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2015年三角函数专题参考答案


2015 年三角函数专题参考答案 1.C 【解析】此题考查三角函数的关系式和二倍角正切公式的应用,结合已知条件和

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 利用方程思想可以求出 sin ? 和 cos? ,然后利用同角三角函数的商数
关系求出 tan ? ,最后利用二倍角正切公式求出 tan 2? , 这是要对角 ? 所在象限进行分类讨 论,这样计算过程比较麻烦;另外可以利用同角三角函数的平方关系直接求出 tan ? ,然后 利用二倍角正切公式求出 tan 2? 。即由已知得到:

5 sin 2 ? ? 4sin ? cos ? ? 4cos 2 ? 5 sin ? ? 4sin ? cos ? ? 4cos ? ? ? ? 2 2 sin 2 ? ? cos2 ?
2 2

?

tan 2 ? ? 4 tan ? ? 4 5 1 ? ? tan ? ? ? 或 tan ? ? 3 ,所以 2 2 3 tan ? ? 1

1 2 ? (? ) 3 ? ? 3 或 tan 2? ? 2 ? 3 ? ? 3 ,所以选 C; tan 2? ? 1 4 1? 9 4 1? 9
【学科网考点定位】 此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用, 考查二倍角正 切公式的应用,考查学生的运算求解能力; 2.C 【 解 析 】 因 为 ?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3 , 所 以 由 余 弦 定 理 得 :

AC 2 ? 2 ? 9 ? 2 ? 3 ? 2 ? cos 45
=5,即 AC ? 5 ,由正弦定理得:

5 3 3 10 ,解得 sin?BAC = ,故选 C. ? 10 sin 45 sin ?BAC

【学科网考点定位】本小题主要考查正余弦定理公式的应用,属容易题,熟练正余弦定理是 解答好本类题目的关键. 3.B 【 解 析 】 因 为 b cos C ? c cos B ? a sin A , 所 以 由 正 弦 定 理 得

sin B cos C ? sin C cos B ? sin 2 A ,所以 sin( B ? C) ? sin 2 A ,所以 sin A ? sin 2 A ,所以

sin A ? 1 ,所以△ABC 是直角三角形.此类问题关键在于掌握正弦定理和三角恒等变换,准
确运算是关键。 【学科网考点定位】本题考查正弦定理和三角恒等变换,涉及正弦定理的变式、两角和的正 弦公式、三角形内角和定理、诱导公式和特殊角的三角函数值等知识,属于中档题。 4.B 【 解 析 】 得 到 的 偶 函 数 解 析 式 为 y ? si n? 2 ?x?

? ? ? ?

??

? ? ?? ?? x 2? ? ? ? ?? , 显 然 ? ? ? ? ? si n ? 8? ?4 ?? ? ?

??

?
4

.

答案第 1 页,总 19 页

【学科网考点定位】本题考查三角函数的图象和性质,要注意三角函数两种变换的区别,

? ? ?? ?? ?? ?? sin ? 2x ? ? ? ? ?? 选择合适的 ? 值通过诱导公式把 sin ?2 x ? ? ? ? ?? 转化为余弦函数 ?4 ?? ?4 ?? ? ?
是考查的最终目的. 5.C
3 【解析】由点 B 的坐标可知 B 点在 y =x 的图象上,由此可知 ?A=90 或者?B =90

若 ?A=90 ,则 b =a 3 ,若 ?B =90 ,则 b = 【学科网考点定位】解三角形。 6.A 【解析】由正弦定理可得:

1 3 +a ,二者为或的关系,故选 C a

1 a =2 R sin A, c =2 R sin C , b=2 R sin B 由 a sin B cos C ? c sin B cos A ? b, 2 1 可得: sin A cos C +sinC cos A= 2 1 ? 即: sin (A ? C ) ? sin B ? ,又 a ? b, 故?B = ,故选 A 2 6
【学科网考点定位】本题考查正弦定理的应用;两角和正弦公式以及三角形的内角和等于 180 度。 7.D

x x x 6 ? 4 cos 4 3 cos 2? 2 ? 2 ?2 3? 2 . 由余弦 【解析】如图 y ? 2 BE ? BC ? 2 sin 60? 3 3 3 1 ? cos
函数的图像性质可得 D 正确.

