tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

(高二)立体几何—空间向量运算及运用 - 副本


教育个性化教学辅导教案
教师姓名 学科 课称名称 教学目标 教学重点 教学难点 数学 学生姓名 年级 高二 上课时间 教材版本 人教

立体几何—空间向量运算及运用

空间向量及其运算
考纲要求 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其

坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 4.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式,并会解决简单的立体几何问 题.
[来源 :www.shulihua.net]

课 堂 教 学 过 程

1.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 λ,使得______. (2)共面向量定理:如 果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯 一的有序实数对(x,y),使________. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x, y,z},使得______________.其中,{a,b,c}叫做空间的一个______. 推论:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的一个有序实数组{x,y, z},使OP=____________. 2.两个向量的数量积 (1)两向量的夹角:已知两个非零向量 a,b,在空间中任取一点 O,作OA=a,OB=b,则______ 叫做向量 a,b 的夹角,记作〈a,b〉 .通常规定____≤〈a,b〉≤____.若〈a,b〉=____,则称向量 a,b 互相垂直,记作 a⊥b. (2)两向量的数量积. 两个非零向量 a,b 的数量积 a· b=______________. (3)向量的数量积的性质(e 是单位向量): ①a· e=|a|______________;②a⊥b?a· b=____; ③|a|2=a· a=____;④|a· b|____|a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律: ①(λa)· b=λ(a· b);②a· b=______( 交换律); ③a· (b+c)=____________(分配律). 3.空间向量的坐标运算 (1)设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a±b=____________________; λa=________________(λ∈R); a· b=________________; a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=____;







a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R); 2 2 |a|2=a· a?|a|= a1 +a2 2+a3(向量模与向量之间的转化); a1b1+a2b2+a3b3 a· b cos〈a,b〉= = 2 2 2 2 2. |a||b| a1+a2+a3 b1+b2 2+b3 (2)设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), → 则AB=(x2-x1,y2 -y1,z2-z1), → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2. 1.在下列命题中: ①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; ③若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; ④已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得 p=xa+ yb+zc. 其中正确命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值为( ). 1 3 7 A.1 B. C. D. 5 5 5 3.已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的值可以是( ). 1 1 1 A.2, B.- , 2 3 2 C.-3,2 D.2,2 4. 已知四边形 ABCD 为平行四边形, 且 A(4,1,3), B(2, -5,1), C(3,7, -5), 则点 D 的坐标为________. 5.已知 a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则 a,b 的夹角的余弦值为__________.
[来源:www.shulihua.net]

一、空间向量的线性运算 【例 1-1】如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 → → → 中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 分别表 示以下各向量:

→ → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1. → 【例 1-2】已知 O 是空间中任意一点,A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA → → → =2xBO+3yCO+4zDO,则 2x+3y+4z=_ _________.

方法提炼 空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的,要用类比的思想去掌握.在空间向量的加、减、 数乘等线性运算中,要选择适当的向量为基底,用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算,同时

还要以相应的图形为指导. 二、空间向量的数量积 → → 【例 2】已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设AB=a,AC=b, → (1)若|c|=3,且 c∥BC,求向量 c; (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值. 方法提炼 1.两个向量的数量积,其结果是数量,而不是向量,这是与空间向量的加、减、数乘等线性运算 最大的区别. 2.利用两空间向量的数量积运算公式,可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两个向量垂直 等. 请做演练巩固提升 3 三、空间向量 的坐标运算 【例 3-1】已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c, 求:(1)a,b,c; (2)a+c 与 b+c 所成角的余弦值. 【例 3-2】如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90° ,棱 AA1 =2,M,N 分别是 A1B1,AA1 的中点.

→ (1)求|BN|;

[来源:www.shulihua.net]

→ → (2)求 cos〈BA1,CB1〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M. 方法提炼 空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约,可以将空间元素的位置关系转化成数量关系, 将逻辑推理转化成数量计算,可以化繁为简,因此是处理空间问题的一种重要工具和方法.

[来源:www.shulihua.net]

正确构建空间直角坐标系 【典例】(12 分)如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是

? 3,1,0?,点 D 在平面 yOz 内,且∠BDC=90° ,∠DCB=30° . ?2 2 ?

