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2015年全国高中数学联赛模拟试题11


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 11 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

an ? 2 ? an , a1 ? 1, a404 ? 2016, 则 a6 的最大值为 2 2 2 2 2. 已知 a ? b ? c ? 1 ,则 ab ? bc ? ac 的值域为 . 1 1

1 3. 不等式 x ? 2 ? x ? 2 ? 的解集是 x x x
1. 已知数列 ?an ? 满足: an ?1 ?

.

4.单位正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F , G 分别是棱 AA1 , C1D1 , D1 A1 的中点,则点 B1 到 EFG 所在平面的 距离为 . 5.不等式 f () ' 0 ? A 对所有满足 f (x )? 1(0 ? x ? 1) 的二次函数 f ( x ) 恒成立,则实数 A 的最小值是

x2 y2 6.椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点, 点 I ,G a b 分别是△ PF1 F2 的内心、重心.已知对任意点 P , IG 恒垂直于 x 轴,则椭圆的离心率为
7.已知方程 8t ? 4t ? 4t ? 1 ? 0 在 ? 0,
3 2

? ?

13 ? ?

? ?

上有一根 x ,则 x =

8.甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的得分比另一人的多 2 分 时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛,得分多者赢得这 场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 p ( 0 ? p ? 1 ) ,乙获胜的概率为 q ? 1 ? p . 假定各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 ? 次结束,则 ? 的期望 E? 的变化范围为 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.

9.已知 a, b, c ?? ?1,2? ,求证: abc ? 4 ? ab ? bc ? ca

10.设 a1 ? 1, a n ?1 ? (2)若 b

a n ? 2a n ? 2 ? b , (n ? N ? ) .(1)若 b ? 1 ,求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项公式;
2

? ?1 ,问:是否存在实数 c 使得 a2 n ? c ? a2n?1, 对所有n ? N ?都成立 ?证明你的结论

11.已知两条直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 25 ? 0, l2 :117 x ? 44 y ? 175 ? 0, 点 A 到直线 l1 , l2 的射影分别为 B , C , (1)求使 S△ABC ?

1728 39 2 27 2 2 0 ? 与曲线 成立的点 A 的轨迹曲线 ? ; (2)若 T :( x ? ) ?( y ? ) ? r ? r ? 625 5 5 ? 恰有 7 个交点,求 r 的值

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 11 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 设 n 是给定的正整数, 且 n ? 3 .对于 n 个实数 x1 , x2 ,
2 2 若 x1 ? x2 ? 2 ? xn ? 1 ,试求 m 的最大值

记 xi ? x j ? 1 ? i ? j ? n ? 的最小值为 m . , xn ,

二、 (本小题满分 40 分) 如图,设 A, B, D, E, F , C 依次是一个圆上的六个点,满足 AB ? AC ,直线 AD 与 BE 交于点 P , 直线 AF 与 CE 交于点 R ,直线 BF 与 CD 交于点 Q ,直线 AD 与 BF 交于点 S ,直线 AF 与 CD 交于点 T , 点 K 在线段 ST 上,使得 ?SKQ ? ?ACE . 求证:

SK PQ . ? KT QR

三、 (本题满分 50 分)

n? 2 ? 3 n ? 2 mod q n , q n? 2 ? 3n? 2 mod p n 的三元数组 ? p, q, n? ,其中 p, q 为 试确定所有同时满足 p

?

?

?

?

奇素数, n 为大于 1 的整数

四、 (本题满分 50 分)

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 11 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

an ? 2 ? an , a1 ? 1, a404 ? 2016, 则 a6 的最大值为 . 2 解:?an ? 构成的点列 ? n, an ? 排列在一个凸函数中,因此当点列分布在由点 ?1,1? , ? 404, 2016? 确定的直线上时
1. 已知数列 ?an ? 满足: an ?1 ? 其值最大,所以 a6 的最大值为 26 . 2. 已知 a ? b ? c ? 1 ,则 ab ? bc ? ac 的值域为
2 2 2
2 2 2

解:显然 ab ? bc ? ca ? a ? b ? c ? 1 当 a ? b ? c 时等号成立,另一方面 ab ? bc ? ca ? a ?b ? c ? ? bc

.

a2 ? ?b ? c ? a 2 ? b2 ? c 2 1 ? 1 ? ?? ? bc ? ? ? ? ,等号当 a ? b ? c ? 0 时成立,所以值域为 ? ? ,1? 2 2 2 ? 2 ?
2