N

M

P

【学科网考点定位】本题主要考查三角函数的概念、图像、性质及其应用. 8.D; 【解析】以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,所以等腰

4?0?0 0?4?0 , ) ,因为光线从点 P 出发,经 BC, CA 发射后 3 3 4 又回到原点 P ,故点 P 为三角新 ABC 的中心在底边 AB 上的投影,所以 AP= . 3
三角形 ABC 的中心坐标为 ( 【学科网考点定位】本题考查三角形的中心,考查学生的化归与转化能力. 9.D;

答案第 2 页,总 19 页

3 sin B ? 3 ? 2 ,所以 sin A ? 【解析】因为 2a sin B ? 3b ,所以 ,所以 A ? . b a 3 2
【学科网考点定位】本题考查正弦定理的运用,考查学生的化归与转化能力. 10.C 【解析】由题意知 f ( x) ? 2cos2 x sin x ? 2(1 ? sin 2 x)sin x . 令 t ? sin x, t ? [?1,1] , 则 g (t ) ? 2(1 ? t 2 )t ? 2t ? 2t 3 . 令 g ' (t ) ? 2 ? 6t 2 ? 0 ,得 t ? ? 当 t ? ?1 时,函数值为 0; 当t ? ?

3 . 3

3 4 3 时,函数值为 ? ; 3 9

当t ?

3 4 3 时,函数值为 . 3 9 4 3 4 3 ,即 f(x)的最大值为 .故选 C. 9 9

∴ g (t ) max ?

【学科网考点定位】三角函数的性质 11.C. 【 解 析 】 若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒 成 立 , 则 f ( ) ? sin(

?

?

?
3

6

6

? ?) ? 1 , 所 以

, k ? Z . 由 f ( ) ? f (? ) ,( k ? Z ), 可 知 2 3 2 6 7? 0 所 以 ? ? 2 k? ? ,k ?Z , 代 入 sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) , 即 s i ?n? , 6 7? ) ,由 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,得 f ( x) ? sin(2 x ? 6 ? 7? ? 5? ? 2 k? ? 剟 2x ? 2k? ? ,得 k? ? 剟 x k? ? ,故选 C. 2 6 2 6 3 ? ? ? k? ? , k ? Z , ? ? k? ?
12.D 【解析】由正弦定理得,sin AsinB+sinBcos A= 2 sinA,即 sinB(sin A+cos A)= 2 sinA,
2 2 2 2

?

?

?

?

故 sinB= 2 sinA,所以 13.A

b ? 2; a

答案第 3 页,总 19 页

【解析】 sin 2? ? ? cos ? 2? ? 14.C 【解析】 ? ?

? ?

??

?? 1 7 2? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? . 2? 4? 9 9 ?
? ?
? ? ? ?

?

? cos(? ? ) cos( ? ) 4 4 2

?

? (? ? ) ? ( ? ) ? cos(? ? ) ? cos[(? ? ) ? ( ? )] 2 4 4 2 2 4 4 2

?

?

?

? sin(? ? ) sin( ? ) 4 4 2

?

?

?

1 3 2 2 6 3?4 3 5 3 故选 C ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 9 9
15.B 【解析】令 y1 ? 16.A
2 2 【解析】由 (a ? b) ? c ? 4 得 a ? b ? 2ab ? c ? 4 ,由 C ? 60 得 1
2 2 2 0

x , y2 ? cos x ,则它们的图像如图故选 B

cos C ?
17.C

4 a 2 ? b2 ? c 2 4 ? 2ab 1 ? ? ,解得 ab ? 3 2ab 2ab 2

【解析】将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移

sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? ? cos 2 x , 再 向 上 平 移 4 2

?

?

? 个单位,得到 4
1 个 单 位 , 得 到

y ? 1 ? cos 2 x ? 2sin 2 x ,故选 C.
18.C 【解析】由余弦定理 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B 可得

cos B ?

( 3 ? 1)2 ? ( 3 ? 1)2 ? 6 2 1 ? ? 4 2 2( 3 ? 1)( 3 ? 1)

又因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ? 19.D

?
3

,即 B ? 60? ,选 C.

【 解 析 】 因 为 ?ABC 的 面 积 为 3 3 , 所 以 根 据 三 角 形 面 积 的 计 算 公 式 可 得

S?ABC ?

1 AB AC sin ?BAC 2

?

1 3 3 4 sin ?BAC ? 3 3 ? sin ?BAC ? , 因为 ?BAC 为锐角三角形内角 ,所以根据 2 2
2

正 余 弦 的 关 系 可 得 cos ?BAC ? 1 ? sin ?BAC ?

