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2015-2016学年高中数学 第一章 常用逻辑用语测评A 新人教A版选修2-1


2015-2016 学年高中数学 第一章 常用逻辑用语测评 A 新人教 A 版选修 2-1
(基础过 关卷) (时间:90 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.命题“若 α =0,则 sin α <cos α ”的否命题是( ) A.若 α =0,则 sin α ≥cos α B.若 sin α <cos α ,则 α ≠0 C.若 α ≠0,则 sin α ≥cos α D.若 sin α ≥cos α ,则 α ≠0 答案:C x 2.已知命题 p:? x≥0,使得 2 =3,则( ) x x A. p:? x<0,都有 2 ≠3 B. p:? x<0,使得 2 ≠3 x x C. p:? x≥0,使得 2 ≠3 D. p:? x≥0,都有 2 ≠3 答案:D 3.已知命题 p:“若 x 为偶数,y 为奇数,则 xy 为偶数”,在命题 p 的逆命题、否命题、逆否命题中, 假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:显然原命题为真命题,但逆命题为假命题,故逆否命题为真命题,否命题为假命题,因此假命题 个数是 2. 答案:C 4.设 p:log2x<0,q:>1,则 p 是 q 的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由 log2x<0,得 0<x<1,即 p:0<x<1;由>1,得 x-1<0,即 x<1,即 q:x<1,因此 p? q,但 q p. 答案:B x 5.命题 p:函数 f(x)=a -2(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(0,-2);命题 q:函数 f(x)=lg|x|(x≠0)有两个 零点.则下列说法正确的是( ) A.“p∨q”是真命题 B.“p∧q”是真命题 C. p 为假命题 D. q 为真命题 x x 解析:因为函数 f(x)=a 恒过定点(0,1),所以函数 f(x)=a -2 恒过定点(0,-1),因此命题 p 为假命题. 由 f(x)=lg|x|=0,得 x=±1,所以函数 f(x)=lg|x|(x≠0)有两个零点,因此命题 q 为真命题,所 以“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题, p 为真命题, q 为假命题,故选 A. 答案:A 6.下列命题是真命题的是( ) A.若 x=y,则 B.若 f(x)为偶函数,则=1 C.若 a=-2b,则|a|=2|b| 2 2 D.若 a>b+1,则 a >b 解析:对 A,当 x=y=0 时,无意义 ,故 A 为假命题,对 B,当 f(x)=0,x∈R 时,无意义,故 B 为假命题,C 为 2 2 真命题.对 D,当 a=1,b=-3 时,a <b ,故 D 为假命题. 答案:C 7.在△ABC 中,能使 sin A>成立的充分不必要条件是( ) A.A∈ B.A∈ C.A∈ D.A∈ 解析:∵在△ABC 中,sin A>时,<A<, ∴能使 sin A>的充分不必要条件是选项 C. 答案:C 2 8.已知命题“? x∈R,x +2ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1) 2 解析:依题意,不等式 x +2ax+1<0 有实数解.

