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广东省清远市2013届高三质量检测数学理科卷8


广东省清远市 2013 届高三质量检测数学理科卷 8
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

i3 1.设复数 z ? 1 ? i, 则 等于 z
A.

( C. ?



1 1 ? i 2 2



B.

1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2

D. ?

1 1 ? i 2 2

2.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的 左 、 右 焦 点 为 F1 、 F2 , 若 点 P 在 双 曲 线 上 , 且 PF ? PF2 ? 0 , 则 1 16 9
) B 10 C 8 D.

| PF1 ? PF2 |? (
A 11

2 7

3.幂函数 y ? f (x) 的图象经过点 (4, ), 则f (2) ( )

1 2

A.

1 4

B. ?

1 2

C.

2 2

D. 2

4.在直线 AB 上,点 A 的坐标是(1,2) ,向量 AB ? (2,?1) ,则直线 AB 的方程为( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 0



5.已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c, 且A ?

?
3

, a ? 3 , b ? 1 ,则角 B 等于


( A.

? 2

B.

? 6

C.

5? 6

D.

?
6



5? 6
( ) 开始

6.已知 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m ? n, n ? ? , 则m ? ? C.若 ? ? ? , m ? ? , 则m ? ? B.若 m // n, n ? ? , 则m // ? D.若 ? // ? , m ? ? , 则m // ?

i ? 1, s ? 0

i ? i ?1

7.若按照右侧程序框图输出的结果为

( )
·1·

s ? s ? i2
i?7


A.90

B.91

C.92

D.93

8.已知

0 ? a ? 1,0 ? b ? 1, 则 函数f ( x) ? x 2 loga b ? 2 x logb a ? 8
( ) C.

的 图象恒在 x 轴上方的概率为

1 A. 4
二 填空:

3 B. 4

1 3

D.

2 3

9.一个几何体的三视图如图所示,主视图、左视图、俯视图 均为腰长为 1 的等腰直角三角形,则其外接球的表面积 为 。 10.已知在四面体 A—BCD 中,各棱长均为 1, 点 E 是线段 BC 的中点,则 AE ? CD 等于 11、在 ? x ? 。

? ?

2? ? 的二项展开式中, x?

5

x3 的系数是_______________. (用数字作答)
?x ? 1 ? 12、已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? y ? 1 , ?x ? y ?1 ? 0 ?

那么 x2 ? y2 的最大值等于 13 不等式 2 x ? x ? 1 ? 2 的解集是______________ 14、已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos? ? 1, ( ? 为参数), 则点 P?4, 4? 与 ? y ? sin ?

M A B D N

圆 C 上的点的最远距离是 15、如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,BC 是直径, MN 切⊙ O 于 A, ?MAB ? 25 ,则 ?D ?
?

O C



解答(要求有必要的推理过程)

16. (本题满分 12 分)

·2·

已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),(A>0,ω >0,∣φ ∣< 所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值.
-1 y 2 1 0 -2

? ,x∈R)的图象的一部分如下图 2

1

2

3

5

x

17 (本题满分 12 分) 已知盒子中有 4 个红球,n 个白球,若从中一次取出 4 个球,其中白球的个 数为 X,且 E ( X ) ?

12 . 7

(I)求 n 的值; (II)若从中不放回地逐一抽取,取到所有白球则停止抽取。在前 3 次取球中恰取到 1 个白球的 条件下,共需取球 Y 次,求 Y 的分布列和 E(Y) 。

18(本小题满分 14 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。

A

D

·3·
B

O E C

19、 (本题满分 14 分)如图,椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只 a2 b
3 2
1 2
.

有一个公共点 T,且椭圆的离心率 e= (Ⅰ)求椭圆方程;

2 (Ⅱ)设 F、F 分别为椭圆的左、右焦点,求证: | AT | = | AF1 || AF2 | 。

20. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {a n }满足 : a1 ?

1 3 , a 2 ? ,2a n ? a n ?1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N * ), 数列{bn } 满 足 : 4 4

b1 ? 0,3bn ? bn?1 ? n(n ? 2, n ? N * ),数列 bn }的前n项和为S n . {
(I)求证:数列 {bn ? a n }为等比数列; (II)求证:数列 {bn } 为递增数列;
·4·

(III)若当且仅当 n ? 3时, S n 取得最小值 求b1 的取值范围。 ,

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

2x 1 , g ( x) ? ax 3 ? a 2 x(a ? 0). 3 x ?1
2

(I)当 x ? [0,3]时, 求f ( x) 的值域; (II)对于任意 x1 ? [0,3], 总存在 x 2 ? [0,3], 使f ( x1 ) ?