1 , 再 根 据 ?BAC 的 余 弦 定 理 可 得 2

答案第 4 页,总 19 页

BC 2 ? AC 2 ? AB 2 ? 2 AC AB cos ?BAC ? BC 2 ? 32 ? 42 ? 2 3 4
选 D. 20.A 【解析】由题意知 sin B ?

1 ? BC ? 13 , 故 2

10 sin B 1 , tan B ? ? ,所以 10 cos B 3

tan C ? tan ?? ? A ? B? ? ? tan ? A ? B?
?? tan A ? tan B ? ?1 . 1 ? tan A tan B

21.B 【解析】由正弦定理得 sin A ? 5 sin B sin C ①,又 cos A ? 5 cos B cos C ②,②-①得,

cos A ? sin A ? 5(cosB cosC ? sin B sin C ) ? 5 cos(B ? C ) ? ?5 cos A , sin A ? 6 cos A ,
? tan A ? 6 .
22.B 【解析】由图可得, A ? 1 . T ? 4( 所以 f ( x) ? sin(2 x ? 23.B 【 解 析 】 将 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

7? ? ? ? ? ) ? ? ,所以 ? ? 2 .又由 2 ? ? ? ? ? ? ? ? . 12 3 3 3

) ? sin 2( x ? ) ,所以应将 g ( x) 的图象向左平移 个长度单位. 3 6 6

?

?

?
6

) 的 图 象向 左 平移 m 个 单位 , 得函 数

g ( x) ? 2sin(2 x ? 2m ? ) 的图象,则由题意得 2 ? ? 2m ? ? k? ? (k ∈ Z) ,即有 6 6 6 2 1 ? ? m ? k? ? (k∈Z),∵m>0,∴当 k=0 时, mmin ? . 2 6 6
24. ?

?

?

?

?

2 5 ; 5

【解析】 cos ? ?

?2 2 5 . ?? 5 5

【学科网考点定位】本题考查三角恒等变换,考查学生对概念的理解 25.

2 3

【解析】cos( x ? y ) ?

1 2 2 n i( x ? )y ? . ,sin 2 x ? sin 2 y ? 2sin( x ? y ) cos( x ? y ) ? , 故s 2 3 3

【学科网考点定位】考查两角和与差的正弦、余弦公式及计算,属中档题。 26. ? ? arccos 【 解

1 3




2 3a 2 ? 2ab ? 3b 2 ? 3c 2 ? 0 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab 3
答案第 5 页,总 19 页





1 1 cos C ? ? , C ? ? ? arccos . 3 3
【学科网考点定位】考查余弦定理及运算,属容易题。 27. ? 【解析】

y ? sin 2 x ? 3(1 ? cos 2 x) ? 2sin(2 x ? ) ? 3,?T ? ? . 3

?

【学科网考点定位】此题主要考查三角函数的概念、化简、性质,考查运算能力. 28. ?

10 5
1 >0,所以角θ 的终边落在直线 y ? ? x 的 2

【解析】因为θ 为第二象限角,若 tan(θ + )= 左侧, sinθ +cosθ <0,由 tan (θ + ) = θ =x,则

1 tan ? ? 1 1 s i n ?? c o s 得 = , 即 2 1 ? tan ? 2 c o s ?? s i n

? 1 = , 所以设 sinθ +cos ? 2

2 cosθ - sinθ =2x,将这两个式子平方相加得: x ?

2 10 ,即 sinθ +cosθ = ? . 5 5

【学科网考点定位】本小题主要考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式、三角 函数在各个象限的符号口诀等公式的灵活运用,属中档题. 29. 2 2 【解析】由题意知 cos ? ? ? 1 ? sin
2

? ? ? 1?

1 2 2 cos ? ?2 2. ?? .故 cot ? ? sin ? 9 3

【学科网考点定位】同角三角函数的关系 30.

6 3

【解析】 此题画出图形, 结合已知条件利用正余弦定理和锐角的三角函数的定义构造出方程 然后求解。如图所示,设

答案第 6 页,总 19 页

CM ? MB ? x, AC ? y ? AM ?

x 2 ? y 2 , AB ? 4 x 2 ? y 2 ,由已知得到

cos ?BAM ? 1 ? sin 2 ?BAM ?

