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2014年广州市一模数学试题及答案(理科)


试卷类型:A

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2014.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、 县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型 (A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上 要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂的,答 案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3
n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

?n ? N ? .
*

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,若 ? m ? i ? ? 3 ? 4i ,则实数 m 的值为
2

A. ?2

B. ?2

C. ? 2

D. 2

2.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C ? 2 B ,则 数学(理科)试题 A 第 1 页 共 4 页

c 为 b

A. 2sin C
2 2

B. 2cos B

C. 2sin B

D. 2cos C

3.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为 A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

4.若函数 f ? x ? ? A. ? ?2, 2 ?

x 2 ? ax ? 1 的定义域为实数集 R ,则实数 a 的取值范围为
B. ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ? C. ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ?
频率/组距

D. ? ?2, 2?

5.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制 成如图 1 的频率分布直方图.样本数据分组为 ? 50, 60 ? , 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0

? 60, 70 ? , ? 70,80 ? , ?80,90 ? , ?90,100? .若用分层抽
样的方法从样本中抽取分数在 ?80,100? 范围内的数据 16 个, 则其中分数在 ?90,100? 范围内的样本数据有 A.5 个 6.已知集合 A ? ? x x ? Z且 B.6 个 C.8 个

50 60 70 80

90 100 分数

图1 D.10 个

? ?

3 ? ? Z ? ,则集合 A 中的元素个数为 2? x ?
B.3 C.4 D.5

A.2

b = a b 成立的一个必要非充分条件是 7.设 a , b 是两个非零向量,则使 a ?
A. a ? b B. a ? b C. a ? ?b ? ? ? 0 ? D. a ? b

8 .设 a , b , m 为整数( m ? 0 ) ,若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记为
1 2 2 20 20 a ? b ? mod m ? .若 a ? C0 20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 2 ? ? ? C 20 ? 2 , a ? b ? mod10 ? ,则 b 的值可以是

A.2011 B.2012 C.2013 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.若不等式 x ? a ? 1 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 a 的值为 10.执行如图 2 的程序框图,若输出 S ? 7 ,则输入 k k ? N 开始 输入 k

D.2014

?

?

. .

?

*

? 的值为

5 数学(理科)试题 A 否 输出 S 第 2 页 共 4 页
2 2 1 1

n ? 0, S ? 0
y? x 2? nlog ?k


正(主)视图

侧(左)视图

n ? n ?1

11.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图 3 所示,则这个四棱锥的体积是 12.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?



? ?

?? 3 ?? ? ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 6? 5 12 ? ?



13.在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , an ?1 ? ?

1 ,记 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 S2014 ? an ? 1



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在 极 坐 标 系 中 , 直 线 ? ? sin ? ? cos ? ? ? a 与 曲 线 ? ? 2cos ? ? 4sin ? 相 交 于 A , B 两 点 , 若

AB ? 2 3 ,则实数 a 的值为

. D

C P E B

15. (几何证明选讲选做题) 如图4, PC 是圆 O 的切线,切点为 C ,直线 PA 与圆 O 交于 A , B 两点, ?APC 的平分线分别交弦 CA , CB 于 D , E

O A 图4

PE 两点,已知 PC ? 3 , PB ? 2 ,则 的值为 PD



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)

0?. 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? ,
(1)求实数 a 的值; (2)设 g ( x ) ? ? f ( x ) ? ? 2 ,求函数 g ( x) 的最小正周期与单调递增区间.
2

? π ? 3

? ?

17. (本小题满分12分) 数学(理科)试题 A 第 3 页 共 4 页

甲,乙,丙三人参加某次招聘会,假设甲能被聘用的概率是

2 ,甲,丙两人同时不能被聘用的概率是 5

6 3 ,乙,丙两人同时能被聘用的概率是 ,且三人各自能否被聘用相互独立. 25 10
(1)求乙,丙两人各自能被聘用的概率; (2)设 ? 表示甲,乙,丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值,求 ? 的分布列 与均值(数学期望) .

