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江西省吉安市第一中学2015-2016学年高一上学期第二次段考数学试题


吉安一中 2015-2016 学年度上学期 第二次段考高一数学试卷 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A ? ?cos 0?, cos 270?? , B ? x | x ? x ? 0 ,则 A ? B 为

?

/>
?

A. ?0, ?1?

B. ??1,1?

C. ??1?

D. ?0?

2.如图所示的韦恩图中,A, B 是非空集合, 定义集合 A ? B 为阴影部分表示的集合, 则 A? B =

A. Cu ? A ? B?

B. A ? ? Cu B ?

C. ?Cu A? ? ?Cu B ?

D. ? A ? B? ? Cu ? A ? B?

4.在 ? ABC 中, A, B, C 为内角,且 sin A cos A ? sin B cos B ,则 ? ABC 是 A.等腰三角形 5.设函数 f ? x ? ? B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

1 cos ?? x ? ? ? 对任意的 x ? R ,都有 2

?? ? ?? ? f ? ? x ? ? f ? ? x ? ,若函数 ?6 ? ?6 ?

?? ? g ? x ? ? 3sin ?? x ? ? ? ? 2 ,则 g ? ? 的值是 ?6?
A.1 B. ?5 或 3 C.

1 2

D.-2

6.函数 f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ?

? ?

?
2

?? ?

??

则这个函数的周期 ? 的部分图像如图所示, 2?

和初相分别是

A. 2, ?

?
3

B. 2, ?

?
6
3

C. ? , ?

?
6

D. ? , ?

?
3

7.函数 f ? x ? ? ln x ? x ? 9 的零点所在的区间为 A. ? 0,1? B. ?1, 2 ? C. ? 2,3? D. ? 3, 4 ?

?? x 2 ? ax ? 5, ? x ? 1? ? 8.已知函数 f ? x ? ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是 , x ? 1 ? ? ? ?x
A. ?3 ? a ? 0 B. ?3 ? a ? ?2 C. a ? ?2 D. a ? 0

9.在 ? ABC 中, 3 ? tan B ? tan C ? ? tan B tan C ? 1 ,则 sin 2 A A. ?

3 2

B.

3 2

C.2

D.

1 2

10.化简 sin 50 ? 1 ? 3 tan10 ? 的结果是

?

?

A.1

B.

3 2

C.2

D.

1 2

11.若角 ? 终边上有一点 P 的坐标为 ? 2sin3, ?2cos3? ,则 ? 可能是 A.3 B. 3 ?

? 2

C. 3 ?

? 2

D. ? ? 3

2 2 12.关于 x 的方程 x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题:①存在实数 k ,使得方程恰

?

?

有 2 个不同的实根;②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根;③存在实数 k ,使得方程 恰有 5 个不同的实根;④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根; A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.已知集合 A ? x | log 2 x ? 2 , B ? ? ??, a ? ,若 A ? B 则实数 a 的取值范围是 ? c, ?? ? ,其 中c ? 14.定义区间 ? a, b? 的长度为 b ? a ,区间 ?0, m? 在映射 f : x ? 2 x ? m 所得的对应区间为

?

?

? a, b? ,若区间 ? a, b? 的长度比区间 ?0, m? 的长度大 5,则 m ?
15.已知 tan ? ?

1 2 ,则 sin ? ? sin 2? 的值是 2

16.下列说法正确的序号是 ⑴第一象限角是锐角; ⑵函数 y ? log 1 x 2 ? 2 x ? 3 的单调增区间为 ? ??, ?3? ;
2

?

?

⑶函数 f ? x ? ? cos x 是周期为 2? 的偶函数; ⑷方程 x ? tan x, x ? ? ?

? ? ?? , ? 只有一个解 x ? 0 ? 2 2?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(满分 10 分)已知 f ? x ? ? (I)判断 f ? x ? 的奇偶性; (II)求 f ? x ? 的值域. 18.已知函数 f ? x ? ? ? cos x ? sin x ? 1
2

2x ?1 . 2x ? 1

(I)求函数 f ? x ? 的最小值; (II)若 f ?? ? ?