2 2 ,在 ?AMB 中,由余弦定理得到: 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x ? y ) ? ( 4x ? y ) ? x 2x 6 ? ? y 2 ? 2 x 2 ? sin ?BAC ? ? 3 3 2 x2 ? y 2 4 x2 ? y 2 4x2 ? y 2

;所以填

6 ; 3

【学科网考点定位】此题考查同角三角函数平方关系、余弦定理和锐角的三角函数的定义, 考查学生的运算求解能力; 31. C ?

2? 3 5 b; 3

【解析】? 3 sin A ? 5 sin B 由正弦定理,所以 3a ? 5b, 即a ? 因为 b ? c ? 2a ,所以 c ?

7 a, 3

cos C ?

a2 ? b2 ? c2 1 2? . ? ? ,所以 C ? 3 2ab 2

【学科网考点定位】考查正弦定理和余弦定理,属于中等难度. 32. ?1, 2

?

?
?
4 )?

【解析】原方程可变形为 sin(2 x ? 数 f ( x) ? sin(2 x ?

? ? ? 5 ? k ,∵ x ? [0, ] ,∴ ? 2 x ? ? ,易知函 2 4 4 4 2
? ?

?

) 在 [0, ] 上 单 调 递 增 , 在 [ , ] 上 单 调 递 减 , ∴ 方 程 4 8 8 2

?

答案第 7 页,总 19 页

? k k ? 时,有 f (0) ? sin(2 x ? ) ? ? f ( ) ,即 1 ? k ? 2 . 4 8 2 2
33.4 【解析】由 sin A cos C ? 3cos A sin C 得:

a a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 c ? ? 3? ? 2R 2ab 2bc 2R
b2 2

? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 ? b2 ? c 2 ? a 2 ? , a2 ? c2 ?

?a 2 ? c 2 ? 2b ? 解方程组: ? b2 ,?b ? 4 2 2 a ? c ? ? ? 2
所以,答案填 4. 34.

13 4

【解析】

2sin 2 ? ? 1 2sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? 3sin 2 ? ? cos 2 ? 3tan 2 ? ? 1 3 ? 22 ? 1 13 ? ? ? ? ? sin 2? 2sin ? cos ? 2sin ? cos ? 2 tan ? 2?2 4
. 35.4 【 解 析 】 由 sin B ? 8 cos A sin C 及 正 、 余 弦 定 理 知 : b ? 8c ?

b2 ? c 2 ? a 2 ,整理得 2bc

3 a 2 ? b 2 ? c 2 ,由 a 2 ? c 2 ? 3b 联立解得: b ? 4 . 4 16 3. 36. 3
【解析】 由 题 意 设 Q ? a,0? 、 R ? 0, ?a ? , ? a ? 0 ? , 则 M ?
2 2

?a a? ,? ? ,有两点间距离公式得, ?2 2?

a? ?a? T ? PM ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 5 ,解得 a ? 8 ,由此得, ? 8 ? 2 ? 6 ,即 T ? 12 ,故 2 2? ?2? ?

??

?
6

?? ? 得 ? ? ? ,由 P(?2,0)

?
3

,代入 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 得, f ( x) ? A sin(

?

从而 f (0) ? A sin( ?
7 4 【解析】

?
3

x? ), 6 3

?

) ? ?8 ,得 A ?

16 3. 3

37. ?

答案第 8 页,总 19 页

根据诱导公式可得 cos ?

?? ? ? ?? ? 3 ?? ?? ? 3 ? ? ? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? , 因为 ? 为 ?4 ? 4 ?? ?4 ? 4 ?2 ? 4
3? ? ? ? ?? ? ? 4 4 2
, 所 以



角 ,



?
2

?? ?? ? ?

?? ? s i ? n? ? ? ? ?4 ?

, 0 则

7 7 ?? ? ?? ? ,故填 ? . sin ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? ? 4 4 ?4 ? ?4 ?
38.(1) cos A ?

6 3

(2)5

【解析】知道两边和角的关系,可以用正弦定理求角.利用三角形内角和定理求出角 C,再次 利用正弦定理求边 c. ⑴由正弦定理,

a b ,因为 a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A, ? sin A sin B

所以

3 2 6 2 6 6 ,解得 cos A ? . ? ? sin A sin 2 A 2sin A cos A 3 6 3 2 ,所以 sin A ? 1 ? sin A ? . 3 3
2

⑵由⑴知, cos A ?

