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数学高二(上)沪教版(数列章节复习(二))教师版


年 课

级:高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

数列的章节复习(二)

教学目的

复习巩固数列这一章的知识点及常用的解题方法,查漏补缺。

教学内容

【知识梳理】

? ? ?定义 ?

? ? ? ? ?等差中项 ? ? ? ?递推公式 ? ?等差数列 ? ? ? ?通项公式 ? ? ?前n项和公式 ? ? ? ? ? ? ?性质 ? ? ? ?定义 ? ? ? ? ? ?等比中项 ? ? ?递推公式 ? ? ? ?数列 ?等比数列 ? ? ? ?通项公式 数列与数学归纳法 ? ? ?前n项和公式 ? ? ? ? ? ? ?性质 ? ? ? ?定义 ? ? ? ? ?四则运算 ? ?数列的极限 ? ? ? ?常见的重要极限 ? ? ?无穷等比数列各项和 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?数学归纳法证明的步骤 ? ?数学归纳法 ? ?归纳 ? 猜想 ? 论证的方法 ?

【典型例题分析】
例 1、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ;
-1-

(Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 ), = = ?( = ? 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答 好本类题目的关键。 例 2、设数列 a1 , a2 ,?, an ,? 中的每一项都不为 0, 证明: ?an ? 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ? N ,都 有

1 1 1 n 。 ? ??? ? a1a 2 a2 a3 an an?1 a1an?1

解析:.本题考察等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考察推理论证、运算求解能力 证:先证必要性 设数列 ?an ? 的公差为 d ,若 d ? 0 ,则所述等式显然成立 若 d ? 0 ,则

-2-

1 1 1 ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1 ? ? ? a ?a ? 1 ? a2 ? a1 a3 ? a2 ? ??? 2 1 ? ? d ? a1a2 a2 a3 an an ?1 ? ?1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? d ?? a1 a2 ? ? a2 a3 ? ? an an ?1 ? ? 1? 1 1 ? 1 an ?1 ? a1 n ? ? ? ?? d ? a1 an ?1 ? d a1an ?1 a1an ?1

再证充分性 证法一: (数学归纳法) 设所述的等式对一切 n ? N 都成立,首先在等式
?

1 1 2 ? ? a1a2 a2 a3 a1a3



两端同乘以 a1a2 a3 ,即得 a1 ? a3 ? 2a2 ,所以 a1 , a2 , a3 成等差数列,记公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d 假设 ak ? a1 ? ? k ?1? d ,当 n ? k ? 1 时,观察如下等式:

1 1 1 k ?1 ? ??? ? a1a2 a2 a3 ak ?1ak a1ak 1 1 1 1 k ? ??? ? ? a1a2 a2 a3 ak ?1ak ak ak ?1 a1ak ?1
将②代入③得,





k ?1 1 k ? ? a1ak a1ak ?1 a1ak ?1
在该式的两端同乘以 a1ak ak ?1 ,得 ? k ?1? ak ?1 ? a1 ? kak 将 ak ? a1 ? ? k ?1? d 代入其中,整理后,得 ak ?1 ? a1 ? kd 由数学归纳法的原理,对一切 n ? N ,都有 an ? a1 ? ? n ?1? d
?

所以 ?an ? 是公差为 d 的等差数列 证法 2: (直接证法)依题意有

1 1 1 n ? ??? ? a1a2 a2 a3 an an?1 a1an?1 1 1 1 1 n ?1 ? ??? ? ? a1a2 a2 a3 an an?1 an?1an?2 a1an?2
-3-





②-①得

1 n ?1 n ? ? an ?1an ? 2 a1an ? 2 a1an ?1

在上式的两端 a1an?1an?2 ,得 同理可得 ③- ④得

a1 ? ? n ?1? an?1 ? nan?2

③ ④

a1 ? nan ? ? n ?1? an?1 2nan?1 ? n ? an?2 ? an ?

即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an 所以 ?an ? 是等差数列 例 3、(2010 上海春季高考)已知首项为 x1 的数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ?
?

axn ( a 为常数) xn ? 1

(1)若对任意的 x1 ? ?1, 有 xn? 2 ? xn 对任意的 n ? N 都成立,求 a 的值 (2)当 a ? 1 时,若 x1 ? 0 ,数列 ?xn ? 是递增数列还是递减数列?请说明理由 (3)当 a 确定后,数列 ?xn ? 由其首项 x1 确定,当 a ? 2 时,通过对数列 ?xn ? 的探究,写出“ ?xn ? 是有穷数列”的 一个真命题(不必证明)

【解】 (1)? xn ? 2

axn axn ?1 xn ? 1 a 2 xn ? ? ? ? xn axn xn ?1 ? 1 ax ? x ? 1 n n ?1 xn ? 1 a
当 n ? 1 时,由 x1 的任意性

2 ?a2 xn ? ? a ?1? xn ? xn

?a 2 ? 1 得? ? a ? ?1 ?a ? 1 ? 0
(2)数列 ?xn ? 是递增数列

? x1 ? 0, xn ?1 ?

xn xn ? 1

? xn ? 0, n ? N ? 又xn ?1 ? xn ? xn x2 ? xn ? ? n ? 0, n ? N ? xn ? 1 xn ? 1

故数列 ?xn ? 是递增数列 (3)真命题

-4-

(ⅰ)数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ?