18. (本小题满分14分) 如图 5,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是棱 D1 D 的 中点,点 F 在棱 B1 B 上,且满足 B1 F ? 2 FB . (1)求证: EF ? A1C1 ; (2)在棱 C1C 上确定一点 G , 使 A , E , G , F 四点共面,并求 此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值. 19. (本小题满分14分)

D1

C1 B1

A1

E
D

F B
图5
*

C

A

已知等差数列 ? an ? 的首项为 10,公差为 2,等比数列 ?bn ? 的首项为 1,公比为 2, n ? N . (1)求数列 ? an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设第 n 个正方形的边长为 cn ? min ?an , bn ? ,求前 n 个正方形的面积之和 S n . (注: min ?a, b? 表示 a 与 b 的最小值. ) 20. (本小题满分14分)

3 5 x2 y 2 ? 1? a ? 0 ? 的中心为原点 O ,左,右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 已知双曲线 E : 2 ? , 5 a 4
点 P 是直线 x ?

???? ? ???? ? a2 QF2 ? 0 . 上任意一点,点 Q 在双曲线 E 上,且满足 PF2 ? 3

(1)求实数 a 的值; ( 2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)若点 P 的纵坐标为 1 ,过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点 M , N ,在线段 MN 上取

数学(理科)试题 A

第 4 页 共 4 页

异于点 M , N 的点 H ,满足 21. (本小题满分14分)

PM PN

?

MH HN

,证明点 H 恒在一条定直线上.

已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e (其中 e 为自然对数的底数) .
2 x

?

?

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2) 定义: 若函数 h ? x ? 在区间 ? s , t ? ? s ? t ? 上的取值范围为 ? s , t ? , 则称区间 ? s , t ? 为函数 h ? x ? 的 “域 同区间” .试问函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域 同区间” ;若不存在,请说明理由.

数学(理科)试题 A

第 5 页 共 4 页

2014 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 5 6 C 7 D 8 A

D B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 2 10 3 11 4 12 13 14 15

2 10

?

2011 2

?1 或 ?5

2 3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 16. (本小题满分1) (本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知 识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力)

0 ? ,所以 f ? ? 解: (1)因为函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? ,
即 sin ? ?

? π ? 3

? ?

? ?? ??0. ? 3?

? π? ? π? ? ? a cos ? ? ? ? 0 . ? 3? ? 3?

即?

3 a ? ?0. 2 2
3.

解得 a ?

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 1 页 共 13 页

(2)方法 1:由(1)得 f ( x) ? sin x ? 3 cos x .

所以 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2 ? sin x ? 3 cos x ? 2
? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x ? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
? 3 ? 1 ? 2? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 ? 2 ? ?

?

?

2

? ?? ? ? 2 ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? 6 6? ? π? ? ? 2sin ? 2 x ? ? . 6? ?
所以 g ( x) 的最小正周期为

2? ? ?. 2
? ? ? ?? , 2k ? ? ? ? k ? Z ? , 2 2?

因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? 所以当 2kπ ?

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? ? k ? Z ? 时,函数 g ( x) 单调递增, 2 6 2 π π 即 kπ ? ? x ? kπ ? ? k ? Z ? 时,函数 g ( x) 单调递增. 3 6
所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ? 方法 2:由(1)得 f ( x) ? sin x ? 3 cos x

? ?

π π? , kπ ? ? ? k ? Z ? . 3 6?

? ?? ? ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ?
π? ? ? 2sin ? x ? ? . 3? ?
? π ?? ? 所以 g ( x) ? [ f ( x)] ? 2 ? ? 2sin ? x ? ? ? ? 2 3 ?? ? ?
2
2

π? ? ? 4sin 2 ? x ? ? ? 2 3? ?
数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 13 页

2π ? ? ? ?2 cos ? 2 x ? ? 分 3 ? ?
所以函数 g ( x) 的最小正周期为

2? ? ?分 2

因为函数 y ? cos x 的单调递减区间为 ? 2k ?, 2k ? ? ?? ? k ? Z ? ,

2? ? 2k ? ? ? ? k ? Z ? 时,函数 g ( x) 单调递增. 3 π π 即 kπ ? ? x ? kπ ? ( k ? Z )时,函数 g ( x) 单调递增. 3 6
所以当 2k ? ? 2 x ? 所以函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? kπ ?