又因为∠B=2∠A,所以 cos B ? 2 cos A ? 1 ? 所以 sin B ? 1 ? sin B ?
2

1 . 3

2 2 . 3 5 3 , 9

在 ?ABC 中, sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 c ?

a sin C ? 5. sin A

【学科网考点定位】本小题考查了正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式、同角 三角函数基本关系式. 39. (1) ? ? 1 (2)当 当

?
4

? 2x ?

?
4

?

?
2

,即 0 ? x ?

?
8

时, f ? x ? 单调递增;

?
2

? 2x ?

?
4

?

5? ? ? ,即 ? x ? , f ? x ? 单调递减. 4 8 2

【解析】第( 1 )题根据三角函数的和差化简,二倍角公式以及辅助角公式,最后化成

y ? A sin(? x+?) 的形式, 利用 T ?

2?

?

确定 ? 的值; 第 (2) 题用整体法的思想确定 y ? sin t

的单调性,再反求出 x 在指定范围内的单调性.本题属简单题.
答案第 9 页,总 19 页

(1) f ? x ? ? 4 cos ?x ? sin ? ?x ?

? ?

??
? 4?

? 4 cos ? x ? (sin ? x ? cos

? cos ? x ? sin ) 4 4 ? 2 2 cos ? x ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2 2(cos ? x ? sin ? x ? cos 2 ? x) ? 2 sin 2? x ? 2 cos 2? x ? 2 ? 2sin(2? x ? ) ? 2 4
由题意 T ?

?

?

?

2? ? ? ,所以 ? ? 1 2?

由(1)知 f ( x) ? 2sin(2 x ? 若0 ? x ? 当

?

?
2

,则

?
4

? 2x ?

?
4

4

)? 2
5? 4

?

时, f ? x ? 单调递增; 2 8 ? ? 5? ? ? 当 ? 2x ? ? ,即 ? x ? , f ? x ? 单调递减. 2 4 4 8 2

?

4

? 2x ?

?

4

?

?

,即 0 ? x ?

?

【学科网考点定位】 本题主要考查三角恒等变形、 三角函数的图像及性质与三角函数图像的 变换.考查逻辑推理和运算求解能力,中等难度. 40. (1)

? 4

(2) 2 ? 1

【解析】 (1)因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC ? 0,所以 tan B ? 1 ,解 得 B=

? ; 4

2 2 2 ( 2 )由余弦定理得: b ? a ? c ? 2ac cos

?
4

,即 4 ? a ? c ? 2ac ,由不等式得:
2 2

a 2 ? c2 ? 2ac ,当且仅当 a ? c 时,取等号,所以 4 ? (2 ? 2)ac ,解得 ac ? 4 ? 2 2 ,所
以△ABC 的面积为

1 ? 2 ac sin ? ? (4 ? 2 2) = 2 ? 1 ,所以△ABC 面积的最大值为 2 ? 1 . 2 4 4
【解题思路与技巧】本题第(1)问,已知边角混和式,即 a=bcosC+csinB,可以考虑边角 互化,同时注意三角形的内角和为 180 ,再应用两角和的正弦公式,即可求出结果;对第 (2)问,求三角形的面积,必须应用面积公式,最后结合均值不等式,即可求出. 【易错点】对第(1)问,一部分同学们忽视 sin(B+C)= sinA 这一关键而解答不出来;第(2) 问,往往一部分同学考虑不到应用不等式来求出面积的最大值,综合应用能力需要加强.
答案第 10 页,总 19 页

【学科网考点定位】本小题主要考查正余弦定理的应用、三角形的面积公式、两角和的正弦 定理、已知三角函数值求解、均值不等式等基础知识,考查同学们分析问题、解决问题的能 力.三角函数是高考的热点内容之一,高考中一般会出现一个解答题与一至两个小题,主要 考查三角函数的图象与性质、三角变换、解三角形等基础知识,难度不大,所以熟练本部分 的基础知识是解答好本类题目的关键. 41. (1) B ? 1200 (2) C ? 150 或 C ? 450

【解析】(1)因给出了边的关系,首选利用余弦定理进行转化; (2)利用第一问的结论,借 助三角公式进行化简求值.利用正弦定理与余弦定理解题,经常利用转化思想,一个是边转 化为角, 另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定, 不管哪个途径, 最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个 定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给计算带来相对的简便.根据已知条件中 边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论;利 用余弦定理的推论, 可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角, 但是计算麻 烦.
2 2 2 (1)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac ,所以 a ? c ? b ? ?ac .