→ (1)求OD的坐标; → → (2)设AD和BC的夹角为 θ,求 cos θ 的值.

答题指导:解答空间向量的计算问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:
(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误; (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化. 另外,平时要重视运算的训练,强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法.

1.如图,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,点 → → → → → → → G 在线段 MN 上,且分 MN 所成的比为 2,现用基向量OA,OB,OC表示向量OG,设OG=xOA+yOB+ → zOC,则 x,y,z 的值分别是( ).

1 1 1 A.x= ,y= ,z= 3 3 3 1 1 1 C.x= ,y= ,z= 3 6 3

1 1 1 B.x= ,y= ,z= 3 3 6 1 1 1 D.x= ,y= ,z= 6 3 3 ).

2.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a⊥(a-λb),则实数 λ 的值为( 14 14 A.-2 B.- C. D .2 3 5

3.如图,在 30° 的二面角 α-l-β 的棱上有两点 A,B,点 C,D 分别在 α,β 内,且 AC⊥AB,BD ⊥AB,AC=BD=AB=1,则 CD 的长度为________.

→ → 4.已知 O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点 Q 在直线 OP 上运动,当QA· QB取最小值时, 点 Q 的坐标是__________. 5.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹 角为 60° .

(1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.

课时作业
一、选择题 1.在下列命题中: ①若向量 a,b 共线,则向量 a,b 所在的直线平行; ②若向量 a,b 所在的直线为异面直线,则向量 a,b 一定不共面; ③若三个向量 a,b,c 两两共面,则向量 a,b,c 共面; ④已知空间的三个向量 a,b,c,则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x,y,z 使得 p=xa+ yb+zc. 其中正确命题的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 3 → → 1→ 1→ 2.对空间任意一点 O,若OP= OA+ OB+ OC,则 A,B,C,P 四点( ). 4 8 8 A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.与 O 点的位置有关 15 3,λ, ?平行,则 λ=( 3.已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b=? ). 2? ? 2 9 9 2 A. B. C.- D.- 3 2 2 3

→ → 4.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若AB=a,AD=b, → → AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是( ).

1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 C.- a - b+c 2 2 1 1 D. a- b+c 2 2 → → 5. 已知空间四边 形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a, 点 E、 F 分别是 BC、 AD 的中点, 则AE· AF 的值为( ). 1 1 3 A.a2 B. a2 C. a2 D. a2 2 4 4 → 6.若 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值为( ). 8 8 19 A.19 B.- C. D. 7 7 14 8 7.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ,则 λ 等于( ). 9 A.2 B.-2 2 2 C.-2 或 D.2 或- 55 55 → → 1 → → 8.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在AC1上且AM= MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN| 2 为( ). 21 6 15 15 A. a B. a C. a D. a 6 6 6 3 二、填空题 9.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t, t),则|b-a|的最小值为__________. 10.正四面体 ABCD 棱长为 2,E、F 分别为 BC、AD 中点,则 EF 的长为__________.
[来源:www.shulihua.net] [来源:www.shulihua.net]

→ → → 11.如图所示,已知空间四边形 ABCD,F 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,若EF=λ(AB+DC), 则 λ=__________.

12.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90° ,D 为 BB1 的中点, 则异面直线 C1D 与 A1C 所成角的余弦值为________ __.

三、解答题 → → 13.已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC.若 m(a+b)+n(a-b) 与 2a-b 垂直,求 m,n 应满足的关系式. 14.如图,在四棱锥 M-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧棱 AM 的长为 3,且 AM → → → 和 AB、AD 的夹角都是 60° ,N 是 CM 的中点,设 a=AB,b=AD,c=AM,试以 a,b,c 为基向量表 → 示出向量BN,并求 BN 的长.

15.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明:AD ⊥D1F; (2)求 AE 与 D1F 所成的角.

16.直三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90° ,D,E 分别为 AB,B B′的中点.

(1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面 直线 CE 与 AC′所成角的余弦值.

