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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第三章 第4讲 简单的三角恒等变换


第 4 讲 简单的三角恒等变换

考点一__三角函数式的化简____________________ θ θ (1+sin θ +cos θ )?sin -cos ? 2 2? ? 化简:(1) (0<θ<π ); 2+2cos θ

? 1 -tan α ? α 2 ?·(1+tan α ·tan ). α (2)? 2 ?tan ? 2 ? ?
[解] (1)原式=

?2sin θcos θ+2cos2θ??sin θ-cos θ? 2 2 2 ?? 2 2? ?
4cos2 cos =

θ
2

θ?
2?

sin2

θ

θ -cos2 ? 2 2?

?cos θ? 2? ?
-cos

θ
2

·cos θ .



?cos θ? 2? ?

θ π θ 因为 0<θ<π,所以 0< < ,所以 cos >0. 2 2 2
所以原式=-cos θ.

α α sin sin ?cos α 2 2? ? 2? sin α - 1 + · (2)原式=? · α α? ? cos α α? sin cos cos ? 2 2? ? 2?
cos αcos +sin αsin 2 2 = · α α α sin cos cos αcos 2 2 2 2 2cos α 2 · = . sin α α sin α cos αcos 2 cos cos2 -sin2 2 2

α

α

α

α

α



[规律方法] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆 分,从而正确使用公式;

(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切 化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式 要通分”等. 1 2cos4x-2cos2x+ 2 1.化简: . π π 2tan ? -x?sin2? +x? ?4 ? ?4 ? 1 -2sin2xcos2x+ 2 解:原式= π π 2sin? -x?cos2? -x? ?4 ? ?4 ? π cos? -x? ?4 ? 1 1 2 (1-sin22x) cos 2x 2 2 = = π π π 2sin? -x?cos? -x? sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ? 1 = cos 2x. 2 考点二__三角函数式的求值(高频考点)__________ 三角函数的求值在高考中主要以选择题形式出现, 有时以解答题某一步出现, 试题难度 较小,高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度: (1)给角求值; (2)给值求值; (3)给值求角. sin 110°sin 20° (1) 2 的值为( cos 155°-sin2155° 1 A.- 2 C. 3 2 1 B. 2 D.- 3 2 )

(2)(2015· 黑 龙 江 哈 三 中 第 四 次 月 考 ) 已 知 tan 2 θ = - 2 2 , π <2 θ <2 π , 化 简 θ 2cos 2 -sin θ -1 2 =________. π 2sin?θ + ? 4? ? 1 1 (3)已知 α,β ∈(0,π ),且 tan(α-β)= ,tan β =- ,则 2α-β=________. 2 7 sin 110°sin 20° sin 70°sin 20° [解析] (1) 2 = cos 155°-sin2155° cos 310°

1 sin 40° cos 20°sin 20° 2 1 = = = . cos 50° sin 40° 2 cos θ-sin θ 1-tan θ (2)原式= = . cos θ+sin θ 1+tan θ π ∵2θ∈(π,2π),∴θ∈? ,π?. ?2 ? 2tan θ 而 tan 2θ= =-2 2, 1-tan2θ ∴ 2tan2θ-tan θ- 2=0, 即( 2tan θ+1)(tan θ- 2)=0. 故 tan θ=- 2 或 tan θ= 2(舍去). 2

2 1+ 2 1-tan θ ∴ = =3+2 2. 1+tan θ 2 1- 2 (3)∵tan α=tan[(α-β)+β]= tan(α-β)+tan β 1-tan(α-β)tan β

1 1 - 2 7 π 1 = = >0,∴0<α< . 1 1 3 2 1+ × 2 7 1 2× 3 2tan α 3 又 tan 2α= = 2 2= >0, 1 1-tan α ? 4 1-? ?3? π ∴0<2α< , 2 3 1 + 4 7 tan 2α-tan β ∴tan(2α-β)= = =1. 3 1 1+tan 2αtan β 1- × 4 7 π 1 ∵tan β=- <0,∴ <β<π,-π<2α-β<0, 7 2 3π ∴2α-β=- . 4 [答案] (1)B (2)3+2 2 (3)- 3π 4

