否相关,在某市步行街随机抽取了 110 名成人进行调查,发现 45 岁以上的被调查 对象中有 10 人收看,有 25 人未收看,45 岁以下的被调查对象中有 50 人收看,有 25 人未 收看. (1)试根据题设完成,并说明是否有 99.9%的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年 龄有关; (2)采用分层抽样的方法从 45 岁及以上的被调查对象中抽取了 7 人,从这 7 人中任意 抽取 2 人,求至少 2 ? 2 列联表有一人收看《奔跑吧兄弟第三季》的概率.

n ? ad ? bc ? 附参考公式与数据: K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

P ? K 2 ? k0 ?

0.010
6.635

0.005
7.879

0.001
10.828

k0

2 ? 2 列联表:
收看 45 岁及以上 45 岁以下 总计 不收看 总计

21.(本小题满分 12 分)
2 n x?a x 已知 ? 2 x ? 1? ? a0 ? a 1 ( n ? N ? , n 为常数). 2 ? ? ? an x , n

(1)求 a0 ? a1 ? a2 ??? an ;
0 1 2 2 n n (2)我们知道二项式 ?1 ? x ? 的展开式 ?1 ? x ? ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x . ,若该等 n n

式 两 边 对 x 求 导 得 : n ?1 ? x ?

n ?1

1 2 3 2 n n ?1 ? Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? nCn x , 令 x ?1 ,可得

1 2 3 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ?? nCn ? n? 2n ?1. 利用此方法解答以下问题:

① 1a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ; ② 12 a1 ? 22 a2 ? 32 a3 ? ?? n2an .

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f

? x? ?

ax ?

b ? ?c a ? 0 ? 的图象在点 ?1 , f x

?1 ?? 处的切线方程为 y ? x ? 1.

(1)用 a 表示出 b, c; (2)若 f ? x ? ? ln x 在 ?1, ?? ? 上恒成立,求 a 的取值范围.

卓越联盟 2015-2016 学年度第二学期 高二 4 月份理科月考卷答案
1.【答案】C 试题分析:因为

2 ? z 3 ? i ?2 ? 4i ? ? ? ?1 ? 2i ,故选 C. z ?1 ? i 2

2.【答案】C 试题分析:令 x ? 0 ,得 a0 ? 1;令 x ? 1 ,得 ?2 ? a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ,即
7 a1 ? a2 ? ? ? a8 ? ?3 .又 a8 ? (?2)7 C7 ? ?128 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ?3 ? a8 ? 125 ,

故选 C. 3.【答案】A
n 4 试题分析:由题意得: 5 =625=5 ? n ? 4 ,因此

r Tr +1 =C4 (2 x)4?r (

3 4? r 3 r r 3 ) ? C4 (2) 4?r 3r x 2 4? r ?1 2 x , 由 得 r ? 2 , 系 数 为

2 C4 ( 2 ?4)

2

?32

选 A.

2 1 6 .

4.【答案】C 试题分析:由题意得:有个居民家去两名水暖工,其他两个居民家各去一名水 暖工,因此分配的方案共有 5.【答案】B
2 3 C4 A3 种,选 C.

试题分析:由题 x=10 时,易知 y=153,故选 B.

3 3 6.【答案】B 试题分析:根据题意可知,第一组分 3 人有 C12 种选择,第二组分 3 人有 C8 3 3 种选择,第三组分 3 人有 C6 种选择,第四组分 3 人有 C3 种选择;第一组选择一名组长有 3

种选择,第二组选择一名组长有 3 种选择,第三组选择一名组长有 3 种选择,第四组选择一 名组长有 3 种选择;根据分布计数原来,可知满足题目要求的种数有
3 3 3 3 4 3 3 3 4 C12 C9 C6 C3 3 ? C12 C9 C6 3 种,故选 B.

7. 【答案】 D 试题分析: 五架飞机降落位置按顺序编号为 1, 2,3, 4,5 , 五架飞机着舰方法数,
1 可以先从 2,3, 4,5 四个位置选一个让甲降落,有 C4 种可能,再从剩下的四个位置中选 2 个 2 2 让乙丙降落, 由题意有 C4 种可能, 最后还有 2 个位置, 让剩下的 2 架飞机降落有 A2 种可能,

1 2 2 总方法数为 C4 C4 A2 ? 48 .故选 D.

8.【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 : n?

?

?
2 0

(4sin x ? cos x)dx ? (?4cos x ? sin x) 2 ? 5 , 所 以
0

?

1 1 ( x ? ) n ? ( x ? )5 展开式的通项为 x x
2 ? 1? 2 x ? 10x , Tr ?1 ? C5r x5?r ? ? ? ? (?1)r C5r x5?2r ,由 5 ? 2r ? 1 得 r ? 2 ,所以 T3 ? (?1) C5 ? x?

r

即展开式中 x 的系数为 10 ,故选 B. 9.【答案】C 试题分析:由正态分布的性质知 2c ? 1 ? c ? 5 ? 6 ,解得 c ? 0 ,故选 C. 10.【答案】D. 试题分析:A:A 和 B 独立

? P( AB) ? P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? (P( A) ? P(B) ? P( AB)) ? (1 ? P( A))(1 ? P(B)) ? P( A)P(B) ? A 和 B 也一定独立,故 A 正确;
B : ∵ P( A)? P( A)? P( B) ; ? P( B) ? 1 ? 1 ?, 2∴ P( A)? P( B)? 2? 0. 2 ? 1. 8C : ∵

P( A | B) ?