由余弦定理得 cos B ? 因此 B ? 1200 .

a 2 ? c 2 ? b2 1 ?? , 2ac 2

(2)由(1)知 A ? C ? 600 ,所以

cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C

? cos A cos C ? sin A sin C ? 2sin A sin C
? cos( A ? C ) ? 2sin A sin C

?

1 3 ?1 ? 2? 2 4 3 , 2
0 0

?

故 A ? C ? 30 或 A ? C ? ?30 , 因此 C ? 15 或 C ? 45 .
0
0

【学科网考点定位】本题考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题,考查学生的划归 能力和计算能力. 42.(1) f ( x) ? cos 2 x

g ( x) ? sin x

答案第 11 页,总 19 页

(2)存在唯一的 x0 ? (

, ) 满足题意 6 4 (3) a ? ?1 , n ? 1342
【解析】三角函数解析式的确定相对而言应该比较容易,也就是说即使是 20 题的第一问往 往难度也不会太大, 而我们同学可能因为时间的关系而丢掉了捡分的机会, 所以建议大家可 以先试看看此问是否熟悉,再做整体规划。三角函数的图像变换要千万注意左右平移只对 x 而言。而第二问对于是否等比的转化是处理的关键,所以函数思想无处不在,要善于运用。 第三问从特殊到一般的思想是此问的灵魂, 而此法的选择也因为参数分离后三角函数的周期 性,所以万物皆有联系,只是平时要练就一双慧眼就不简单了。 (1)由函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2 又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 ( 故 f ( ) ? sin(2 ?

? ?

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )

?

?
4

4

? ? ) ? 0 ,得 ? ?

?
2

,所以 f ( x) ? cos 2 x

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图 象,再将 y ? cos x 的图象向右平移 (2)当 x ? (

? 个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x 2

? ?

1 1 2 , ) 时, ? sin x ? , 0 ? cos 2 x ? 6 4 2 2 2

所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x

? ? , ) 内是否有解 6 4 ? ? 设 G( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2cos 2 x , x ? ( , ) 6 4
问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 ( 则 G?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2sin 2 x(2 ? sin x) 因为 x ? (

? ?

, ) ,所以 G?( x) ? 0 , G ( x) 在 ( , ) 内单调递增 6 4 6 4 1 ? 2 ? 0 , G( ) ? ?0 4 4 2

? ?

又 G( ) ? ?

?

6

且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ( 即存在唯一的 x0 ? (

? ?

? ? , ) 内存在唯一零点 x0 , 6 4

, ) 满足题意 6 4

(3)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 ,即 x ? k? (k ? Z ) 时, cos 2 x ? 1 ,从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x ) ? 0 的 解,所以方程 F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ?

cos 2 x , x ? k? (k ? Z ) sin x

答案第 12 页,总 19 页

现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况 令 h( x ) ? ?

cos 2 x , x ? (0, ? ) U (? , 2? ) sin x

则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况

h?( x) ?

cos x(2sin 2 x ? 1) ? 3? ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? 2 2 2 sin x

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表

x
h?( x)

(0, ) 2

?

?
Z

? 2 0
1

( ,? ) 2 ?
]

?

(? ,

?
]

3? ) 2

3? 2 0

(

3? , 2? ) 2

?
Z

h( x )

?1

当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交 点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数 个交点,从而不存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交 点;当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内有 3 个交点,由周期性,

2013 ? 3 ? 671 ,所以 n ? 671? 2 ? 1342
综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点 【学科网考点定位】 本题考查了三角函数的性质、恒等变换、图像以及函数的零点。将函 数的所有性质依托于三角函数展示,并且对多方面能力的综合考查。属于难题,但第一问是 送给学生的。
答案第 13 页,总 19 页

43.(1)1

(2)

17 25

【解析】 ( 1 )考查三角函数求值问题,较为简单; ( 2 )利用两角和的余弦公式进行化简

f (2? ?
响.

?

) 3 ,然后再借助二倍角公式进行求解,解题时需注意角的范围对三角函数值的影

(1) f ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?
? ?

(2) f ? 2? ?

??

? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

因为 cos ? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ? 24 7 2 2 , cos 2? ? cos ? ? sin ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

7 ? 24 ? 17 ?? ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? . 25 ? 25 ? 25 3?

【学科网考点定位】三角函数求值与化简,考查学生的转化分析能力和计算能力. 44. (1)

1 5

(2) ? x 2k? ? x ?