空间向量的应用

考纲要求 1.理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与 平面的夹角的计算问题,了解向量方法在 研究立体几何问题中的应用.

1.直线的方向向量及其应用 (1)直线的方向向量: 直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量____(或共线)的向量, 显然一条 直线的方向向量有____个. (2)直线方向向量的应用: 利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面. → ①对于直线 l,点 A 是直线 l 上一点,向量 a 是 l 的方向向量,在直线 l 上取AB=a,则对于直线 l 上任意一点 P,一定存在实数 t,使得______________.这样,点 A 和向量 a 不仅可以确定直线 l 的位 置,还可以具体表示出 l 上的任意一点. ②空间中平面 α 的位置可以由 α 内两条相交直线确定,若设这两条直线相交于点 O,它们的方向 → 向量分别是 a 和 b, P 为平面 α 上任意一点, 由平面向量基本定理可知, 存在有序实数对(x, y), 使得OP =________,这样,点 O 与方向向量 a,b 不仅可以确定平面 α 的位置,还可以具体表示出 α 内的任意 一点. 2.平面的法向量 (1)若直线 l⊥α,取直线 l 的方向向量 a,则向量 a 叫做平面 α 的法向量,显然一个平面的法向量也 有____个,它们是____向量. (2)在空间中, 给定一个点 A 和一个向量 a, 那么, 过点 A, 以向量 a 为法向量的平面是____确定的. 3.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 直线 l1 的方向向量 u1=(a1,b1,c1),直线 l2 的方向向量为 u2=(a2,b2,c2).(注:下面的 λ,k∈ R). 如果 l1∥l2,那么 u1∥u2?u1=λu2?____________; 如果 l1⊥l2,那么 u1⊥u2?u1· u2=0?____________. 直线 l 的方向向量为 u=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量为 n=(a2,b2,c2). 若 l∥α,则 u⊥n?u· n=0?____________; 若 l⊥α,则 u∥n?u=kn?________________. 平面 α1 的法向量为 u1=(a1,b1,c1),平面 α2 的法向量为 u2=(a2,b2,c2). 若 α1∥α2,则 u1∥u2?u1=ku2?______________; 若 α1⊥α2,则 u1⊥u2?u1· u2=0? ______________. 4.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角: ①范围:两异面直线所成的角 θ 的取值范围是______. ②向量求法:设直线 a,b 的方向向 量为 a,b,其夹角为 φ,则有______________. (2)直线与平面所成的角: ①范围:直线和平面所成角 θ 的取值范围是________. ②向量求法:设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 u,直线与平面所成的角为 θ,a 与 u 的夹 角为 φ,则有 sin θ=______或 cos θ=sin φ. (3)二面角: ①二面角的取值范围是__________. ②二面角的向量求法: 若 AB,CD 分别是二面角 α-l-β 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,则二面角的平面角的大小就 → → 是向量AB与CD的夹角(如图甲).

设 n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的两个面 α,β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)的大小 就是二面角的平面角的大小(如图乙、丙). 5.利用空间向量求空间距离 → → → (1)利用|AB|2=AB· AB可以求空间中有向线段的长度.

(2)点面距离的求法. → → → 已知 AB 为平面 α 的一条斜线段, n 为平面 α 的法向量, 则 B 到平面 α 的距离为|BO|=|AB||cos 〈AB, n〉|=______. 1.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则( ). A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l 与 α 斜交 2.若平面 π1,π2 垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是( ). A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1) B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1) C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1) D.n=(1,2,1),n2=(0,-2,-2) A1B1 3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,B1E1=D1F1= ,则 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值为 4 ).

(

1 A. 2 2 C. 17

15 B. 17 1 D. 3

1 4.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量,若 cos〈m,n〉=- ,则 l 与 α 2 所成的角为( ).

A.30° B.60° C.120° D.150° 5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 2, E,F 分别是 AD,PC 的中点.

(1)证明:PC⊥平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 所成锐二面角的大小.

一、利用空间向量证明平行和垂直 π 【例 1-1】如图,在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠ABC= ,OA⊥底面 4 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点.证明:直线 MN∥平面 OCD.