1 g ( x 2 ) 成立,求实数 a 的取值范围。 6

参考答案
一 选择:
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 B 8 D

二 填空: 9

3?

10

?

1 4

.

11

-10
·5·

.

12

2

13

1 x ? ? ,0 ? x ? 1 3

.

14

6

15

.115

0



解答:
2?

16.解: (1)由图象 A=2,周期 T=8 ? T ? 又图象经过点(-1,0)? 2 sin( ?
? | ? |?

?

? 8 ?? ?

?
4

?
4

? ?) ? 0 x?

?
2

?? ?

?
4

? f ( x ) ? 2 sin(

?
4

?
4

)

……5

分 (2)y=f(x)+f(x+2)
? 2 sin(

?
4

x?

?
4

) ? 2 sin(

?
4

x?

?
2

?

?
4

) ? 2 sin(

?
4

x?

?
4

) ? 2 cos(

?
4

x?

?
4

)

? 2 2 sin(

?
4

x?

?
2

) ? 2 2 cos

?
4

x

∴y=f(x)+f(x+2)的最大值为 2 2 ,最小值为 ?2 2
17.解: (I)? X 服从超几何分布

? E( X ) ? 4 ?

n 12 ? 4?n 7
3分
2 A2 1 ? , 2 A4 6

?n ? 3

(II) P(Y ? 5) ?

………… 5 分

P(Y ? 6) ?

1 1 2 C2 ? C2 ? A2 1 ? , …………………… 7 分 3 3 A4

1 3 C2 ? A3 1 P(Y ? 7) ? ? 4 2 A4

…………………… 6 7

9分

Y P …………10 分

5

1 6

1 3

1 2

? E (Y ) ? 5 ?

1 1 1 19 ? 6? ? 7? ? 6 3 2 3

…………………………

12 分

18(I)略 (II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC
·6·

? 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 ?OME 中,
EM ? 1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

? OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,? OM ?

? cos ?OEM ?

2 , 4

? 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为

2 4

(III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .

?VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S?ACD ? . AO.S?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,

1 2 7 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? . 2 2 2
而 AO ? 1, S?CDE ?

1 3 2 3 ? ?2 ? , 2 4 2

3 AO.S ?CDE 1? 2 21 ?h ? ? ? . S ?ACD 7 7 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离为
方法二: (I)同方法一。

21 . 7

(II)解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0), D(?1,0,0),

??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2
·7·

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? BA.CD 2 ? cos ? BA, CD ?? ??? ??? ? , ? ? 4 BA CD
? 异面直线 AB 与 CD 所成角
的大小为 arccos

z

A

2 . 4
x B

D O E C y

? (III)解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则 ? ???? ?n. AD ? ( x, y, z ).(?1, 0, ?1) ? 0, ? ? ? ???? ?n. AC ? ( x, y, z ).(0, 3, ?1) ? 0, ?

? x ? z ? 0, ? ?? ? 3 y ? z ? 0. ? ? 令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量。
又 EC ? (? ,

??? ?

1 3 , 0), 2 2
x ? y ?1 2

? 点 E 到平面 ACD 的距离
19 解: (Ⅰ)过 A、B 的直线方程为

? x2 ? y 2 ?1 ? 2 ? a ? b2 因为由题意得 ? 有惟一解。 1 ? y ? ? x ?1 ? ? 2
2 即 (b ?

1 2 2 a ) x ? a 2 x ? a 2b 2 ? 0 有惟一解, 4
2 2 2 2

所以 ? ? a b (a ? 4b ? 4) ? 0(ab ? 0), , 故 (a ? 4b ? 4) ? 0 ……………………2 分
2 2

又因为 c ?

a 2 ? b2 3 3 ? , ,即 a2 4 2

2 2 所以 a ? 4b

2 2 从而得 a ? 2, b ?

1 , 2
·8·

故所求的椭圆方程为

x2 ? 2 y 2 ? 1 .………………6 分 2
6 , 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 c ?