? ?

π π? , kπ ? ? ? k ? Z ? . 3 6?

17. (本小题满分1) (本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值(数学期望)等知识,考查或然与必 然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 解: (1)记甲,乙,丙各自能被聘用的事件分别为 A1 , A2 , A3 , 由已知 A1 , A2 , A3 相互独立,且满足

2 ? ? P ? A1 ? ? 5 , ? 6 ? ?? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ? ? 25 , ? 3 ? ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? 10 . ?
解得 P ? A2 ? ?

1 3 , P ? A3 ? ? . 2 5 1 3 , . 2 5

所以乙,丙各自能被聘用的概率分别为 (2) ? 的可能取值为 1,3.

因为 P ?? ? 3? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P A1 A2 A3

?

?

? P ? A1 ? P ? A2 ? P ? A3 ? ? ? ?1 ? P ? A1 ? ? ?? ?1 ? P ? A2 ? ? ?? ?1 ? P ? A3 ? ? ?

2 1 3 3 1 2 6 . ? ? ? ? ? ? ? 5 2 5 5 2 5 25 6 19 所以 P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 3? ? 1 ? . ? 25 25
数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 13 页

所以 ? 的分布列为

?
P
所以 E? ? 1?

1
19 25

3
6 25

19 6 37 . ? 3? ? 25 25 25

18. (本小题满分1) (本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结 合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

推理论证法: (1)证明:连结 B1 D1 , BD , 因为四边形 A1 B1C1 D1 是正方形,所以 A1C1 ? B1 D1 . 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DD1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,

D1

C1 B1

A1

E

D
A

A1C1 ? 平面 A1 B1C1 D1 ,所以 A1C1 ? DD1 .
因为 B1 D1 ? DD1 ? D1 , B1 D1 , DD1 ? 平面 BB1 D1 D , 所以 A1C1 ? 平面 BB1 D1 D . 因为 EF ? 平面 BB1 D1 D ,所以 EF ? A1C1 . (2)解:取 C1C 的中点 H ,连结 BH ,则 BH ? AE . 在平面 BB1C1C 中,过点 F 作 FG ? BH ,则 FG ? AE . 连结 EG ,则 A , E , G , F 四点共面.

F B

C

D1

C1 G B1

A1

E

H
C

1 1 1 1 C1C ? a , HG ? BF ? C1C ? a , 2 2 3 3 1 所以 C1G ? C1C ? CH ? HG ? a . 6 1 故当 C1G ? a 时, A , E , G , F 四点共面. 6
因为 CH ? 数学(理科)试题参考答案及评分标准

D A

F B

第 4 页 共 13 页

(3)延长 EF , DB ,设 EF ? DB ? M ,连结 AM , 则 AM 是平面 AEF 与平面 ABCD 的交线. 过点 B 作 BN ? AM ,垂足为 N ,连结 FN , 因为 FB ? AM , FB ? BN ? B , 所以 AM ? 平面 BNF . 因为 FN ? 平面 BNF ,所以 AM ? FN . 所以 ?FNB 为平面 AEF 与平面 ABCD 所成 二面角的平面角.

D1

C1 B1

A1

E

D A
N

F B

C

1 a MB BF 3 2 因为 ? ? ? , 1 MD DE a 3 2
MB 2 即 ? , MB ? 2a 3
所以 MB ? 2 2a . 在△ ABM 中, AB ? a , ?ABM ? 135 ,
?

M

所以 AM ? AB ? MB ? 2 ? AB ? MB ? cos135
2 2 2

?

? a 2 ? 2 2a

?

?

2

? 2? 2 ? 2 ? a ? 2 2a ? ? ? ? 2 ? ? ? 13a .即 AM ? 13a . ? ?

(苏元高考吧:www.gaokao8.net 广东省数学教师QQ群:179818939) 因为

1 1 AM ? BN ? AB ? MB ? sin135? , 2 2
AB ? MB ? sin135 ? AM
?