1 1 1 ? x ? 2 ? 的解集是 2 x x x 1 1 解:由 x ? 2 ? 0, x ? 2 ? 0 得 x ? 1 ,原不等式等价于 x3 ?1 ? x3 ?1 ? 1 ,即 x3 ?1 ? x3 ?1 ? 2 x x 3 3 ? ? 10 ? 1 10 ? 3 相减得 x ? 1 ? ? x ? ,此时,原不等式成立,即不等式解集为 ? x x ? ? 2 ? 2 2 ? ? ?
3. 不等式 x ? 4.单位正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E, F , G 分别是棱 AA1 , C1D1 , D1 A1 的中点,则点 B1 到 EFG 所在平面的 距离为 答案: .

3 .解一、补形法,如图,过 E, F , G 的平面截正方体,所得截面是一个正六边形,易知该平面垂直 2 D1 F C1 G 3 平分正方体的对角线 B1D ,而 B1D ? 3 ,所以 B1 到面 EFG 的距离 h ? . A1 B1 2 1 1 1 3 D E C 解二:等体积法,易知 S B1FG ? 1 ? S B1 A1G ? S B1C1 F ? S D1 FG ? 1 ? ? ? ? , 4 4 8 8 A B 1 1 1 而点 E 到平面 B1FG 的距离 h 0 ? ,所以 VEB1FG ? h 0 S B1FG ? . 2 3 16 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 6 , GF ? GE ? 又 EF ? EA1 ? A1 F ? EA1 ? ( A1 D1 ? D1F ) ? ? 1 ? ? ,即 EF ? , 4 4 2 2 2 1 1 GE 2 ? GF 2 ? EF 2 1 3, cos ?EGF ? ? ? , ?EGF ? 1200 ,则 S ?EGF ? GE ? GF sin1200 ? 2 8 2GE ? GF 2 1 1 3 3 ? VEB1FG ? h ? S?EGF ? 若 B1 到面 EFG 的距离为 h ,则 . h ,所以 h ? 16 3 24 2 5.不等式 f () ' 0 ? A 对所有满足 f (x )? 1(0 ? x ? 1) 的二次函数 f ( x ) 恒成立,则实数 A 的最小值是

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点, 点 I ,G a 2 b2 分别是△ PF1 F2 的内心、重心.已知对任意点 P , IG 恒垂直于 x 轴,则椭圆的离心率为
6.椭圆

7.已知方程 8t ? 4t ? 4t ? 1 ? 0 在 ? 0,
3 2

? ?

13 ? ?

? ?

上有一根 x ,则 x =

8.甲乙两人进行某种游戏比赛,规定每一次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的得分比另一人的多 2 分 时即赢得这场游戏,比赛随之结束;同时规定比赛次数最多不超过 20 次,即经 20 次比赛,得分多者赢得这 场游戏,得分相等为和局.已知每次比赛甲获胜的概率为 p ( 0 ? p ? 1 ) ,乙获胜的概率为 q ? 1 ? p .假定 各次比赛的结果是相互独立的,比赛经 ? 次结束,则 ? 的期望 E? 的变化范围为 以 p(? ? k ) 记比赛经 k 次结束的概率.若 k 为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数, 因而有 p(? ? k ) ? 0 . 考虑头两次比赛的结果: (1)甲连胜或乙连胜两次,称为有胜负的两次,此结果出现的概率为 p ? q ; (2)甲乙各胜一次,称为无胜负的两次,此结果有两种情况,故出现的概率为 2 pq .
2 2

比赛经 k 次结束, k 必为偶数,则 1,2 两次,3,4 两次,……, k ? 3,?k ? 2 两次均未分胜负. 若 k ? 20 ,则第 k ? 1,?k 两为有胜负的两次,从而有 p(? ? k ) ? (2 pq) 若 k ? 20 ,比赛必须结束, 所以
k ?1 2

( p2 ? q2 ) .
9 i ?1

p(? ? 20) ? (2 pq)9 . E? ? ( p 2 ? q 2 )? 2i(2 pq)i ?1 ? 20(2 pq)9.
9

i ?1 9 2 2 2 2 由 p ? q ? 1,知 p ? q ? 1 ? 2 pq .令 u ? 2 pq ,则 p ? q ? 1 ? u ,所以 E? ? (1 ? u )? 2iu ? 20u . i ?1

令s ?