[规律方法] 三角函数求值有三类 (1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观 察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊 角并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题

关键在于“变角” ,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 确定角. π 2sin2α +sin 2α π 1 2.(1)已知 tan?α + ?= ,且- <α <0,则 =( 2 4? 2 ? π? ? cos α - 4? ? 2 5 A.- 5 3 10 C.- 10 3 5 B.- 10 2 5 D. 5 )

1+sin β π π (2)(2014· 高考课标全国卷Ⅰ)设 α∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则 2? 2? ? ? cos β ( ) π A.3α -β= 2 π C.3α +β= 2 sin250° (3) =________. 1+sin 10° π π tan α+1 1 1 解析:(1)∵tan?α+ ?= = ,∴tan α=- ,∵- <α<0,∴sin α=- 3 2 4 ? 1-tan α 2 ?
2 10 2sin α+sin 2α 2sin α(sin α+cos α) 2 5 10? , = =2 2sin α=2 2×?- =- . 10 5 10 π ? ? 2 cos?α- ? ( cos α + sin α ) 4? ? 2

π B.2α -β= 2 π D.2α +β= 2

1+sin β sin α 1+sin β (2)法一:由 tan α= ,得 = , cos β cos β cos α 即 sin αcos β=cos α+cos αsin β, π ∴sin(α-β)=cos α=sin? -α?. ?2 ? π π ∵α∈?0, ?,β∈?0, ?, 2? 2? ? ? π π π π ∴α-β∈?- , ?, -α∈?0, ?, 2? ? 2 2? 2 ? π π ∴由 sin(α-β)=sin? -α?,得 α-β= -α, 2 ?2 ? π ∴2α-β= . 2 π 1+cos? -β? 1+sin β ?2 ? 法二:tan α= = cos β π sin? -β? ?2 ?

π β π β 2cos2? - ? cos? - ? ? 4 2? ? 4 2? = = π β? ?π β? ? ?π β? 2sin - cos - ? 4 2? ? 4 2? sin? 4 -2? π β? ? 4 +2? π β = =tan? + ?, π β ? 4 2? + ? cos? ?4 2? π β ∴α=kπ+? + ?,k∈Z, ? 4 2? π ∵α,β∈?0, ?, 2? ? π β ∴α= + , 4 2 π ∴2α-β= . 2 sin250° (3) 1+sin 10° = = = 1-cos 100° 2(1+sin 10°) 1-cos(90°+10°) 2(1+sin 10°) 1+sin 10° 1 = . 2(1+sin 10°) 2 sin?

1 答案:(1)A (2)B (3) 2 考点三__三角恒等变换的简单应用______________ 1 ? 2 ? π? ? π? 已知 f(x)=? ?1+tan x?sin x-2sin?x+ 4 ?·sin?x- 4 ?. (1)若 tan α =2,求 f(α)的值; (2)若 x∈? [解] π π? ?12, 2 ?,求 f(x)的取值范围.

1-cos 2x 1 π π (1)f(x) = (sin2x + sin xcos x) + 2sin ?x+ ? · cos ?x+ ? = + sin 2x + 2 2 ? 4? ? 4?

π sin?2x+ ? 2? ? 1 1 = + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x 2 2 1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ . 2 2 2sin αcos α 2tan α 4 由 tan α=2,得 sin 2α= 2 = = . sin α+cos2α tan2α+1 5

cos2α-sin2α 1-tan2α 3 cos 2α= 2 = =- . 5 sin α+cos2α 1+tan2α 1 1 3 所以 f(α)= (sin 2α+cos 2α)+ = . 2 2 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 = π 1 2 ? sin 2x+ ?+ . 2 4? 2 ? π ?5π 5π? π π? ?12, 2 ?,得 2x+ 4 ∈? 12 , 4 ?.