所以 BN ?

a ? 2 2a ?

2 2 ? 2 13 a . 13 13a
2

2 7 13 ? 1 ? ? 2 13 ? 所以 FN ? BF ? BN ? ? a ? ? ? a? ? a. ? ? 39 ? 3 ? ? 13 ? BN 6 所以 cos ?FNB ? ? . FN 7 6 故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为 . 7 2 2

空间向量法: (1)证明:以点 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 数学(理科)试题参考答案及评分标准

z D1
A1

C1 B1

E

第 5 页 共 13 页

D

F

C

y

A x

B

则 A ? a, 0, 0 ? , A1 ? a, 0, a ? , C1 ? 0, a, a ? ,

1 ? 1 ? ? ? E ? 0, 0, a ? , F ? a, a, a ? , 2 ? 3 ? ? ?
所以 A1C1 ? ? ?a, a, 0 ? , EF ? ? a, a, ? 因为 A1C1 ?EF ? ?a ? a ? 0 ? 0 ,
2 2

???? ?

??? ?

? ?

1 ? a?. 6 ?

???? ? ??? ?

所以 A1C1 ? EF .所以 EF ? A1C1 . (苏元高考吧:www.gaokao8.net 广东省数学教师QQ群:179818939) (2)解:设 G ? 0, a, h ? ,因为平面 ADD1 A1 ? 平面 BCC1 B1 , 平面 ADD1 A1 ? 平面 AEGF ? AE ,平面 BCC1 B1 ? 平面 AEGF ? FG , 所以 FG ? AE . (苏元高考吧:www.gaokao8.net 广东省数学教师QQ群:179818939) 所以存在实数 ? ,使得 FG ? ? AE . 因为 AE ? ? ? a, 0,

?????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ?

? ? 1 ? ??? 1 ? a ? , FG ? ? ?a, 0, h ? a ? , 2 ? 3 ? ?

所以 ? ?a, 0, h ?

? ?

1 ? 1 ? ? a ? ? ? ? ?a, 0, a ? . 3 ? 2 ? ?

所以 ? ? 1 , h ?

5 a. 6

所以 C1G ? CC1 ? CG ? a ? 故当 C1G ?

5 1 a? a. 6 6

1 a 时, A , E , G , F 四点共面. 6
??? ? ? ? ? ? 1 ? ??? 1 ? a ? , AF ? ? 0, a, a ? . 2 ? 3 ? ?

(3)解:由(1)知 AE ? ? ?a ,0,

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AEF 的法向量,

??? ? ? ?n?AE ? 0, 则 ? ??? ? ? ?n?AF ? 0.

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 6 页 共 13 页

1 ? ? ax ? az ? 0, ? ? 2 即? ?ay ? 1 az ? 0. ? 3 ?
取 z ? 6 ,则 x ? 3 , y ? ?2 . 所以 n ? ? 3, ?2, 6 ? 是平面 AEF 的一个法向量. 而 DD1 ? ? 0, 0, a ? 是平面 ABCD 的一个法向量, 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,

???? ?

???? ? n?DD1 则 cos ? ? ???? ? ?1 n ?DD1

?

0 ? 3 ? 0 ? ? ?2 ? ? a ? 6 32 ? ? ?2 ? ? 62 ? a
2

?

6 . 7
6 . 7

故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为

第(1) 、 (2)问用推理论证法,第(3)问用空间向量法: (1) 、 (2)给分同推理论证法. (3)解:以点 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 所在的直线 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系, 则 A ? a, 0, 0 ? , E ? 0, 0,

? ?

1 ? 1 ? ? a ? , F ? a, a, a ? , 2 ? 3 ? ?

则 AE ? ? ? a, 0,

??? ?

? ?

? ? 1 ? ??? 1 ? a ? , AF ? ? 0, a, a ? . 2 ? 3 ? ?

z D1
A1

C1 B1

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AEF 的法向量,

E

D
1 ? ??? ? ?ax ? az ? 0, ? ? n ? AE ? 0, ? ? 2 则 ? ??? 即? ? ? ?n?AF ? 0. ?ay ? 1 az ? 0. ? 3 ?
取 z ? 6 ,则 x ? 3 , y ? ?2 .