【例 1-2】如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC= 60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明:

(1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

方法提炼 1.利用向量处理平行问题的常用方法: (1)证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.

[来源:www.shulihua.net]

(2)用向量证明线面平行的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明可在 平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量;③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可 用平面内不共线的两个向量线性表示. (3)面面平行:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);②转化为线面平行、线线平行问题. 2.利用向量处理垂直问题的常用方法: (1)证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直,即 a⊥b?a· b=0. (2)用向量证明线面垂直的方法主要有:①证明直线的方向向量与平面的法向量平行;②利用线面 垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (3)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直;②转化为线面垂直、线线垂直问题. 二、利用空间向量求角 1 【例 2】如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2

(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q-BP-C 的余弦值. 方法提炼 如何利用空间向量解决求角的问题: 在立体几何中,涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算, a· b 均可归结为两个向量的夹角.对于空间向量 a,b,有 cos〈a,b〉= ,利用这一结论,我们可以较 |a||b| 方便地处理立体几何中的角的问题. (1)线线角:要求两条异面直线所成的角,可先求两条异面直线的方向向量的数量积,要求两向量 的数量积,可以求得两向量的坐标,也可以把所求向量用一组已知模和夹角的基向量表示出来进行求 解. (2)线面角:直线 l 与平面 α 的夹角为 θ,直线 l 的方向向量 l 与平面 α 的法向量 n 的夹角为 β,则 θ π π |l· n| = -β(或 θ=β- ),故有 sin θ=|cos β|= . 2 2 |l||n| (3)二面角:设 n1,n2 分别是二面角 α-l-β 的面 α,β 的法向量,则〈n1,n2〉与所求二面角的平 面角相等或互补.

三、利用空间向量求距离 【例 3】 如图, △BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面 MCD⊥平面 BCD, AB⊥平面 BCD, AB=2 3. (1)求点 A 到平面 MBC 的距离;

(2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.

方法提炼 空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到线的距离和点到面的距离.其中点到点 的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解,点到面的距离可借助于平面的法向量求解.

空间向量在立体几何问题中的合理应用 【典例】(12 分)(2012 安徽高考)平面图形 ABB1A1C1C 如图 1 所示,其中 BB1C1C 是矩形,BC=2, BB1=4, AB=AC= 2, A1B1=A1C1= 5, 现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C1 折叠, 使△ABC 与△A1B1C1 所在平面都与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 2 所示的空间图形.对此空间 图形解答下列问题.

(1)证明:AA1⊥BC; (2)求 AA1 的长; (3)求二面角 A-BC-A1 的余弦值.

答题指导:解决空间向量在立体几何中的应用问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要
高度关注: (1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整. (2)建系不恰当,导致点的坐标不易确定或求解时烦琐. (3)不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题.

(4)计算失误导致结果不正确. 另外需要熟练掌握直线方向向量及平面法向量的求法,有利于快速 正确地解题.

1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1E=λEO.

(1)若 λ=1,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余弦值; (2)若平面 CDE⊥平面 CD1O,求 λ 的值.

2.如图,已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=1,直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角 为 30° ,AE 垂直 BD 于点 E,F 为 A1B1 的中点.

(1)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值; (2)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角的余弦值.

3.如图所示,在直 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90° ,侧棱 AA1=2, 2 6 CA=2,D 是 CC1 的中点,试问在 A1B 上是否存在一点 E 使得点 A1 到平面 AED 的距离为 ? 3

课时作业
一、选择题 1.平面 α 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面 α 的法向量不垂直的 是( ). 1 ? A.? B.(6,-2,-2) ?2,-1,-1? C.(4,2,2) D.(-1,1,4) → → → → → 2.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则 实数 x,y,z 分别为( ). 33 15 40 15 A. ,- ,4 B. ,- ,4 7 7 7 7 40 40 C. ,-2,4 D.4, ,-15 7 7 3. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为 A1C1 的中点, 则异面直线 CE 与 BD 所成的角为( ).