由 x∈? ∴-

2+1 π 2 ≤sin?2x+ ?≤1,∴0≤f(x)≤ , 2 2 4? ?

所以 f(x)的取值范围是?0,

? ?

2+1? ? . 2 ?

[规律方法] (1)将 f(x)化简是解题的关键,本题中巧妙运用“1”的代换技巧,将 sin 2α, cos 2α化为关于正切 tan α 的关系式,为第(1)问铺平道路. (2)把形如 y=asin x+bcos x 的式子化为 y=Asin(x+φ),在本章中可进一步研究函数的 周期、单调性、最值与对称性.(下两节讲解) π 3.已知向量 a=(sin θ ,-2)与 b=(1,cos θ )互相垂直,其中 θ∈?0, ?. 2? ? (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; π (2)若 5cos(θ-φ)=3 5cos φ,0<φ< ,求 cos φ 的值. 2 解:(1)∵a⊥b,∴a· b=sin θ-2cos θ=0,即 sin θ=2cos θ. 1 4 又∵sin2θ+cos2θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1,即 cos2θ= ,∴sin2θ= . 5 5 π? 2 5 5 又∵θ∈? ?0,2?,∴sin θ= 5 ,cos θ= 5 . (2)∵5cos(θ-φ)=5(cos θcos φ+sin θsin φ) = 5cos φ+2 5sin φ=3 5cos φ, ∴cos φ=sin φ,∴cos2φ=sin2φ=1-cos2φ, 1 即 cos2φ= . 2 π 2 又∵0<φ< ,∴cos φ= . 2 2

方法思想——三角函数式的化简(一题多解) 1 化简 sin2α ·sin2β +cos2α ·cos2β - cos 2α ·cos 2β . 2

1 [解] 法一:原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- (2cos2α-1)(2cos2β-1) 2 1 =sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- (4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) 2 1 =sin2α·sin2β+cos2α·cos2β+cos2αsin2β+cos2βsin2α- 2 1 =sin2β(sin2α+cos2α)+cos2β(sin2α+cos2α)- 2 1 1 1 =sin2β+cos2β- =1- = . 2 2 2 1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 1 法二:原式= · + · - cos 2α·cos 2β 2 2 2 2 2 1 1 = (1+cos 2α· cos 2β-cos 2α-cos 2β)+ (1+cos 2α· cos 2β+cos 2α+cos 2β) 4 4 1 - cos 2α·cos 2β 2 1 1 1 1 = + cos 2α·cos 2β- cos 2α·cos 2β= . 2 2 2 2 1 法三:原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)· cos2β- cos 2α·cos 2β 2 1 =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- cos 2α·cos 2β 2 1 =cos2β-sin2αcos 2β- cos 2α·cos 2β 2 1 2 ? =cos2β-cos 2β? ?sin α+2cos 2α? = = 1+cos 2β 1 2 2 ? -cos 2β·? ?sin α+2(1-2sin α)? 2 1+cos 2β 1 1 - cos 2β= . 2 2 2

[名师点评] 本题给出了三种不同方法,其解题思路是异角化同角,复角化单角,异次 化同次等,化简要求是项数尽量少,次数尽量低,函数种类尽量少,能求值的必须求出函数 值,数值结果也要化为最简形式.本题若是选择题或填空题,可令 α=β=0,此题即可解决. sin 2x+2sin2x π 3 17 7 已知 cos? +x?= ,若 π <x< π ,求 的值. 12 4 ?4 ? 5 1-tan x π 17 7 5 解:法一:由 π<x< π,得 π<x+ <2π. 12 4 3 4 π π 3 4 又 cos? +x?= ,所以 sin? +x?=- , 5 ?4 ? 5 ?4 ? π π 所以 cos x=cos?? +x?- ? ?? 4 ? 4 ? π π π π =cos? +x?cos +sin? +x?sin 4 ?4 ? ?4 ? 4

3 2 4 2 2 = × - × =- . 5 2 5 2 10 7 2 从而 sin x=- ,tan x=7. 10 则 sin 2x+2sin2x 2sin xcos x+2sin2x = 1-tan x 1-tan x

7 2? ? 2 7 2?2 2?- ·- ?+2?- ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 28 = =- . 75 1-7 π 4 法二:由法一得 tan? +x?=- . 3 ?4 ? 又 sin 2x=-cos? =-2cos2? 则 π ? ?π ? ? 2 +2x?=-cos 2? 4 +x?