5 ,求 cos 2? 的值. 16

19.已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? , ?? ? 0,0 ? ? ? ? ? 为偶函数,且

A? x1,1? , B ? x2 , ?1? , x1 ? x2 的最小值是
(I)求 f ? x ? ;

? . 2

(II)用五点法画 f ? x ? 一个周期内的图像.

20.已知函数 g ? x ? ? ax ? 2ax ?1 ? b ? a ? 0? 在区间 ? 2,3? 上有最大值 4 和最小值 1,设
2

f ? x? ?

g ? x? . x

(I)求 a , b 的值;
x x (II)若不等式 f 2 ? k ? 2 ? 0 在 x ?? ?1,1? 上有解,求实数 k 的取值范围.

? ?

21.已知函数 2sin ?

2

?? ? ? x ? ? 3 cos 2 x . ?4 ?

(I)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (II) 若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 2 在 x ? ?0,

? ?? 上有两个不同的解, 求实数 m 的取值范围. ? 2? ?

22.某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示) , ABCD 是一个标出为

50m 的正方形地皮,扇形 CEF 是运动场的一部分,其半径为 40m ,矩形 AGHM 就是拟建

? 上,设矩形 AGHM 的面积为 S , 的健身室,其中 G , M 分别在 AB 和 AD 上, H 在 EF
?HCF ? ? .

? 的何处时,该健身室的面积最大,最大面 (I)请将 S 表示为 ? 的函数,并指出当点 H 在 EF
积是多少? (II)由上面函数建立的思想,试求 f ? x ? ? x 4 ? x 的最大值.
2

高一数学段考二参考答案 一、选择题 CDDDD DCBBA BA

12.试题分析: x ? 1 ? x ? 1 ? k ? 0 ? k ? x ? 1 ? x ? 1 ,设
2 2 2 2

?

?

2

?

?

2

f ? x ? ? x 2 ? 1 ? ? x 2 ? 1?

2

? f ? ?x ? ? f ? x ? ,所以函数为偶函数;考虑 x ? 0 时函数性质,设

? ? 6 ? ? 6? 2? 2 ? ?1, 2 ? ? ,减区间为 ? ? 2 , ?? ? ? ,同理可得 f ?t ? ? ?t ? t ?t ? 0? 是函数增区间为 ? ? 0, 2 ? ?, ? ? ? ? ? ?
减区间为 ?

? 2 ? ? 2 ,1? ? ,? f ? ?

? 2? ? 6? R ? f ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ,结合函数单调性和奇偶性可得到函数在 上的函 ? ? ? ?

数图像如下:

由图像可知四个命题都是真命题,故选 A. 二、填空题: 13. 4 14. 5 15.

?

3 5

16. ⑵⑷

17.(I) f ? x ? 的定义域为 ? ??, ??? 因为 f ? ? x ? ?

2? x ? 1 1 ? 2 x ? ? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 为 2? x ? 1 1 ? 2 x

R 上的奇函数;

(II) f ? x ? ?

1 2x ?1 2 x x ?1 ? 1? x ,? 2 ? 0 ? 2 ? 1 ? 1? 0 ? x x 2 ?1 2 ?1 2 ?1

??2 ? ?

2 2 ? 0 ??1 ? 1 ? x ? 1,??1 ? f ? x ? ? 1 ,所以 f ? x ? 值域为 ? y | ?1 ? y ? 1 . 2 ?1 2 ?1
x

1? 1 ? 18.(I)因为 f ? x ? ? ? cos x ? sin x ? 1 ? sin ? sin x ? ? sin x ? ? ? ,又 sin x ??? 1 ,1 ? , 2? 4 ?
2 2

2

所以当 sin x ?

1 1 时,函数 f ? x ? 的最小值为 ? ; 4 2

(II)由(I)得 ? sin ? ?

? ?

5 1? 1 5 1? 9 ? ? ? ? , 所以 ? sin ? ? ? ? ,所以 sin ? ? 4 (舍)或 2 ? 4 16 2 ? 16 ?

2

2

sin ? ? ?

1 4
2 2

? 1? 7 又 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? 4? 8
19.(I) f ? x ? ? cos 2 x, ? ? (II)列表

?
2

,? ? 2

2x

0 0 1

x
f ? x?