所以 F1 (?

6 6 , 0), F2 ( , 0) …………………………8 分 2 2

? x2 ? y 2 ?1 ? 2 ? a ? b2 由 ? 解得 x1 ? x2 ? 1, ,……………………10 分 ? y ? ? 1 x ?1 ? ? 2
因此 T ? (1, ) . 从而 AT
2

1 2

?

5 , 4 5 1 2 , 所以 AT ? AF1 ? AF2 2 2
……14 分

因为 AF1 ? AF2 ?

20.解: (I)? 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N * )

?{an } 是等差数列
又? a1 ?

1 3 , a2 ? 4 4

1 1 2n ? 1 ? (n ? 1) ? ? ……………… 2 分 4 2 4 1 n ? bn ? bn ?1 ? (n ? 2, n ? N * ) 3 3 1 n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 1 1 2n ? 1 ? bn ?1 ? a n ?1 ? bn ? ? ? bn ? ? (bn ? ) 3 3 4 3 12 3 4 1 ? (bn ? a n ) …………………… 5 分 3 1 又? b1 ? a1 ? b1 ? ? 0 4 1 1 ?{bn ? a n }是b1 ? 为首项,以 为公比的等比数列 ……………… 7 分 4 3 1 1 n ?1 2n ? 1 (II)? bn ? a n ? (b1 ? ) ? ( ) , a n ? 4 3 4 1 1 2n ? 1 ? bn ? (b1 ? ) ? ( ) n ?1 ? 4 3 4 ? an ?
·9·

当 n ? 2时, bn ? bn ?1 ? 又 b1 ? 0

1 2 1 1 ? (b1 ? )( ) n ? 2 2 3 4 3

? bn ? bn?1 ? 0
……………… 10 分

?{bn } 是单调递增数列

(III)?当且仅当n ? 3 时, S n 取最小值

?b3 ? 0 ?? ………………………………11 分 ?b4 ? 0

1 1 2 ?5 ? 4 ? (b1 ? 4 )(3 ) ? 0 ? , ………………………………13 分 即? ? 7 ? (b ? 1 )(1 ) 3 ? 0 1 ?4 4 3 ?

?b1 ? (?47,?11)
21.解: (I) f ?( x) ?

……………………

14 分

2 ? 2x 2 2(1 ? x)(1 ? x) ? 2 2 ( x ? 1) ( x 2 ? 1) 2
(0,1) + 1 0 1 (1,3) 3

x
f ?(x)

0

f (x)

0

3 5

?函数f ( x)的值域为0,1] [

……………… 4 分

(II)设 x ? [0,3] 时,函数 y ?

1 g ( x) 的值域为 A, 6

? 对于任意x1 ? [0,3] ,
总存在 x 2 ? [0,3], 使f ( x1 ) ?

1 g ( x2 ) 6

?[0,1] ? A

? g ?( x) ? ax2 ? a 2 ? a( x 2 ? a)
(1)当 a ? 0时, x ? (0,3) 时,

g ?( x) ? 0,函数g ( x)在(0,3) 上单调递减,
·10·

? g (3) ? g ( x) ? g (0)
? g (0) ? 0

?不满足[0,1] ? A
(2)当 a ? 0 时,

…………………………8 分

g ?( x) ? a( x ? a )(x ? a ),
令 g ?( x) ? 0,

? x1 ? a或x2 ? ? a (舍去)
①当 0 ?

a ? 3,即0 ? a ? 9 时,列表如下:
0

x
g ?(x )

(0, a )
0

a

( a ,3)
+

3

g (x)

0

?

2 2 a a 3

9a ? 3a 2

? g (0) ? 0, g ( a ) ? 0, 若 [0,1] ? A ,
1 1 g (3) ? (9a ? 3a 2 ) ? 1 6 6 ?1 ? a ? 2 ……………………………… 11 分
则 ②当 a ? 3,即a ? 9 时, x ? (0,3) 时,

g ?( x) ? 0, 函数 g ( x)在(0,3) 上单调递减 ? g (3) ? g ( x) ? g (0) ? g (0) ? 0,

?不满足[0,1] ? A

…………………… 13 分 ………………………… 14 分

综上,实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2.

·11·


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