A.30° B.45° C.60° D.90° 4.已知 a=(1,1,1),b=( 0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若 c 与 a 及 b 都垂直,则 m,n 的 值分别为( ). A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 5.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M= 2a AN= ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ). 3

A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 6.在空间直角坐标系 O-xyz 中,平面 OAB 的一个法向量为 n=(2,-2,1),已知点 P(-1,3,2), 则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( ). A.4 B.2 C.3 D.1 7.如图所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦 值为( ).

1 A. 5 3 C. 5

2 B. 5 4 D. 5

1 8.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 是矩形,且 AF= AD 2 =a,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( ).

A.

6 6

B.

3 3

C.

6 3

D.

2 3

二、填空题 9.已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为________.

3 → → 10.如图,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的中点,cos〈DP,AE〉= , 3 若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为__________.

11.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90° ,点 E, F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成角的大小是__________.

12.已知 PD⊥正 方形 ABCD 所在平面,PD=AD=1,则点 C 到平面 PAB 的距离 d=__________. 三、解答题 13.如图,已知三棱柱 A BC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC= 90° ,且 AB=AA1,D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点.求证: (1)DE∥平面 ABC; (2)B1F⊥平面 AEF.

1 14.(2012 课标全国高考)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点, 2 DC1⊥BD.

(1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小.

15 .(2012 浙江嘉兴模拟)如图,已知平行四边形 ABCD 中,AD=2,CD= 2,∠ADC=45° ,AE ⊥BC, 垂足为 E, 沿直线 AE 将△BAE 翻折成△B′AE, 使得平面 B′AE⊥平面 AECD. 连接 B′D, P 是 B′D 上的点.

(1)当 B′P=PD 时,求证 CP⊥平面 AB′D; (2)当 B′P=2PD 时,求二面角 P-AC-D 的余弦值.
[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

课堂练习 课后作业 本节课教学计划完成情况: 照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________ ________________________________ ________________________________

课 后 评 价

学生的接受程度: 完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ 学生的课堂表现:很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

评 价

教务主任 审批

学管审批


推荐相关:

(高二)立体几何—空间向量运算及运用 - 副本

(高二)立体几何—空间向量运算及运用 - 副本_数学_高中教育_教育专区。教育个性化教学辅导教案教师姓名 学科 课称名称 教学目标 教学重点 教学难点 数学 学生姓名 ...


(高二)立体几何—空间向量运算及运用

(高二)立体几何—空间向量运算及运用_数学_高中教育_教育专区。教育个性化教学辅导教案教师姓名 学科 课称名称 教学目标 教学重点 教学难点 数学 学生姓名 年级 高二...


(含答案)空间向量及在立体几何中的应用

(含答案)空间向量及立体几何中的应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。(含答案)空间向量及立体几何中的应用 空间向量及其运算一、空间向量及其运算 1.空间...


高中数学选修2-1-空间向量与立体几何

空间向量基本定理 平行与垂直的条件 空间向量的坐标运算 立体几何中的向量方法 向量夹角与距离 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行与垂直问题 求空间角...


2011届高中数学立体几何复习6:空间向量的坐标运算

①通过建立空间直角坐标系,点用三维坐标表示,向量用坐标表示,进行向量运算,轻而易举地解决 立体几何问题,不需要添加辅助线一个需要经过严密推理论证的问题就这样...


空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

空间向量立体几何知识点和习题(含答案)_数学_高中...3c. (3)空间向量的数量积运算: ①空间向量的数量...2 2.空间向量立体几何中的应用: (1)直线的方向...


高中数学 空间向量与立体几何

专题四:立体几何空间向量立体几何 第三讲 空间向量立体几何【最新考纲透析】 最新考纲透析】 1.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本...


高三数学一轮专题复习------- 空间向量在立体几何中的应用(有详细答案)

专题复习--- 空间向量立体几何中的应用(有详细答案)_数学_高中教育_教育专区...题型 3 空间的角的计算 例 3 (2013· 苏锡常镇二模)如图,圆锥的高 PO=4...


空间向量在立体几何中的应用

空间向量立体几何中的应用_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高三一轮复习使用...③在平面图形内计算. 空间中各种距离的计算,最终都要转化为线段长度,特殊情况也...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com