2 xn 1 , 若x1 ? ? ,则 ?xn ? 是有穷数列 xn ? 1 7 2 xn 1 , 若x1 ? , m ? N ? ,则 ?xn ? 是有穷数列 m xn ? 1 1? 2
1 2 xn , 则 ?xn ? 是有穷数列的充要条件是存在 m ? N ? ,使得 x1 ? 1 ? 2m xn ? 1 1 2 xn ? ,m? N , 则 ?xn ? 是有穷数列且项数为 m 的充要条件是 x1 ? m 1? 2 xn ? 1

(ⅱ)数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ?

(ⅲ)数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ?

(ⅳ)数列 ?xn ? 满足 xn ?1 ? 例 4、在数列 ?an

? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * k ? N , a2k ?1, a2k , a2k ?1 成等差数列,其公差为 dk 。

(Ⅰ)若 dk =2k,证明 a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?2 成等比数列( k ? N * ) ; (Ⅱ)若对任意 k ? N * , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?2 成等比数列,其公比为 qk . (i)设 q1 ? 1.证明 ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? qk ? 1 ?

(ii)若 a2 ? 2 ,证明

3 k2 ? 2n ?n? ? 2(n ? 2) 2 k ?2 ak

【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识, 考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。 【解析】 (Ⅰ)证明:由题设,可得 a 所以 a

2k ? 1

?a ? 4k , k ? N * 。 2k ? 1

2k ? 1

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k ? 1

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 。 于是 2k ? 1 ? a 2k k a 2k ? 1 k a 2k ? 1 a 2k
所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列。 2k ? 1 2k ? 2
, a2 k , a ,a 成等差数列,及 a ,a 成等比数列,得 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

2k ? 1

a a 2a ? a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1
-5-

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N 从而

*

1 ? q k ?1 2 ?

1 1 ?1 q k ?1

?

1 1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1 ? ? k ? ?
4 ? 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

(Ⅱ)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而 q1 ?

1 q k ?1

? 1 ? k ? 1 ? k , 得qk ? k ? 1 , k ? N * k

2 a a a ( ) 2 k ? 2 2 k ? 1 k ? 1 2 k ? 2 k ? 1 所以 ? ? , 从而 ? ,k ? N * 2 a a k a k 2k ? 1 2k 2k

因此,

a a a k2 (k ? 1)2 22 2 k 2 k ? 2 4 a2 k ? . .... .a ? . ... 2 .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k ( k ? 1), k ? N * 以 下 分 2 2 2 2 k ? 1 2k k a a a (k ? 1) (k ? 2) 1 2k ? 2 2 k ? 4 2
两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

若 m=1,则 2n ? 若 m≥2,则

k2 ? 2. ? k ? 2 ak
n

k 2 m (2k )2 m?1 (2k ? 1)2 m 4k 2 ?? ?? ?? 2 + ? a2k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k
n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2 m ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 2k ( k ? 1) k ?1 ? 2k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2 n ? ? 2, n ? 4,6,8... ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n
*

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )

-6-

k 2 2m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ? ? ? 4 m ? ? ? ? ? a2m?1 2 2m 2m(m ? 1) k ? 2 ak k ? 2 ak
n

2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 从而 · · ? ? , ? 2 n ? ? 2, n ? 3,5,7 · ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n n 3 k2 ? 2n ? ? ? 2 2 k ? 2 ak

综合(1) (2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有

?

证法二: (i)证明:由题设,可得 dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

dk ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?1 ? qk 2a2k ? qk a2k ? a2k qk (qk ?1), 所以 dk ?1 ? qk dk
qk ?1 ? a2 k ?3 a2 k ?2 ? d k ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ?2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 ? k ? ?1, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ? 1可知 qk ? 1, k ? N * 。可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ?

(ii)证明:因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 。 所以 a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而 q1 ?

? 1 ? a3 1 ?2, ? 1 。于是,由(i)可知所以 ? ? 是公差为 1 的等差数列。由 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1 ?