π ? 18 7 +x +1=- +1= . 25 25 ?4 ?

sin 2x+2sin2x sin 2x+2sin2x = sin x 1-tan x 1- cos x

sin 2xcos x+2sin2xcos x sin 2x(sin x+cos x) = = cos x-sin x cos x-sin x 1+tan x 4 π 7 28 - ? =sin 2x· =sin 2x·tan?x+ ?= ×? ? 4 ? 25 ? 3?=-75. 1-tan x

π π 1 1.(2015· 青岛模拟)设 tan?α - ?= ,则 tan?α+ ?=( 4? 4 4? ? ? A.-2 C.-4 B.2 D.4

)

π tan α-1 1 π tan α+1 5 解析: 选 C.因为 tan?α- ?= = , 所以 tan α= , 故 tan?α+ ?= 3 4 ? 1+tan α 4 4 ? 1-tan α ? ? =-4.故选 C. 2sin235°-1 2. 的值为( cos 10°- 3sin 10° A.1 1 C. 2

) B.-1 1 D.- 2

2sin235°-1 -cos 70° 1 解析:选 D.原式= = =- . 2 2sin 20° 1 3 2( cos 10°- sin 10°) 2 2

3.已知锐角 α,β 满足 sin α = 3π A. 4 π C. 4 解析:选 C.由 sin α= = 10 , 10

5 3 10 ,cos β = ,则 α+β 等于( 5 10 π 3π B. 或 4 4 π D.2kπ + (k∈Z) 4

)

5 3 10 2 5 ,cos β= ,且 α,β为锐角,可知 cos α= ,sin β 5 10 5

2 5 3 10 5 10 2 故 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= × - × = . 5 10 5 10 2 π 又 0<α+β<π,故 α+β= . 4 π π β π π β 1 3 α + ?=( 4.若 0<α< ,- <β <0,cos?α + ?= ,sin? - ?= ,则 cos? 2? ? 2 2 4? 3 ? ? 4 2? 3 A. C. 3 3 6 3 B.- D.- 3 3 6 9 )

π π 3π π π β π π π β 2 2 解析: 选 C.由已知得 < +α< , < - < , 所以 sin? +α?= cos? - ? 4 4 4 4 4 2 2 ?4 ? 3 , ? 4 2? = 6 , 3 β? ??π ? ?π β?? cos? ?α+2?=cos?? 4 +α?-? 4 -2?? π π β π π β =cos? +α?cos? - ?+sin? +α?sin? - ? ?4 ? ? 4 2? ?4 ? ? 4 2? = 6 . 3

π π 2 5. 已知 a=(cos 2α , sin α ), b=(1, 2sin α -1), α ∈? ,π ?, b= , 则 tan?α + ? 5 4? ?2 ? 若 a· ? 的值为( 1 A. 3 1 C. 7 ) 2 B. 7 2 D. 3

解析:选 C.∵a· b=cos 2α+sin α(2sin α-1) 2 =1-2sin2α+2sin2α-sin α=1-sin α= , 5 π 3 4 ∴sin α= ,∵α∈? ,π?,∴cos α=- , 5 5 ?2 ? π tan α+1 1 3 ∴tan α=- ,∴tan?α+ ?= = . 4 4 ? 1-tan α 7 ?