F
B

C

y

A x

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 7 页 共 13 页

所以 n ? ? 3, ?2, 6 ? 是平面 AEF 的一个法向量. 而 DD1 ? ? 0, 0, a ? 是平面 ABCD 的一个法向量, 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,

???? ?

???? ? n?DD1 则 cos ? ? ???? ? ?1 n ?DD1

?

0 ? 3 ? 0 ? ? ?2 ? ? a ? 6 32 ? ? ?2 ? ? 62 ? a
2

?

6 . 7
6 . 7

故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为

19. (本小题满分1) (本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求 解能力和创新意识) 解: (1)因为等差数列 ? an ? 的首项为 10,公差为 2, 所以 an ? 10 ? ? n ? 1? ? 2 , 即 an ? 2n ? 8 . 因为等比数列 ?bn ? 的首项为 1,公比为 2, 所以 bn ? 1? 2 即 bn ? 2
n ?1 n ?1





(2)因为 a1 ? 10 , a2 ? 12 , a3 ? 14 , a4 ? 16 , a5 ? 18 , a6 ? 20 ,

b1 ? 1 , b2 ? 2 , b3 ? 4 , b4 ? 8 , b5 ? 16 , b6 ? 32 .
易知当 n ? 5 时, an ? bn . 下面证明当 n ? 6 时,不等式 bn ? an 成立. 方法 1:①当 n ? 6 时, b6 ? 2
6 ?1

? 32 ? 20 ? 2 ? 6 ? 8 ? a6 ,不等式显然成立.

k ?1 ②假设当 n ? k ? k ? 6 ? 时,不等式成立,即 2 ? 2k ? 8 .

则有 2 ? 2 ? 2
k

k ?1

? 2 ? 2k ? 8 ? ? 2 ? k ? 1? ? 8 ? ? 2k ? 6 ? ? 2 ? k ? 1? ? 8 .
第 8 页 共 13 页

数学(理科)试题参考答案及评分标准

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合①②可知,不等式对 n ? 6 的所有整数都成立. 所以当 n ? 6 时, bn ? an . 方法 2:因为当 n ? 6 时

bn ? an ? 2n ?1 ? ? 2n ? 8 ? ? ?1 ? 1?

n ?1

? ? 2n ? 8 ?

1 2 n ?1 ? ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1 ? ? ? 2 n ? 8 ? 1 2 n ?3 n?2 n ?1 ? ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? 2n ? 8 ? 1 2 ? 2 ? C0 n ?1 ? C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? 2 n ? 8 ?

? n 2 ? 3n ? 6 ? n ? n ? 4 ? ? ? n ? 6 ? ? 0 ,
所以当 n ? 6 时, bn ? an . 所以 cn ? min ?an , bn ?
2n?2 ? ?2 , 则 cn ? ? 2 ? ?4 ? n ? 4 ? , 当 n ? 5 时, 2

? 2n ?1 , ?? ? 2n ? 8,

n ? 5, n ? 5.

n ? 5, n ? 5.

Sn ? c12 ? c2 2 ? c32 ? ? ? cn 2 ? b12 ? b2 2 ? b32 ? ? ? bn 2

? 20 ? 22 ? 24 ? ? ? 22n?2
? 1 ? 4n 1 n ? ? 4 ? 1? . 1? 4 3

当 n ? 5 时,

Sn ? c12 ? c2 2 ? c32 ? ? ? cn 2
? ? b12 ? b2 2 ? ? ? b5 2 ? ? ? a6 2 ? a7 2 ? ? ? an 2 ?

?

1 5 2 4 ? 1? ?4 ?? 6? 4 ? ? ?? 7 ? ? 3
2

? ?4 ? ? ? ? n ? ? 4 ?
2 2

?341 ? ? 4? 2 6 ? ? ?341 ? ? 4? 2 1 ? ?

7 ?? ? n 2 ??