P( AB ) P( AB) , P( B | A) ? ,A,B 互斥,∴ P( AB) ? 0 ,∴C 正确;D:∵ P( B) P( A)

A 和 B 独立,∴ P( A | B) ? P( A) , P( B | A) ? P( B) ,∴D 错误,故选 D. 11.【答案】C 试题分析:超几何分布取出某个对象的结果数不定,也就是说超几何分布的 随机变量为实验次数,即指某事件发生 n 次的试验次数,由此可知③④服从超几何分布.故 选:C.
f ( x) ,研究 g ( x) 的单调性,结合原函数的 ex 性质和函数值,即可求解.∵ y ? f ( x ? 1) 为偶函数,∴ y ? f ( x ? 1) 的图象关于 x=0 对称,

12.【答案】D

试题分析:首先构造函数 g ( x) ?

∴ y ? f ( x) 的图象关于 x=1 对称, ∴ f (2) ? f (0) , 又∵ f (2) ? 1 , ∴ f (0) ? 1 . 设 g ( x) ? ∈R),则 g ?( x) ?
f ?( x)e x ? f ( x )e (e x )2
x

f ( x) (x ex

?

?x f( ) ?f ( ) x , 又∵ f ?( x) ? f ( x) ,∴ f ?( x) ? f ( x) ? 0 ,∴ ex

g ?( x) ? 0 , ∴ y ? g ( x) 单调递减, ∵ f ( x) ? e x , ∴

f ( x) f (0) ) ? 1 , 即 g(x 又∵ g (0) ? 0 ? 1 , ?1, ex e

∴ g ( x) ? g (0) ,∴x>0,故选 D.

13.【答案】

1 n ? 3 ? 1? 2

1 2 2 3 n ?1 n 试题分析: cn ? 2cn ? 2 cn ? ? ? 2 cn ?

1 2 2 3 3 n n 2c1 ? n ? 2 cn ? 2 cn ? ? ? 2 cn ? 2 1 1? 1 n 0 2 2 3 3 n n ? ? 20 cn ? 2c1 ? ? 3n ? 1? ?1 ? 2 ? ? 1? n ? 2 cn ? 2 cn ? ? ? 2 cn ? 1? ? ? ? 2 2 2
7 试题分析:根据二项分布的数学期望及其性质,可得 3 1 5 5 7 E ?? ? ? np ? 5 ? ? , E ? a? ? b ? ? aE ?? ? ? b ? 2 ? ? 1 ? . 3 3 3 3

考点:二项式定理 14. 【 答 案 】

15.【答案】 36

试题分析:把 A, B 两名党员看做一个整体, 5 个人就可看成了 4 个部分,

2 3 每个村子至少有一人, 共有 C4 种方法, 再把这三部分分配到三个村子, 有 A3 种不同的方法,

2 3 根据分步乘法计数原理,不同分分法种数为 C4 ? A3 =36 种.

16. (??, ?3) ? (6, ??) 试 题 分 析 : 因 为

f ?( x) ? 3x2 ? 2mx ? (m ? 6)







? ? 4m2 ? 4 ? 3(m ? 6) ? 0 ? m ? 6或m ? ?3 , 则实数 m 的取值范围是 (??, ?3) ? (6, ??)
17.【答案】 (1)13776; (2)21168; (3)15119 【解析】 试题分析: (1)偶数需满足个位数字为 0,2,4,6,8 中的一个,当各位数字为 0 时前四位 任 意 排 列 , 当 各 位 不 为 零 时 排 前 四 位 要 注 意 满 足 首 位 不 为 0 ;
4 1 1 3 N ? A9 ? C4 C8 A8 ? 13776 .??????3 分

(2)由题意可知最高位从 3,4,5,6,7,8,9 中选取,后四位任意排列;
1 4 N ? C7 A9 ? 21168

?????6 分

(3)中首先确定最高位为 5,6,7,8,9 时的五位数个数,首位是 5 的五位数中 50124 由
1 4 大到小排倒数第二个,排在第 N ? C5 C9 ? 1 ? 15119位 ???10 分

18.【答案】 (1)n=7; (2)不存在 解: (1)由题意可得, ∴ 化简可得,n ﹣9n+14=0 ?6 分 ∵n≥3 (2)无常数项, 其中 时 r=3.5?Z,故不存在 ???????12 分
2

???????3 分

∴n=7

???7 分

19.【答案】 (1)

37 20 ; (2)分布列见解析, . 3 64

试题解析: (1)设“甲至少得 1 红包”为事件 A,由题意得:

1 3 2 1 3 1 3 37 2 3 P(A) ? C1 ? ( ) ? C3 ? ( ) 2 ? ? C3 ? ( )3 ? ( ) 0 ? 3? 4 4 4 4 4 4 64 ?????3 分
另发:用对立事件解 P ( A) ? 1 ? ( ) ?
3

3 4

37 64

(2)由题意知 X 可能取值为 0,5,10,15, 20 .