π 3 3 6.已知点 P(sin π ,cos π )落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π ),则 tan(θ+ )的值为 4 4 3 ________. 解析:∵点 P 坐标为( 2 2 ,- ), 2 2

∴θ为第四象限角,tan θ=-1, π tan θ+ 3 -1+ 3 ∴tan(θ+ )= = 3 1- 3tan θ 1+ 3 =2- 3. 答案:2- 3 π 5π 3 3 7 . (2015· 东北三校第一次联考 ) 若 cos ?α+ ? - sin α = ,则 sin ?α + ? = 5 6? 6 ? ? ? ________. π 3 3 解析:∵cos?α+ ?-sin α= , 5 6? ? π π 3 3 ∴cos αcos -sin αsin -sin α= , 6 6 5 ∴ π 3 3 3 3 3 cos α- sin α= ,∴cos?α+ ?= . 2 2 5 3? 5 ?

5π π 5π ∴sin?α+ ?=cos? -?α+ ?? 6 ? 6 ?? ? ?2 ? π 3 =cos?α+ ?= . 3? 5 ? 3 答案: 5 α α α 4 8.设 α 是第二象限角,tan α =- ,且 sin <cos ,则 cos =________. 3 2 2 2 解析:∵α 是第二象限角,∴ 可能在第一或第三象限.又 sin <cos ,∴ 为第 2 2 2 2 三象限角,∴cos

α

α

α

α

α
2

<0.

4 ∵tan α=- , 3

α 3 ∴cos α=- ,∴cos =- 5 2
答案:- 5 5

1+cos α 5 =- . 2 5

π π 1 5 9.已知 tan α =- ,cos β = ,α ∈( ,π ),β ∈(0, ),求 tan(α+β)的值,并 3 5 2 2 求出 α+β 的值. 解:由 cos β= π 5 ,β∈(0, ), 5 2

2 5 得 sin β= ,tan β=2. 5

tan α+tan β ∴tan(α+β)= = 1-tan αtan β π π ∵α∈( ,π),β∈(0, ), 2 2 ∴ π 3π <α+β< , 2 2

1 - +2 3 =1. 2 1+ 3

5π ∴α+β= . 4 π π 1 4 10.已知 0<α< <β <π ,cos?β - ?= ,sin(α+β)= . 2 5 4? 3 ? (1)求 sin 2β 的值; π (2)求 cos?α + ?的值. 4? ? π π π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos?β- ?=cos cos β+sin sin β= cos β+ sin β= , 4 4 2 2 3 4? ? ∴cos β+sin β= 2 2 7 ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β=- . 3 9 9

π π 7 法二:sin 2β=cos? -2β?=2cos2?β- ?-1=- . 9 4? ?2 ? ? π (2)∵0<α< <β<π, 2 ∴ π π 3 π 3π <β- < π, <α+β< . 4 4 4 2 2

π ∴sin?β- ?>0,cos(α+β)<0, 4? ? π 1 4 ∵cos?β- ?= ,sin(α+β)= , 5 4? 3 ? π 2 2 3 ∴sin?β- ?= ,cos(α+β)=- . 3 5 4? ? π π π ∴ cos ?α+ ? = cos ?(α+β)-?β- ?? = cos(α + β)· cos ?β- ? + sin(α + 4? 4 ?? 4? ? ? ? ? π β)sin?β- ? 4? ? 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 1.(2013· 高考重庆卷)4cos 50°-tan 40°=( A. 2 C. 3 B. 2+ 3 2 )

D.2 2-1 sin 40° 解析:选 C.4cos 50°-tan 40°=4sin 40°- cos 40°

= = = = =

4sin 40°cos 40°-sin 40° 2sin 80°-sin 40° = cos 40° cos 40° sin 80°+sin(60°+20°)-sin(60°-20°) cos 40° sin 80°+2cos 60°sin 20° sin 80°+sin 20° = cos 40° cos 40° sin(50°+30°)+sin(50°-30°) cos 40° 2sin 50°cos 30° cos 40° = 3· = 3. cos 40° cos 40°

