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2015-2016学年高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4


第一章 1 .4 1.4.3

三角函数三角函数

三角函数的图象与性质 正切函数的性质与图象

1.理解正切函数的性质,掌握正切函数的图象的作法. 2.能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题.

基 础 梳 理 一、 正切函数的性质
? ? ? π 1.正切函数的定义域和值

域:定义域为 ?x?x≠kπ + ,k∈Z?,值域为 R. 2 ? ? ?

2.正切函数的周期性:y=tan x 的周期是 kπ (k∈Z,k≠0),最小正周期是π . 3.正切函数的奇偶性与对称性:正切函数是奇函数,其图象关于原点中心对称. π ? π ? 4.正切函数的单调性:正切函数在开区间?- +kπ , +kπ ?(k∈Z)内都是增函数. 2 ? 2 ?

? π π? 练习:正切函数 y=tan x 在区间?- , ?上的值域为[-1,1]. ? 4 4?
思考应用 1.能否说正切函数在整个定义域上是增函数? 解析:不能.正切函数在整个定义域上不具有单调性,因为它的定义域不连续,所以, 不能说它在整个定义域上是增函数, 正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数. 举 π 5π 反例:x1= ,x2= ,x1<x2,tan x1=tan x2 这与单调性的定义矛盾.对每一个 k∈Z,在 4 4

1

π π? ? 开区间?kπ - ,kπ + ?内,函数单调递增. 2 2? ? 二、正切函数的图象 1.根据正切函数 y=tan x 的定义和周期,通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间

?-π ,π ?上 的图象. ? 2 2? ? ?

? π π? 2.将正切函数 y=tan x 在区间?- , ?上的图象向左、右扩展,就可以得到正切函 ? 2 2?
π ? ? 数 y=tan x?x≠kπ + ,k∈Z?的图象,我们把它叫做正切曲线.正切曲线是被互相平行 2 ? ? π π 的直线 x=kπ + (k∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的.这些平行直线 x=kπ + (k∈Z) 2 2 叫做正切曲线各支的渐近线.

3.结合正切曲线的特征,类比正弦、余弦函数的“五点法”作图,也可用三点两线作

? π π? 图法作出正切函数 y=tan x 在一个单调区间?- , ?上的简图. ? 2 2?

2

π π ? π ? ?π ? 其中,三点为:?- ,-1?,(0,0),? ,1?.二线为:x=- ,x= .画图时,注 2 2 ? 4 ? ?4 ? 意图象不能与直线 x=kπ + 思考应用 2.你能求不等式 tan x≥ 3的解集吗? 分析:本题可利用图象直观解决. π (k∈Z)相交. 2

? π π? 解析:作正切函数 y=tan x 在区间?- , ?上的简图, ? 2 2?

π ? π π? 观察图象,且由正切函数 y=tan x 在区间?- , ?上单调递增,tan = 3. 3 ? 2 2? ∵tan x≥ π ? π π? 3,即 tan x≥tan ,∴在区间?- , ?内,不等式 tan x≥ 3的解集 3 ? 2 2?

?π ,π ?,故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为?kπ +π ,kπ +π ?(k∈Z). ?3 2? ? 3 2? ? ? ? ?

自 测 自 评 1.函数 y=tan 2x 的最小正周期是(C)
3

A.2π

B.π

π C. 2

π D. 4

π 解析:T= ,故选 C. 2 2.下列命题正确的是(C) A.正切函数在定义域内是增函数 B.正弦函数在定义域内是增函数 C.函数 y=3tan x 的图象关于 y 轴对称 D.若 x 是第一象限角,则 y=tan x 是增函数,y=cos x 是减函数 解析: 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数,可排除 A、B、D,故 选 C.
2

? π? 3.函数 y=tan?x- ?的定义域是(D) 4? ?
? ? π? A.?x?x≠ ? 4? ? ? ? ? π? B.?x?x≠- ? 4? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ? ? ? ? 3π D.?x?x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ?

π π 3π 解析:x- ≠kπ + ? x≠kπ + ,k∈Z. 4 2 4

? 3 ? ?π π ? 4.函数 y=tan x,x∈? , ?的值域为? ,1?. ?6 4? ?3 ?

基 础 提 升 1.函数 y=lg tan x 的增区间是(B) π π? ? A.?kπ - ,kπ + ?(k∈Z) 2 2? ?

4

π? ? B.?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ? π π? ? C.?2kπ - ,2kπ + ? (k∈Z) 2 2? ? D.(kπ ,kπ +π )(k∈Z) π π? π ? 解析:由 tan x>0,得 kπ <x<kπ + (k∈Z).又 y=tan x 在?kπ - ,kπ + ?上是 2 2? 2 ? π? ? 增函数.∴函数 y=lg tan x 的增区间是?kπ ,kπ + ?(k∈Z).故选 B. 2? ? 2.tan 600°的值是(D) A.- 3 3 B. 3 3 C.- 3 D. 3

解析 :tan 600°=tan(360°+240°) =tan 240° =tan(180°+60 °)=tan 60°= 3. 3. 直线 y=a(a 为常数)与函数 y=tan ω x(ω 为常数且 ω >0)的图象相交的相邻两点 间的距离是(C) A.π 2π B. ω π C. ω D.与 a 值有关