2 8 P( X ? 0) ? ( )3 ? 3 27 1 2 8 1 P ( X ? 5) ? C2 ? ? ( )2 ? 3 3 27 1 2 2 1 2 P( X ? 10) ? ( ) 2 ? ? ( ) 2 ? ? 3 3 3 3 9 1 2 4 1 P ( X ? 15) ? C2 ? ( )2 ? ? 3 3 27 1 1 P ( X ? 20) ? ( )3 ? 3 27
所以 X 分布列为 ?????8 分

X

0

5

10

15

20

P

8 27

8 27

2 9

4 27

1 27
………………………..10 分

E( X ) ? 0 ?

8 8 2 4 1 20 ? 5? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 27 27 9 27 27 3 ?????12 分。
11 . 21

20.【答案】 (1)表格见解析,有关; (2) 试题解析: (1)2╳2 列连表如下

????2 分 由列联表中的数据,得到 k ?
2

110(10 ? 25 ? 50 ? 25) 2 ? 13.968 ? 10.828 60 ? 50 ? 35? 75

因此,有 99.9% 的把握认为收看《奔跑吧兄弟第三季》与年龄有关.??6 分。 (2)采取分层抽样的方法抽取的 7 人中有 2 人收看,5 人不收看《奔跑吧兄弟第三季》 , 从中任意抽取 2 人由 21 种不同的取法. 记事件 A 为至少有一人收看 《奔跑吧兄弟第三季》 , 基本事件总数为 C 2 ? 21,事件 A 包含的事件数为 C2 ? C2C5 ? 1 ? 10 ? 11,故
2

2

1

1

P( A) ?

1 ? 10 11 ? . 21 21
n

???12 分

2 21.【答案】 (1) ? ?3? ; (2)① 2 n ;② 4n ? 2n

试题解析: (1) a0 ? a1 ? a3 ? ... ? an 即为 (2 x ? 1)n 的各项系数的绝对值之和且绝对值之 和为正数,令 x=-1,则 a0 ? a1 ? a3 ? ... ? an = ? ?3? ;. ??4 分
n

( 2 )对等式两边求导得: 2n(2x ?1)n?1 ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x2 ? ... ? nan xn?1 .令 x=1 得

1a1 ? 2a2 +3a3 ? ... ? nan =2n.????????7 分
( 3 ) 将 2n(2x ?1)n?1 ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x2 ? ... ? nan xn?1 两 边 同 乘 x 得

2n(2 x ?1)n?1 x ? a1x ? 2a2 x2 ? 3a3 x3 ? ... ? nan xn ,??????9 分
两边再对 x 求导:

2n[2(n ?1)(2x ?1)n?2 x ? (2 x ?1)n?1 ] ? a1 ? 22 a2 x1 ? 32 a3 x2 ? ... ? n2an xn?1 ,
2 令 x=1 得 12 a1 ? 22 a2 ? 32 a3 ? ... ? n2an = 4n ? 2n ??????12 分

22.【答案】 (Ⅰ) ?

?b ? a ? 1 ?1 ? ; (Ⅱ) ? , ?? ? . ?2 ? ?c ? 1 ? 2 a
f '( x) ? a ? b x2 ,

试题解析:解: (Ⅰ)

? f (1) ? a ? b ? c ? 0 ? f ?(1) ? a ? b ? 1 , ???????3 分 由题设,则有 ?
解得 ?

?b ? a ? 1 ?c ? ?2 a ? 1

???????????4 分

f ( x) ? ax ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

a ?1 ? 1 ? 2a x ,

g ( x) ? f ( x) ? ln x ? ax ?
令 则 g (1) ? 0 ,

a ?1 ? 1 ? 2a ? ln x x ? ?1, ?? ? x ,

a ? 1 1 ax 2 ? x ? (a ? 1) g '( x) ? a ? 2 ? ? ? x x x2
o?a?
①当

a ( x ? 1)( x ? x2

1? a ) a
????6 分

1 1? a ?1 2, a

1? x ?


1? a a ,则 g '( x) ? 0 , g ( x) 是减函数,

所以,当 x ? ?1 ,

? ?

1? a ? ? 时,有 g ?x ? ? g?1? ? 0 , 即 f ( x) ? ln x , a ?

?1, ?? ? 上不能恒成立. ???????8 分 故 f ( x) ? ln x 在
a?
②当

1 1? a ?1 2 时,有 a

若 x ? 1 ,则 g ??x ? ? 0 , g ?x ? 在 ?1 , ? ?? 上为增函数. 所以,当 x ? ?1 , ? ?? 时, g ?x ? ? g ?1? ? 0 , 故当 x ? 1 时, f ( x) ? ln x . 即 f ( x) ? ln x ,???10 分

?1 ? , ?? ? ? ? ???????12 分 综上所述,所求 a 的取值范围为 ? 2


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