? 2 ? 4
0

?
? 2
-1

3? 2 3? 4
0

2?

?
1

f ? x ? 在 x ??0, ? ? 上的图像简图如图所示.
20.(I) g ? x ? ? a ? x ? 1? ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ? x ? 在区间 ? 2,3? 上是增函数故
2

? ?a ? 1 ? g ? 2? ? 1 ,解得 ? ; ? b ? 0 g 3 ? 4 ? ? ? ? ?
2 (II)由(I)得 g ? x ? ? x ? 2x ? 1,由已知可得 f ? x ? ? x ?
2

1 ? 2 ,所以 f ? 2 x ? ? k ? 2 x ? 0 x

可化为 2 ?
x

1 1 ?1? ?1? ? 2 ? k ? 2 x ,化为 1 ? ? x ? ? 2 ? ? x ? ? k ;令 t ? x ,则 k ? t 2 ? 2t ? 1 ,因 x 2 2 ?2 ? ?2 ?

为 x ?? ?1,1? ,故 t ? ? , 2? ,记 h ? t ? ? t ? 2t ? 1,因为 t ? ? , 2? ,故 h ? t ?min ? 1 ,所以 k 2 2
2

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

的取值范围是 ? ??,1? .

21.(I)由 f ? x ? ? 2sin 由 2 k? ? 为 ? k? ?

2

?? ? ? ? x ? ? 3cos2 ?4 ?

x 1 ?sin2 ?

x 3cos2 ?

1 2sin x? 2 ?

?? ? ? x? ?, 3? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k? ?

5? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 所以函数的单调递增区间 12 12

? ?

5? ?? k? ? ? , k ? Z ; 12 12 ?

(II)由 f ? x ? ? m ? 2? f ? x ? ? m ? 2 ,当 x ? ?0,

? ? ? 4? ? ? ?? 时, 2 x ? ? , ? ,由图像得 3 ? ? 2? ? ?3 3 ?

f ? 0 ? ? 1 ? 2sin

?
3

? 1 ? 3 ,函数 f ? x ? 的最大值为 3,? 要使方程 f ? x ? ? m ? 2 在

? ?? ? ?? x ? ?0, ? 上有两个不同的解,则 f ? x ? ? m ? 2 在 x ? ?0, ? 上有两个不同的解,即函数 ? 2? ? 2? ? ?? f ? x ? 和 y ? m ? 2 在 x ? ?0, ? 上有两个不同的交点,即 ? 2?

1 ? 3 ? m ? 2 ? 3? 3 ?1 ? m ? 1 .
22.(I)延长 GH 交 CD 于 N ,则 NH ? 40sin ? , CH ? 40cos ? ,

? HM ? ND ? 50 ? 40cos ? , AM ? 50 ? 40sin ? ,故 S ? ?50 ? 40cos? ??50 ? 40sin ? ?

?? ? ? 100 ? ? 25 ? 20 ? sin ? ? cos ? ? ? 16sin ? cos ? ? ??0 ?? ? 2 ? . ? ?
令 t ? sin ? ? cos ? ?

t 2 ?1 ?? ? ,且 t ? ?1, 2 ? 2 sin ?? ? ? ,则 sin ? cos ? ? ? ? 2 4? ?
2

2 ? 5? ? S ? 100 ?25 ? 20t ? 8 ? t ? 1? ? ? 800 ? t ? ? ? 450 ? ? ? 4?

又 t ? ?1, 2 ? ,? 当 t ? 1 时, Smax ? 500 ,此时 2 sin ? ? ?

?

?

? ?

??

?? 2 ? ? ? 1 ? sin ?? ? ? ? 4? 4? 2 ?

?

?
4

?? ?

?
4

?

3? ? ? 3? ? ?? ? ? 或 ,即 ? ? 0 或 ? ? ; 4 4 4 4 2

(II)设 x ? 2cos ? , ? ??0, ? ? ,三角换元则函数化为

y ? 2cos ? ? 4 ? ? 2cos ? ? ? 2cos ? ? 2sin ? ? 2sin 2? ,? ymax ? 2 .
2


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