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【数学联赛】高一全国数学联赛暑期班讲义:第9讲平面几何(二)(学生版)


第九讲 平面几何技巧(二)

名人名言

希尔伯特

我们必须知道,我们必将知道. 这是 1930 年希尔伯特(D· Hilbert,1862~1943,德国数学家)在科尼斯堡讲演的最后一句 话,题为《认识自然和逻辑》 .无论从哪个角度看,这都是伟大而有决定意义的诗句,表 达了数学家探索数学的决心和信心. 正如 1962

年库朗 (R.Courant,1988~1972,德国数学家) 在纪念希尔伯特诞生 100 周年大会上发表的演讲“我确信,希尔伯特那具有感染力的乐观 主义,即使到今天也在数学中保持着它的生命力.唯有希尔伯特精神,才会引导数学继往 开来,不断成功. ”此外 1900 年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学 问题》的演讲.他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了 23 个最 重要的数学问题.这 23 个问题被称为“希尔伯特问题” ,称为许多数学家力图攻克的难关, 对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响并积极地推动作用. 希尔伯特是一位正直的数学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗 宣传而发表的《告文明世界书》上签字.战争期间,他敢于公开发表文章悼念“敌人的数 学家”达布(Darboux,1842~1917,法国数学家) .希特勒上台后,他抵制并上书反对纳 粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策.由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被 迫移居外国,曾经盛极一时的哥廷根学派衰落了,希尔伯特也于 1943 年在孤独中逝世.然 而,希尔伯特的精神却在历史深处发出永远的回响,那就是他在科尼斯堡演说的最后一句 话:我们必须知道,我们必将知道. 知识点拨
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直线共点也是平面几何中的典型问题,也常从角、线、形、有关结论等几个方面去考虑. 1.先设其中的两条直线交于某点,再证这个交点在第三、第四……条直线上; 2.欲证直线 l1 , l2 , ?, lk 共点,先在 li 上取一特殊点,再证其余直线都过此点; 3.设法证两两相交直线的交点重合; 4.运用三角形的巧合点(三角形的五心)证直线共点; 5.注意到特殊图形或多边形的中心的性质,证直线共点于图形中的特殊点; 6.运用旋转、对称等变换的保结合性证明直线共点; 7.运用赛瓦定理之逆定理证直线共点; 8.运用反证法等证明直线共点.

例题精讲

C? . 【例1】 设 O 是 △ ABC 内一点, 点 O 关于 ?A , 证 ?B ,? C 的内平分角线的对称点分别为 A? ,B? ,

明: AA? , BB? , CC ? 相交于一点.
A

C' B' O B A'

C

【例2】 如图, 设平面上两不相等的圆 O1 和圆 O2 相交于 A ,B 两点, 又设两外公切线分别切圆 O1 于 P1 ,
Q1 ,切圆 O2 于 P2 , Q2 .而 M 1 , M 2 分别为 PQ 2Q2 的中点,分别延长 AM1 , AO1 交圆 O 1 2,P 1

于 C , E ,分别延长 AM 2 , AO2 交圆 O2 于 D , F .求证: AB , EF , CD 三线共点.

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P1

A Q 1

O1 M 1 B C P2

O2

M2

E

F Q2

D

【例3】 如图,已知等圆 O1 与圆 O2 交于 A , B , O 为 AB 中点,过 O 引圆 O1 的弦 CD 交圆 O2 于 P , 过 O 引圆 O2 的弦 EF 交圆 O1 于 Q .求证: AB , CQ , EP 三线交于一点.
C P O1 F B D O2 A Q E

【例4】 如图,设 △ ABC 为锐角三角形, H 为自 A 向边 BC 所引高的垂足,以 AH 为直径的圆,分别 交边 AB , AC 于 M , N (且与 A 不同) ,过 A 作直线 LA 垂直于 MN .类似地作出直线 LB 与
LC .证明: LA , LB , LC 共点.

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A

LC N M B H LA E

LB

C

【例5】 如图,四边形 ABCD 内接于圆 O ,对角线 AC 与 BD 相交于 P ,设 △ ABP , △ BCP , △CDP 与 △ DAP 的外心分别是 O1 , O2 , O3 , O4 .求证: OP , O1O3 , O2O4 三直线共点.
D O3 P O4 O O1 A B O2 C

【例6】 已知 △ ABC 的重心为 G ,证明 AG, BG, CG 分别关于 ?A, ?B, ?C 的角平分线对称的三条直线 交于一点 P .

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【例7】 在凸六边形 ABCDEF 中,对角线 AD , BE , CF 中的每一条都将六边形分成面积相等的两部分, 求证:这三条对角线交于一点.

大显身手 1. 如图,圆 O 内切于 △ ABC , A1 , B1 ,C1 分别为 BC , CA , AB 边上的切点. AO , BO ,CO 分别交圆于 A2 , B2 , C2 .求证: A1 A2 , B1B2 , C1C2 共点.
A C1 O B B2 A1 C2 A2 B1 C

2.

如图,一圆交 △ ABC 的边 BC , CA , AB 分别于 A1 与 A2 , B1 与 B2 ,C1 与 C2 ,如果由点 A1 , B1 , C1 分别引 BC , CA , AB 的垂线相交于一点,则过点 A2 , B2 , C2 的垂线也相交于一点.

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A C2 B1 C1 B P A1 B2 A2 C

O

3.

已知 ?ABC 的外心为 O , ?A ? 90? , P 为 ?OBC 的外接圆上且在 ?ABC 内部的任意一点,以
OA 为直径的圆分别与 AB , AC 交于点 D , E , OD , OE 分别与 PB , PC 或其延长线交于

点 F , G ,求证 A , F , G 三点共线.
A

D

F O

E

G P B

C

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