解析:利用图象,直线 y=a 与函数 y=tan ω x 的图象相交,相邻两点间的距离就是 y π =tan ω x 的一个最小正周期,即为 .故选 C. ω

? π? 4.函数 f(x)=tan?x+ ?的单调增区间为(C) 4? ?
π π? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 2 2? ? B.(kπ ,(k+1)π ),k∈Z 3π π? ? C.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4? ? π 3π ? ? D.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 4 4 ? ? 5.方程 tan x=- 3(-π <x<π )的解集为(C)
? π 5 ? A.?- , π ? 6 6 ? ? ? π 2 ? C.?- , π ? 3 3 ? ? ? 2 2 ? B.?- π , π ? 3 3 ? ? ?2 5 ? D.? π , π ? 3 3 ? ?

巩 固 提 高

5

? π? 6.若 f(x)=tan?x+ ?,则(A) 4? ?
A.f(0)>f(-1)>f(1) B.f(0)>f(1)>f(-1) C.f(1)>f(0)>f(-1) D.f(-1)>f(0)>f(1) π π π 解析:由 kπ - <x+ <kπ + ,k∈Z 得 2 4 2

kπ -

3π π <x<kπ + ,k∈Z, 4 4

∴f(-1)<f(0).

? π? ? 3π ? 又∵f(1)=tan?1+ ?=tan?1- ?, 4? 4 ? ? ?
3π 3π ? 3π π ? ∴1- ,-1,0∈?- , ?且 1- <-1<0, 4? 4 4 ? 4 ∴f(1)<f(- 1)<f(0),故选 A. tan 2x 7.函数 f(x)= 的定义域为(A) tan x A.?x?x∈R且x≠
? ?

? ?


4

,k∈Z?
?

?

? ? ? π B.?x?x∈R且x≠kπ + ,k∈Z? 2 ? ? ? ? ? ? π C.?x?x∈R且x≠kπ + ,k∈Z? 4 ? ? ? ? ? ? π D.?x?x∈R且x≠kπ - ,k∈Z? 4 ? ? ?

8.利用正切函数图象解不等式. (1)tan x≥-1; (2)tan 2x≤-1.

? π π? ? π? 分析:本题可先作出 y=tan x 在?- , ?上的图象,然后由 tan?- ?=-1,并结 ? 2 2? ? 4?
合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan” ,从而建立自变量间的关系.

6

π ? π? ? π π? 解析:(1)因为 tan x≥-1,tan?- ?=-1,在?- , ?内,满足条件的 x 为:- 4 ? 4? ? 2 2? ≤x< π ,由正切函数的图象及周期性可知,满足此不等式的 x 的取值集合为 2

? ? π ? π ?x?- +kπ ≤x< +kπ ,k∈Z?. 4 2 ? ? ?

? π π? ? π? (2)在 ?- , ?内, tan?- ?=-1.所以不等式 tan 2x≤-1 的解集由不等式 kπ - ? 2 2? ? 4?
π π kπ π kπ π <2x≤kπ - ,k∈Z 确定.解得 - <x≤ - ,k∈Z.所以不等式 tan 2x≤-1 2 4 2 4 2 8 的解集为?x?
? ?

?kπ -π <x≤kπ -π ,k∈Z? ?. 4 2 8 ? 2 ?

? π π? 2 9.已知 f(x)=x +2x·tan θ -1,x∈[-1, 3],其中θ ∈?- , ?. ? 2 2?
π (1)当 θ =- 时,求函数 f(x)的最大值与最小值; 6 (2)求 θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数. π 2 3 2 解析:(1)当 θ =- 时,f(x)=x - x-1. 6 3 ∵x∈[-1, 3], ∴当 x= 3 4 时,f(x)min=- ; 3 3

2 3 当 x=-1 时,f(x)max= . 3 (2)函数 f(x)=x +2x·tan θ -1 的对称轴为 x=-tan θ , ∵y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, ∴-tan θ ≤-1 或-tan θ ≥ 3, 即 tan θ ≥1 或 tan θ ≤- 3.
2

7

π π π π ? π π? 又 θ ∈?- , ?,∴- <θ ≤- 或 ≤θ < , 2 3 4 2 ? 2 2? π ? ?π π ? ? π 即 θ 的取值范围是?- ,- ?∪? , ?. 2 3? ?4 2? ?

1.正切函数单调区间的求法:求 y=Atan(ω x+φ )的单调区间,可先用诱导公式把ω π π 化为正值,再由不等式 kπ - <ω x+φ <kπ + (k∈Z)求得 x 的范围即可. 2 2 2.比较大小问题:比较两个同名函数值的大小,应先保证自变量在同一单调区间内, 再利用函数单调性比较大小.如果自变量不在同一单调区间内,则可用介值法比较大小. 3.解简单的三角不等式:一般地,求解 简单的三角不等式时,既可以用三角函数线, 又可以用三角函数的图象,先得到一个周期内的解集,再加上周期的整数倍,即可得所求的 解集.

8


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