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有理数奥赛题例题


第一讲 与有理数有关的概念
例 1 将正偶数按下表排列: 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 …… 2 第一行 4 6 第二行 8 10 12 第三行 14 16 18 20 第四行 …… 根据上面的规律,则 2008 所在行、列是 . 1 1 1 例 2 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数,如 , , , 任何一个单位分数都可以拆分为两个 ? 2 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 单位分数的和,如 ? ? , ? ? , ? ? , ? 2 3 6 3 4 12 4 5 20 1 1 1 (1)根据对上述分子的观察,你会发现 ? ? , 请写出□, ○所表示的数; 5 □ ○ 1 1 1 (2)进一步思考,单位分数 ,(n 是不小于 2 的正整数)= ? , 请写出△,□所表示的式,并 n △ □ 加以验证. a-b b?c c?a 例 3 三个有理数 a、b、c 两两不等,那么在 中有几个是负数. , , b-c c?a a ?b 例 4 用代数法说明:一个三位数的百位数字与个位数字交换位置后,所得的新数与原来的三位 数的差必是 11 的倍数.

第二讲 数轴与相反数
例 1 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边 20m 处, 玩具店位于书店东边 100m 处,小明从书店沿街向东走了 40m,接着又向东走了-60m,此时 小明的位置是( ) A.文具店 B.玩具店 C.文具店西边 40m D.玩具店东边-60m 例 2 如下图,数轴上标出若干点,每相邻两点相距 1 个单位,数轴上还标出了 4 个点 A、B、 C、D,它们对应的数分别是 a、b、c、d,且 d-2a=10,那么数轴原点是( )
A B C D

A.A 点

B.B 点

C.C 点

D.D 点

例 3 已知 a<0<c, ab>0, b > c > a , 化简 a ? b ? b ? c ? a ? b ? 2a ? c

例 4 如下图所示,按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆(该圆周长为 3 个单位长度, 且在圆周的三等分点处分别标有数字 0、1、2)上,先让原点与圆周长上数字 0 所对应的点 重合,再将正半轴按顺时针方向绕在该周长上,使数轴上 1、2、3、4…所对应的点分别与圆 周上 1、2、0、1…所对应的点重合,这样,正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对 应关系.(1)圆周上的数字 a 与数轴上的数 5 对应,则 a= . (2)数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 n 圈(n 为正整数)后,并落在圆周上的数字 1 对 应的位置. 这个整数是 (用含 n 的代数式表示).
0 0 2 1 1 2 3
0 0 2 1 1 2 3

0 2 1 1 2 3

4 3 2 0 2 1

3 0 2 1

4

5

第三讲 绝对值
例 1 计算:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? - ? -1 2008 2007 2007 2006 2006 2005 3 2 2

例 2 已知 a、b、c 是非零有理数, (1)求
a b c ab bc ca abc ? ? ? ? ? ? 的最小值. a b c ab bc ca abc

(2)若 abc<0, x ?

a b c ? ? , a b c
2008

试求代数式 ?1 ? 2 x ?

? 2008 x ? 2008 的值.

例 3 已知 y ? x ? a ? x ? 19 ? x - a ? 96 ,如果 19<a<96,a≤x≤96,求 y 的最大值.
2 x ? 3x 2 x ? 5x

例 4 化简: (1)

(2) x ? 5 ? 2 x ? 3

例 5 求 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 ? ? ? x ? 2008 的最小值.

第四讲 有理数的巧算
例 1 计算: (1) 29

3 1 1 2 1 2 - 1 - 15 ? 3 - 2 - 14 ? 0.25 5 3 4 3 3 5
3 3 3

? 3? ? 3 ? 25 ? 12 ? ? 3 ? ? 4? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? 4 3 ? ? - ? (2) ? - ? ? 0.75 ? 0.5 ? ? - ? ? ? 4? ? 4 ? 37 ? 25 ? ? 4 ? ? 3?

3

(3) ?- 0.125 ?

12

? 2? ? 3? 13 ? ?1 ? ? ?- 8? ? ? - ? ? 3? ? 5?

7

9

例 2 计算 1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+…+2005-2006-2007+2008
例 3 观察下列等式:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1- , ? - , ? - , ? ? ? 1? 2 2 2 ×3 2 3 3 ×4 3 4 n?n ? 1? n n ? 1
将以上几个等式相加得到

1 1 1 1 1 , ? ? ??? ?1? 1×2 2 ? 3 3 ? 4 n?n ? 1? n ?1

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 99 ? 100 1 1 1 1 例 4 计算 ? ? ? ? ? 2 4 8 1024
用上述方法计算: 例 5 计算

1 1 1 ? ?1 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?? 2 3 2003 ? ? 2 3 4 2003 2004 ? ? 2 3 2004 ? ? 1 ? ?1 1 1 ? ? ? ??? ? 2003 ? ?2 3 4


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