A-B C 2.(2015· 杭州市第二次模拟)在△ABC 中,若 3cos2 +5cos2 =4,则 tan C 的最大 2 2 值为( ) 4 B.- 3 D.-2 2 3 A.- 4 C.- 2 4

A-B 1+cos(A-B) 1+cos C C 解析: 选 B.由已知 3cos2 +5cos2 =4?3· +5· =4?3cos(A 2 2 2 2 -B)+5cos C=0. 1 3cos(A-B)-5cos(A+B)=0?cos Acos B=4sin Asin B?tan Atan B= ,由此可知,tan 4 A>0,tan B>0. tan A+tan B 4 4 又 tan C=-tan(A+B)=- =- (tan A+tan B)≤- ,其中 tan A+tan B≥ 3 3 1-tan Atan B 4 2 tan Atan B=1,因此,tan C 的最大值为- ,故选 B. 3 sin x+cos x 3.若 =3,tan(x-y)=2,则 tan(y-2x)=________. sin x-cos x sin x+cos x 解析:由 =3, sin x-cos x 得 tan x+1 =3,即 tan x=2. tan x-1

tan(y-x)=-tan(x-y)=-2, tan(y-x)-tan x -2-2 4 ∴tan(y-2x)= = = . 3 1+tan(y-x)tan x 1-4 4 答案: 3 1 1 4. 若 α、 β 是锐角, 且 sin α -sin β =- , cos α -cos β = , 则 tan(α-β)=________. 2 2 1 1 解析:∵sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , 2 2 1 两式平方相加得:2-2cos αcos β-2sin αsin β= , 2

1 3 即 2-2cos(α-β)= ,∴cos(α-β)= . 2 4 π 1 ∵α、β 是锐角,且 sin α-sin β=- <0,∴0<α<β< . 2 2 π ∴- <α-β<0. 2 ∴sin(α-β)=- 1-cos2(α-β)=- sin(α-β) 7 ∴tan(α-β)= =- . 3 cos(α-β) 答案:- 7 3 7 . 4

1 1+cos 20° 5.求值: -sin 10°?tan 5°-tan 5°?. ? ? 2sin 20° 2cos2 10° ?cos 5°- sin 5° ? 解:原式= -sin 10°? ? 2×2sin 10°cos 10° ? sin 5° cos 5°? = = cos 10° cos2 5°-sin2 5° -sin 10°· 2sin 10° sin 5°cos 5° cos 10° cos 10° -sin 10°· 1 2sin 10° sin 10° 2 cos 10° cos 10°-2sin 20° -2cos 10°= 2sin 10° 2sin 10° cos 10°-2sin(30°-10°) 2sin 10°

= =

1 3 cos 10°-2? cos 10°- sin 10°? 2 ?2 ? = 2sin 10° = 3sin 10° 3 = . 2 2sin 10°

π α 1 2 6.(选做题)已知 0<α< <β <π ,tan = ,cos(β-α)= . 2 2 2 10 (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. 解:(1)∵tan

α 1
2

= , 2

1 2× 2 4 ∴tan α= = 2= . 1 α ? 3 1-? 1-tan2 2 ? ? 2 2tan 2 sin α 4 ? ? = , 由?cos α 3 ? ?sin2α+cos2α=1.

α

4 4 解得 sin α= (sin α=- 舍去). 5 5 (2)由(1)知 cos α= 1-sin2α= 4?2 3 1-? ?5? =5,

π 又 0<α< <β<π,∴β-α∈(0,π), 2 而 cos(β-α)= 2 . 10 1-?
2 2? 7 2 = , ? 10 ? 10

∴sin(β-α)= 1-cos2(β-α)= 于是 sin β=sin[α+(β-α)] =sin αcos(β-α)+cos αsin (β-α) 4 2 3 7 2 2 = × + × = . 5 10 5 10 2 3π π 又 β∈? ,π?,∴β= . 4 ?2 ?


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