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即抛物线 y=x +2ax+1 与 x 轴有两个不同的交点,因此 Δ =4a -4>0,解得 a>1 或 a<-1. 答案:C 9.下列命题中正确的是( ) A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为真命题 B.“sin α =”是“α =”的充分不必要条件 C.l 为直线,α ,β 为两个不同的平面,若 l⊥β ,α ⊥β ,则 l∥α x D.命题“? x∈R,2 >0”的否定是“? x0∈R,≤0” 解析:对于 A,当 p 为真命题,q 为假命题时,p∧q 应为假命题,故 A 错;对于 B,“sin α =”应该是 “α =”的必要不充分条件,故 B 错;对于 C,当 l⊥β ,α ⊥β 时,应有 l∥α 或 l? α ,故 C 错;D 项 显然正确. 答案:D 10.“a=”是“对任意的正数 x,2x+≥1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a=? 2x+=2x+≥2=1. 2 2 另一方面,对任意正数 x,2x+≥1? 2x +a≥x? 2x -x+a≥0 恒成立? 2-a 恒成立? -a≤0,即 a≥, 故选 A. 答案:A 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11.命题“在△ABC 中,若∠C=90°,则∠ A,∠B 都是锐角”的逆否命题是 . 答案:在△ABC 中,若∠A,∠B 不都是锐角,则∠C≠90° 12.已知命题 p:“? x0∈R,|x0|-lg x0=0”,则 p: , p 是 命题(填“真”或“假”). 解析:∵特称命题的否定是全称命题,p 为真命题,∴p 是假命题. 答案:? x∈R,|x|-lg x≠0 假 13.若“x∈{x|2≤x≤5}或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是 . 解析:若“x∈{x|2≤x ≤5}或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则解得 1≤x<2. 答案:[1,2) 2 14.已知 p:x -x≥6,q:x≥a,若 p 是 q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 . 2 解析:∵x -x≥6,∴x≤-2 或 x≥3. ∵p 是 q 的必要不充分条件, ∴{x|x≥a}? {x|x≤-2 或 x≥3}.∴a≥3. 答案:[3,+∞) 15.给出如下四个命题: ①若“p∧q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为“若 a≤b,则 2α ≤2b-1”; ③“? x∈R,x2+1≥1”的否定是“? x∈R,x2+1≤1”; ④在△ABC 中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件. 其中不正确的命题的个数是 . 2 解析:若“p∧q”为假命题,则 p,q 至少有一个为假命题,故①不正确;②正确;“? x∈R,x +1≥1” 2 的否定是“? x∈R,x +1<1”,故③不正确;在△ABC 中,若 A>B,则 a>b,根据正弦定理可得 sin A>sin B,故④正确.故不正确的命题有 2 个. 答案:2 三、解答题(本大题共 4 小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.( 6 分)把下列命题作为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假. (1)若 α =β ,则 tan α =tan β ; 2 (2)若 x +7x-8=0,则 x=-8 或 x=1. 解:(1)逆命题:若 tan α =tan β ,则 α =β ,假命题; 否命题:若 α ≠β ,则 tan α ≠tan β ,假命题; 逆否命题:若 tan α ≠tan β ,则 α ≠β ,假命题. 2 (2)逆命题:若 x=-8 或 x=1,则 x +7x-8=0,真命题;

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否命题:若 x +7x-8≠0,则 x≠-8 且 x≠1,真命题; 2 逆否命题:若 x≠-8 且 x≠1,则 x +7x-8≠0,真命题. 2 17.(6 分)已知 p:≥2,q:x -ax≤x-a,若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 解:p:-2≥0,∴≤0,

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∴ ∴1≤x<3. q:x2-(a+1)x+a≤0, ∴(x-a)(x-1)≤0. ∵ p? q,∴q? p. ∴a≥1,即命题 q:1≤x≤a, 命题 p:1≤x<3. ∴1≤a<3. 故实数 a 的取值范围是 1≤a<3. 2 2 18.(6 分)已知方程 x +2kx+k =x,求使方 程有两个大于 1 的实数根的充要条件,并写出它的一个必要 不充分条件. 2 2 2 2 解:x +2kx+k =x?x +(2k-1)x+k =0. 2 2 令 f(x)=x +(2k-1)x+k .
由题意知 即解得 k<-2. 因而满足题意所求的充要条件为 k<-2,它的一个必要不充分条件可以为 k<0(答案不唯一). 2 2 19.(7 分)已知命题 p:方程 a x +ax-2=0 在[-1,1]上有解,命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 2 x +2ax+2a≤0,若命题 p 或 q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 解:对于命题 p:显然 a≠0, 2 2 由 a x +ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0, 故 x=-或 x=. ∵x∈[-1,1], ∴≤1 或≤1,得|a|≥1. 2 对于命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x +2ax+2a≤0, 2 即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ =4a2-8a=0,解得 a=0 或 a=2. ∵p 或 q 为假,∴p 和 q 都为假. ∴即-1<a<1 且 a≠0. ∴实数 a 的取值范围是(-1,0)∪(0,1).

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