? 2iu
i ?1

9

i ?1

, 则 us ? ? 2iu i ? ? 2(i ? 1)u i ?1 ? ? 2(i ? 1)u i ?1 ,
i ?1 i ?2 i ?1

9

10

10

(1 ? u)s ? ? 2u i ?1 ? 18u 9 ?
i ?1
9

9

2(1 ? u 9 ) ? 18u 9 , 1? u

2 2(1 ? u10 ) 9 9 9 E? ? (1 ? u ) s ? 20u ? [1 ? u ? 9u (1 ? u ) ? 10u (1 ? u )] ? . 1? u 1? u 1 1023 因 0 ? u ? ,所以有 2 ? E? ? . 2 256
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.已知 a, b, c ?? ?1,2? ,求证: abc ? 4 ? ab ? bc ? ca

10.设 a1 ? 1, a n ?1 ? (2)若 b

a n ? 2a n ? 2 ? b , (n ? N ? ) .(1)若 b ? 1 ,求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项公式;
2

? ?1 ,问:是否存在实数 c 使得 a2 n ? c ? a2n?1, 对所有n ? N ?都成立 ?证明你的结论
an ?1 ? an 2 -2an ? 2 ? 1 ,?(an?1 ?1)2 ? (an ?1)2 ?1

解: (1)解法一:当 b ? 1 时,

?{(an -1)2} 是公差为 1,首项为 (a1 -1)2 ? 0 的等差数列,故 (an -1)2 ? n-1 ,即 an ? n-1 ?1(n ? N * )
解法二: a2 ? 2, a3 ? 2 ? 1. ?a1 ? 1?1 ?1, a2 ? 2 ?1 ?1, a3 ? 3 ?1 ?1 。 因此猜想 an ? n ?1 ? 1 .下面用数学归纳法证明上式:当 n ? 1 时结论显然成立. 假设 n ? k 时结论成立,即 ak ? k ?1 ? 1.则 ak ?1 ?

(ak ? 1) 2 ? 1 ? 1 ? (k ? 1) ? 1 ? 1 ? ( k ? 1) ? 1 ? 1.
?

即 n ? k ? 1 时结论成立.所以 an ? n ?1 ? 1 , (n ? N ) (2)设 f ( x) ?

( x ? 1) 2 ? 1 ? 1 ,则 an?1 ? f (an ) .令 c ? f (c) ,即 c ? (c ? 1) 2 ? 1 ? 1 ,解得 c ?

1 . 4

下用数学归纳法证明加强命题: a2n ? c ? a2n?1 ? 1 .当 n ? 1 时, a2 ? f (1) ? 0, a3 ? f (0) ? 2 ?1 , 所以 a2 ?

1 ? a3 ? 1 ,结论成立.假设假设 n ? k 时结论成立,即 a2k ? c ? a2k ?1 ? 1 . 4

易知 f ( x ) 在 ? ??,1? 上为减函数,从而 c ? f (c) ? f (a2n?1 ) ? f (1) ? a2 ,即 1 ? c ? a2k ?2 ? a2 再由 f ( x ) 在 ? ??,1? 上为减函数得 c ? f (c) ? f (a2k ?2 ) ? f (a2 ) ? a3 ? 1. 故 c ? a2k ?3 ? 1 ,因此 a2( k ?1) ? c ? a2( k ?1)?1 ? 1 ,即 n ? k ? 1 时结论成立. 综上,符合条件的 c 存在,其中的一个值为 c ?

1 . 4

11.已知两条直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 25 ? 0, l2 :117 x ? 44 y ? 175 ? 0, 点 A 到直线 l1 , l2 的射影分别为 B , C , (1)

1728 39 2 27 ) ? ( y ? )2 ? r 2 ? r ? 0 ? 与曲线 ? 恰 成立的点 A 的轨迹曲线 ? ; (2)若 T : ( x ? 625 5 5 有 7 个交点,求 r 的值
求使 S△ABC ?

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 11 加试参考解答 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分) 设 n 是给定的正整数, 且 n ? 3 .对于 n 个实数 x1 , x2 ,
2 2 若 x1 ? x2 ? 2 ? xn ? 1 ,试求 m 的最大值

记 xi ? x j ? 1 ? i ? j ? n ? 的最小值为 m . , xn ,

二、 (本小题满分 40 分)

三、 (本题满分 50 分)

n? 2 ? 3 n ? 2 mod q n , q n? 2 ? 3n? 2 mod p n 的三元数组 ? p, q, n? ,其中 p, q 为 试确定所有同时满足 p

?

?

?

?

奇素数, n 为大于 1 的整数

四、 (本题满分 50 分)


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