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响水中学2013-2014学年高二上学期数学学案:《第11课时 函数模型及其应用》


一、 【基础训练】 2 1、计算机的价格大约每 3 年下降 ,那么今年花 8 100 元买的一台计算机,9 年后的价格大 3 约是________元. 2、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2 =2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大利 润为________. 3 3

、某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每月用水不超过 10m ,按每立方米 1 元 3 收取水费;每月用水超过 10 m ,超过部分加倍收费,某职工某月缴费 16 元,则该职工这个 月实际用水为 。 4、一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液 中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》 规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员, 至少经过________小时,才能开车?(精确到 1 小时) 5、左方图形的面积为 S,则函数 S=f(t)的大致图象为 .

二、 【重点讲解】 1.几种常见函数模型 (1)一次函数模型:y=kx+b(k、b 为常数,k≠0); k (2)反比例函数模型:y= +b(k、b 为常数,k≠0); x 2 (3)二次函数模型:y=ax +bx+c(a、b、c 为常数,a≠0); (4)指数函数模型:y=kax+b(k、a、b 为常数,k≠0,a>0 且 a≠1); (5)对数函数模型:y=mlogax+n(m、n、a 为常数,m≠0,a>0 且 a≠1); (6)幂函数模型:y=axn+b(a、b、n 为常数,a≠0,n≠0); k (7)分式函数模型:y=x+ (k>0); x (8)分段函数模型. 2.解应用题的方法和步骤用框图表示如下:

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三、 【典题拓展】 例 1. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与 x2 年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量 5 最大为 210 吨.(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少?

变式训练 1 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出, 当每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆。 租出的车每辆每月需要 维护费 150 元,未租出的车每辆每月需维护费 50 元,二者都由租赁公司支付。 (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

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例 2.气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示, 过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴的垂线 l, 梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km).

(1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

变式训练 2 通过研究学生的学习行为, 心理学家发现, 学生接受能力依赖于老师引入概念和 描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴 趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f (x)表示学生 掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越强),x 表示提出和讲授概念的时间 (单位:分),可以有以下公式:

? ?-0.1x +2.6x+43 (0<x≤10) (10<x≤16) f(x)=?59 ?-3x+107 (16<x≤30) ?
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少分钟? (2)开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分钟的时间,老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

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1 例 3.现有某种细胞 100 个,其中有占总数 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分 2 裂成 2 个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时,细胞总数可以超过 1010 个? (参考数据:lg 3=0.477,lg 2=0.301)

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四、 【训练巩固】 1、一批设备价值 1 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 50%,则 3 年后这批设备 的价值为______________(万元) (用数字作答). 2、某工厂生产 A,B 两种成本不同的产品,由于市场变化,A 产品连续两次提价 20﹪,同时 B 产品连续两次降价 20﹪,结果都以每件 23.04 元售出,若同时出售 A,B 产品各一件, 则 (填“盈”或“亏” ) 元. 3、一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元,此外每生产 1 件该产品还需要增加 投资 1 万元, 年产量为 x ( x ? N ) 件.当 x ? 20 时, 年销售总收入为 ( 33x ? x 2 ) 万元; 当 x ? 20 时,年销售总收入为 260 万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元,则 y (万元)与 x (件)的函数关系式为 ,该工厂的年产量为 件时,所得年 利润最大.(年利润=年销售总收入 ? 年总投资) 4、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能 源消耗费用 C (单位: 万元) 与隔热层厚度 x (单位: cm) 满足关系: C (x) =
?

k (0 ? x ? 10). 3x ? 5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值.

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