? ?

2? ? ? 2k? , k ? Z ? 3 ?

【解析】 ( 1 )对 f ( x ) 化简,先求出 sin? 的值,再求 g (? ) 的值; ( 2 )将问题转化为

f ( x) ? g ( x) ? 0 即可求解.
(1)

? ? 3 1 1 3 3 3 ,所以 f (? ) ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? 6 3 2 2 2 2 5
sin ? ? 3 1 ,因为 ? 是第一象限角,所以 g (? ) ? 1 ? cos ? ? ; 5 5

( 2 ) f ( x) ? sin( x ?

? x ) ? cos( x ? ) ? 3 sin x , g ( x) ? 2sin 2 ? 1 ? cos x ; 因 为 6 3 2 ? 1 化s 简 得 s i xn? ( ? ), 所 以 i ?n ? 1x , c o f ( x) ? g ( x) , 所 以 3 s x 6 2 ? ? 5 ? ? 2 k? ? x ? ? ? 2? k ? , k ,解得 Z 6 6 6
? ? 2? ? ? 2k? , k ? Z ? . 3 ?
答案第 14 页,总 19 页

?

x 的取值集合为 ? x 2k? ? x ?

【学科网考点定位】本题考查三角函数的计算、三角恒等变换、三角函数的性质,考查学生 的基本运算能力. 45. (1) 【

? 1 (2) 1 ? b ? 3 2
解 析 】 ( 1 )

? cos( A ? B) ? (cos A ? 3 sin A) cos B ? 0,? sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0, ? sin A(sin B ? 3 cos B) ? 0,?sin B ? 3 cos B ? 0即2sin( B ? ) ? 0,? B ? . 3 3
此类求三角形的内角的问题在解法上既可以直接化简求值,也可以运用正余弦定理化边为 角,或化角为边,注意角的取值范围. 在三角形 ABC 中有余弦定理得

?

?

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
3

? (a ? c) 2 ? 3ac ? (a ? c) 2 ? 3(

a?c 2 1 1 ) ? .? b ? . 2 4 2

1 b ? a ? c ? 1,? ? b ? 1. 2
用余弦定理和均值不等式是解决该类问题常用的解法, 但是不能忽略题设条件下边长 b 固有 的范围. 【学科网考点定位】本题主要考查解三角形、正余弦定理、基本不等式等基础知识,考查分 析问题解决问题的能力. 46.(1) sin A ? 【解析】

3 3? 4 3 , cos C ? 5 10

(2) f ?

?? ? 7 ?? ? 2 ? 25

a b a sin B 3 ? ? . ,得 sin A ? sin A sin B b 5 4 2 ∵A、B 是锐角,∴ cos A ? 1 ? sin A ? , 5
(1)由正弦定理

(3 分) (4 分)

cos B ? 1 ? sin 2 B ?

3 , 2

(5 分) (6 分)

由 C ? ? ? ( A ? B) ,得 cos C ? cos[? ? ( A ? B)] ? ?cos( A ? B)

? ? cos A cos B ? sin A sin B
4 3 3 1 3?4 3 ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
(2)由(1)知 cos A ? ∴f?

(7 分) (8 分)

4 , 5
(11 分)

?? ? ?? ? 2 ? ? sin ? ? 2 A ? ? cos 2 A ? 2cos A ? 1 ?2? ?2 ?
2

7 ?4? ? 2 ? ? ? ?1 ? 25 ?5?
答案第 15 页,总 19 页

(12 分)

47. (1) 【解析】 (1)

? 3 3 ; (2) . 3 2

b sin A ? 3a cos B ,由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,

即得 tan B ? 3 ,? B ? (2)

? ; 3
2 2 2

sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,

2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a ? cos

?
3



解得 a ? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .

?ABC 的面积 S?ABC ?
?
3

1 3 3 . ac sin B ? 2 2 7 3 3
1 2

48. (1) A ? 【解析】

; (2)

(1)由 2a cos A ? b cos C ? c cos B 及余弦定理或正弦定理可得 cos A ? 所以 A ?

?
3

(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36.又 b+c=8,所以 bc=

28 . 3

由三角形面积公式 S=

1 7 3 bcsinA,得△ABC 的面积为 . 2 3

49. (1) A ? 【解析】 (1)

?
3

; (2) f (C ) ? ? ?1 ?

? ?