?

8? 6? ? 7 ? n? ?
2 ? 2 ?? 2

?

n 1 ?6 ? ? ?

5

2

2 ? 2?? n 2 1 ??? ?

? ? ?? ?5

3 ?2 ?6 ?? 7 n? ?

?

n ? 6 ?4

5

数学(理科)试题参考答案及评分标准

第 9 页 共 13 页

n? 1 ? n ? n ? 1?? 2 ?? ?341 ? ? 4 6 ?

? 5 ? ?5 ?

? 32

?

6 ? n ?? n ? 2

?5 ?

6? 4 ? ?n

5

?

4 3 242 n ? 18n2 ? n ? 679 . 3 3
n ? 5, n ? 5.

?1 n ? 4 ? 1? , ? ?3 综上可知, S n ? ? ? 4 n3 ? 18n 2 ? 242 n ? 679, ? 3 ?3

20. (本小题满分1) (本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、化归 与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解:设双曲线 E 的半焦距为 c ,

?c 3 5 , ? ? 由题意可得 ? a 5 ?c 2 ? a 2 ? 4. ?
解得 a ?

5 .

(2)证明:由(1)可知,直线 x ?

a2 5 ?5 ? ? ,点 F2 ? 3, 0 ? .设点 P ? , t ? , Q ? x0 , y0 ? , 3 3 ?3 ?

QF2 ? 0 ,所以 ? 3 ? , ?t ?? 因为 PF2 ? ? 3 ? x0 , ? y0 ? ? 0 .
所以 ty0 ?

???? ? ???? ?

? ?

5 3

? ?

4 ? x0 ? 3? . 3

x0 2 y0 2 4 2 ? ? 1 ,即 y0 2 ? ? x0 因为点 Q ? x0 , y0 ? 在双曲线 E 上,所以 ? 5? . 5 4 5
所以 k PQ ? kOQ ?

y0 ? t y0 y 2 ? ty0 ? ? 0 5 x0 5 2 x0 ? x0 ? x0 3 3

4 2 4 x0 ? 5? ? ? x0 ? 3? ? 4 3 ?5 ? . 5 5 x0 2 ? x0 3 4 所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值 . 5
数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 10 页 共 13 页

( 3 )证法 1 :设点 H ? x, y ? ,且过点 P ?

?5 ? ,1? 的直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , ?3 ?

N ? x2 , y2 ? ,则 4 x12 ? 5 y12 ? 20 , 4 x2 2 ? 5 y2 2 ? 20 ,即 y12 ?

???? ? ???? ? ? PM ? ? PN , ? ? ? ,则 ? ???? 设 ? ???? . PN HN ? ? MH ? ? HN .
PM MH

4 2 4 x1 ? 5? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5? . ? 5 5

?? 5 5 ? ? ? ?? x1 ? , y1 ? 1? ? ? ? x2 ? , y2 ? 1 ? , 3 3 即 ?? ? ? ? ?? x ? x , y ? y ? ? ? ? x ? x , y ? y ? . 1 1 2 2 ?

5 ? ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? , ? ? 整理,得 ? y1 ? ? y2 ? 1 ? ? , ? x1 ? ? x2 ? x ?1 ? ? ? , ? ? ? y1 ? ? y2 ? y ?1 ? ? ? .

① ② ③ ④
⑤ ⑥

5 ? 2 2 2 2 ? x1 ? ? x2 ? 3 ?1 ? ? ? x , 由①×③,②×④得 ? ? y12 ? ? 2 y2 2 ? ?1 ? ? 2 ? y. ?
将 y1 ?
2

4 2 4 x1 ? 5? , y2 2 ? ? x2 2 ? 5? 代入⑥, ? 5 5


得y?

4 x12 ? ? 2 x2 2 ? ?4. 5 1? ?2

将⑤代入⑦,得 y ?

4 x?4. 3

所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上.

证法 2:依题意,直线 l 的斜率 k 存在. 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ? x ? ? ,

? ?

5? 3?