等差数列的通项公式可得

k ?1 1 = 1 ? ? k ?1? ? k ,故 qk ? 。 k qk ? 1

从而

d k ?1 k ?1 。 ? qk ? dk k dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d1 d k ?1 d k ?2 d1 k ? 1 k ? 2 1

所以

dk ? 2k 。
于是,由(i)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k , k ? N *
2

以下同证法一。 例 5、设 n 阶方阵
-7-

1 3 5 ? ? 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 1 A n ? ? 4n ? 1 4n ? 3 4n ? 5 ? ??? ??? ??? ? ? 2n(n ? 1) ? 1 2n(n ? 1) ? 3 2n(n ? 1) ? 5 ?

??? ??? ??? ??? ???

2n ? 1 ? ? 4n ? 1 ? 6n ? 1 ? ,取 An 中的一个元素,记为 x1 ;划去 x1 所在的行 ? ??? ? 2n ? 12 ? ?

和列,将剩下的元素按原来的位置关系组成 n-1 阶方阵 An?1 ,任取 An?1 中的一个元素记为 x2 ,划去 x2 所在的行和 列,??将最后剩下的一个元素记为 xn ,记 Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? ? xn ,则 lim 答案: 1 。 解析:不妨取 x1 ? 1, x2 ? 2n ? 3, x3 ? 4n ? 5 ,?? 故 Sn ? 1 ? (2n ? 3) ? (4n ? 5) ? ?? (2n2 ?1) ? [1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)] ? [2n ? 4n ? ? ? (n ? 1)2n]

Sn ? n ?? n ? 1
3



? n2 ? n ? n2 ? n3 ? n2

1 1? Sn n3 ? n 2 n ? 1 ,故答案为 1. 故 lim 3 ? lim 3 ? lim n ?? n ? 1 n ?? n ? 1 n ?? 1 1? 3 n
【课堂小练】
一、选择题: 1. (2010 年高考山东卷理科 9)设{an}是等比数列,则“a1<a2<a3”是数列{an}是递增数列的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若已知 a1 <a 2 <a 3 ,则设数列 ?a n ? 的公比为 q ,因为 a1 <a 2 <a 3 ,所以有 a1 <a1q<a1q 2 ,解得 q>1, 且 a1 >0 , 所以数列 ?a n ? 是递增数列;反之,若数列 ?a n ? 是递增数列,则公比 q>1且 a1 >0 ,所以 a1 <a1q<a1q 2 ,即 a1 <a 2 <a 3 , 所以 a1 <a 2 <a 3 是数列 ?a n ? 是递增数列的充分必要条件。 【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,属保分题。 2. ( 2010 年高考全国卷 I 理科 4) 已知各项均为正数的等比数列{ an }, 则 a7 a8a9 =10, a1a2a3 =5,

a4 a5a6 =

(A) 5 2
【答案】A

(B) 7

(C) 6

(D) 4 2
1

3 3 【解析】由等比数列的性质知 a1a2a3 ? (a1a3 )? a2 ? a2 ? 5 , a7 a8a9 ? (a7 a9 )? a8 ? a8 ? 10,所以 a2 a8 ? 50 3 ,

所以 a4a5a6 ? (a4a6 )?a5 ? a ? ( a2a8 ) ? (50 ) ? 5 2
3 5 3

1 6 3

-8-

【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归 的数学思想. 3. (2010 年高考福建卷理科 3)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等 于 A.6 B.7 【答案】A C.8 D.9

【解析】设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 2 ? (?11) ? 8d ? ?6 ,解得 d ? 2 , 所以 S n ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时, Sn 取最小值。 2

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用,考查二次函数最值的求法及计算能力。 4. (2010 年高考安徽卷理科 10)设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z , 则下列等式中恒成立的是( A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

) B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

4.D 【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有 选项 D 满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若能排除 3 个选项,剩下唯 一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验 证得结论. 5. (2010 年高考天津卷理科 6)已知{ an }是首项为 1 的等比数列, Sn 是{ an }的前 n 项和,且 9S3 ? S6 。则数列 ? 的前 5 项和为 (A) 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为 q ,则当公比 q ? 1 时,由 a1 ? 1 得, 9S3 ? 9 ? 3 ? 27 ,而
[来源:Z+xx+k.Com]

?1? ? ?an ?

15 或5 8

(B)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8

1 ? q3 1 ? q 6 ,解得 q ? 2 , S6 ? 6 ,两者不相等,故不合题意;当公比 q ? 1 时,由 9S3 ? S6 及首项为 1 得: 9 ? ? 1? q 1? q
所以数列 ?

?1? 1 1 1 1 31 ? 的前 5 项和为 1 ? ? ? ? = ,选 C。 2 4 8 16 16 ?an ?

【命题意图】本小考查等比数列的前 n 项和公式等基础知识,考查同学们分类讨论的数学思想以及计算能力。 6. (2010 年高考广东卷理科 4)已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中

-9-

项为

5 ,则 S5 = 4
B.33 C.31 D.29

A.35 【答案】C

【解析】设{ an }的公比为 q ,则由等比数列的性