3 3? , ?. 2 2 ?

b ? a sin B ? sin C ? c sin B ? sin A
2 2 2

由正弦定理、余弦定理得 b ? a ? c ? bc,? cos A ?

b2 ? a 2 ? c 2 1 ? , 2bc 2

?A ?
(2)

?
3

,………6 分

? 3 f (C ) ? 2sin C ? cos B ? ? sin(2C ? ) ? , 3 2

答案第 16 页,总 19 页

∵?

cos C ? 0 1 ? ? cos C ? ? 0 ? C ? 2 2 3 ?? ? 16sin C ? 24cos C ? 0 ?

? ? ? ? Q 0 ? C ? ,? ? 2C ? ? ? ,sin(2C ? ) ? ?0,1? 3 3 3 3
? 3 3? f (C ) ? ??1 ? , ? …12 分 2 2 ? ?
50. (1) ? ? 2 ; (2) (?2,1) . 【解析】 (1) f ( x ) ?

3 sin ?x ? cos ?x ? 2 sin(?x ?

?
6

)
(4 分)

由题意知 T ? ? , ? ? 2 . (2) f ( A) ? 2, 即 sin( 2 A ?

?
6

) ? 1, 又 ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

11? , 6
(8 分)

?2 A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

b ? 2c sin B ? 2 sin C 2 3 2? ? ? ? [sin( ? C ) ? 2 sin C ] ? 2 sin( ? C ) (10 分) a sin A 3 3 6

?0 ? C ?

2? ? ? ? b ? 2c ? , ? ? ? ? C ? ,? ? 2 sin( ? C ) ? ( ?2,1) 3 2 6 6 a 6
2 3 ; (2) S?ABC ? . 3 2

(12 分)

51.(1) a ? 【解析】

∵ 3 sin 2C ? 2cos C ? 1 ? 3 ,∴ 2sin(2C ?
2

?
6

) ? 2 ? 3.

即 sin(2C ?

?
6

)?

C?

?
3

1 ? ? 13? ? 5? ,又∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? 2C ? ? ,即有 2C ? ? ,解得 2 6 6 6 6 6

.5 分

(1)∵ cos A ?

1 2 2 2 a 3 ,∴ sin A ? .由正弦定理得 ? ,解得 a ? .(8 分) 1 3 3 3 3 3 2

(2)∵ 2sin A ? sin B ,∴ 2a ? b , ①

答案第 17 页,总 19 页

∵ c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?
3

,∴ a ? b ? ab ? 3 . ②
2 2

由①②解得 a ? 1, b ? 2 ,∴ S?ABC ?

1 3 3 .(13 分) ?1? 2 ? ? 2 2 2

52. (1) sin B ? 【解析】

7 7 ; (2) cos A ? cos C ? . 2 4

(1)由 4b sin A ? 7a ,根据正弦定理得 4sin B sin A ? 7 sin A , 所以 sin B ?

7 . 4

4分

(2)由已知和正弦定理以及(1)得

sin A ? sin C ?

7 . 2

① ②

设 cos A ? cos C ? x ,

①2+②2,得 2 ? 2 cos( A ? C ) ?

7 ? x2 . 4



7分

0 0 又 a ? b ? c , A ? B ? C ,所以 0 ? B ? 90 , cos A ? cos C ,

故 cos( A ? C ) ? ? cos B ? ? 代入③式得 x ?
2

3 . 4

10 分

7 . 4

因此 cos A ? cos C ?

7 . 2

53. (1) y ? 2sin(2 x ? 【解析】

?
6

) ? 1 ,增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z (2) 3

解: (1)由 m ? n 得 m ? n ? 0 ,?2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? y ? 0 即 y ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ∴? ∴?

.2分

?
6

) ?1

4分

?

?

2

? 2 k? ? 2 x ? ? k? ? x ? A 2

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

5分

?
6

3

? k? , k ? Z ,即递增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z

6分 7分

(2)因为 f ( ) ? 3 ,所以 2sin( A ?

?

) ? 1 ? 3 , sin( A ? ) ? 1 , 6 6

?

答案第 18 页,总 19 页

∴ A?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z

8分 . 9分 10 分 11 分 12 分

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?

3 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ,即 4 ? b2 ? c 2 ? bc
∴ 4 ? (b ? c)2 ? 3bc ,因为 b ? c ? 4 ,所以 bc ? 4 ∴S
ABC

1 ? bc sin A ? 3 . 2

答案第 19 页,总 19 页



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