? 5? ? ? y ?1 ? k ? x ? 3 ? , ? ? ? 由? 2 2 ? x ? y ? 1. ? 4 ?5
消去 y 得 9 4 ? 5k

?

2

?x

2

? 30 ? 5k 2 ? 3k ? x ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? 0 .
第 11 页 共 13 页

数学(理科)试题参考答案及评分标准

因为直线 l 与双曲线 E 的右支交于不同两点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

? ? 2 2 2 2 ?? ? 900 ? 5k ? 3k ? ? 900 ? 4 ? 5k ?? 5k ? 6k ? 9 ? ? 0, ? 30 ? 5k 2 ? 3k ? ? 则有 ? x1 ? x2 ? , 9 ? 5k 2 ? 4 ? ? ? 25 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? ? . ? x1 x2 ? 9 5k 2 ? 4 ? ? ?

① ②



设点 H ? x, y ? , (苏元高考吧:www.gaokao8.net 广东省数学教师QQ群:179818939)

5 3 ? x ? x1 . ? 由 ,得 5 x2 ? x1 PN HN x2 ? 3
PM MH

x1 ?

整理得 6 x1 x2 ? ? 3x ? 5 ?? x1 ? x2 ? ? 10 x ? 0 .1 将②③代入上式得

150 ? 5k 2 ? 6k ? 9 ? 30 ? 3x ? 5? ? 5k 2 ? 3k ? ? ? 10 x ? 0 . 9 ? 5k 2 ? 4 ? 9 ? 5k 2 ? 4 ?


整理得 ? 3x ? 5 ? k ? 4 x ? 15 ? 0 . 因为点 H 在直线 l 上,所以 y ? 1 ? k ? x ? ? . 联立④⑤消去 k 得 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 . 所以点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ?12 ? 0 上.

? ?

5? 3?



(本题(3)只要求证明点 H 恒在定直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 上,无需求出 x 或 y 的范围. ) 21. (本小题满分1) (本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与 讨论的数学思想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识) 解: (1)因为 f ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e , (苏元高考吧:www.gaokao8.net)
2 x

?

?

x 2 x x 所以 f ?( x) ? (2 x ? 2)e ? ( x ? 2 x ? 1)e ? x ? 1 e ? ( x ? 1)( x ? 1)e .
2 x

?

?

当 x ? ?1 或 x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? . 当 ?1 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 ,即函数 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?1,1? . 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第 12 页 共 13 页

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?1? 和 ?1, ?? ? ,单调递减区间为 ? ?1,1? . (2)假设函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上存在“域同区间” [ s, t ] (1 ? s ? t ) , 由(1)知函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,

? f ( s ) ? s, 所以 ? ? f (t ) ? t.

?( s ? 1) 2 ? e s ? s, 即? 2 t ? (t ? 1) ? e ? t.
2 x

也就是方程 ( x ? 1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根. 设 g ( x) ? ( x ? 1) e ? x ( x ? 1) ,则 g ?( x) ? ( x ? 1)e ? 1 .
2 x 2 x 2 x 设 h ? x ? ? g ?( x) ? ( x ? 1)e ? 1 ,则 h? ? x ? ? x ? 2 x ? 1 e .
2 x

?

?

因为在 (1, ??) 上有 h? ? x ? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 因为 h ?1? ? ?1 ? 0 , h ? 2 ? ? 3e ? 1 ? 0 ,
2

即存在唯一的 x0 ? ?1, 2 ? ,使得 h ? x0 ? ? 0 . 当 x ? ?1, x0 ? 时, h ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 ,即函数 g ( x) 在 ?1, x0 ? 上是减函数; 当 x ? ? x0 , ?? ? 时, h ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 ,即函数 g ( x) 在 ? x0 , ?? ? 上是增函数. 因为 g ?1? ? ?1 ? 0 , g ( x0 ) ? g (1) ? 0 , g (2) ? e ? 2 ? 0 ,
2

所以函数 g ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上只有一个零点. 这与方程 ( x ? 1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根相矛盾,所以假设不成立.
2 x

所以函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在“域同区间” .

数学(理科)试题参考答案及评分标准

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