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荷山中学2015届高三理科数学第四次月考


惠安荷山中学2015届高三毕业班第四次月考试题 数学(理科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 1.命题

7.设 ABC 的角 A, B, C 的对应边分别是 a, b, c ,若 b cos C ? c cos B ? a sin A ,则 ABC 的形状 是 A.锐角三角形

B.直角三角



C.钝角三角形

D.不确定 ) .

8.已知定义在 R 上的连续函数 f ( x ) 是一个奇函数,则 A. e ?

p : ?x ? R , x ? x ? 0 的否定是(
3 3 ?2

?2

)
3 ?2

?

1

?1

[e x ? f ( x)]dx 等于(

A. ? x ? R , x ? x C. ? x ? R , x ? x
3

?0 ?0

B. ?x ? R , x ? x
3

?0 ?0

1 e

B. e ?

9.若函数 f ( x) ? 2 sin(

?
6

x?

?
3

1 e

C.0

D.无法计算

)( ?2 ? x ? 10) 的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与函数的


?2

D. ?x ? R , x ? x

?2

1 2.已知锐角 ? 满足 cos(? ? ? ) ? ? ,则 sin ? 的值等于( ) . 2 1 3 A. 1 B. 0 C. D. 2 2 3.如图,平面正六边形 ABCDEF 中,不能 和 AB 组成平面向量基底的是 ..
A. AB ? BC B. AB ? AF C. DE (
C.

图象交于 B、C 两点,则 (OB ? OC) ? OA ? ( A. ?32 B. ?16 C. 16

E

D

F

C

D. 2CD )

D. 32 log ( x ? 1), x ?[0,1) ? ? 1 2 10.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? ,则关于 x 的函数 ? 1 ? | x ? 3 |, x ? [1, ?? ) ? F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( ) a a ?a ?a A. 2 ? 1 B. 1 ? 2 C. 2 ? 1 D. 1 ? 2

A

B

4.下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 A.

第3题 D.

y ? 2|x|

B.

y ? lg( x 2 ? 1 ? x)

y ? 2 x ? 2? x
2

y ? 1g

1 x ?1

第 II 卷

(非选择题共 100 分)

5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 , 则正视图中的 x 的值是( A.2 )

二.填空题(本题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将正确答案填写在答题卡的相应位置上. ) 11.已知 a ? (2,1), b ? (?1, ?3) ,则 | a ? b | 等于 __________. 12.函数 y ? loga ? x ? 3? ? 1? a ? 0, a ? 1? 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上, 其中 m ? 0 , n ? 0 ,则

9 B. 2
D.3 ) .

C.

3 2

1 2 ? 的最小值为 __________. m n
2

6.下列说法错误 的个数是( .. ①若数列 ?an ? 的通项为 an ?

99 1 ,则它的前 100 项和 S100 ? 100 n(n ? 1)

13. 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 的切线方程是_______ _________. 14.某观测站 D 的正北 6 海里和正西 2 海里处分别有海岛 A 、 B ,现在 A 、 B 连线的中点 E 处有 一艘渔船因故障抛锚.若在 D 的正东 3 海里 C 处的轮船接到观测站 D 的通知后,立即启航沿 直线距离前去营救,则该艘轮船行驶的路程为
3

② 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 1, 且当 n ? 2 时,恒有 Sn ? 2an , 则 ?an ? 是等比数列. ③如果定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 有零点,则它的所有零点之和等于 0. ④把函数 y ? sin(2 x ? A. 0

海里.

?
6

) 的图象向右平移

? ? 个长度单位,即可得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 3 4
C. 2 D. 3

15. f ( x) ? ax ? 3x ? 1对于 x ?? ?1,1? 总有 f ? x ? ? 0 成立,则 a ?

B. 1

荷山中学2015届高三年第四次月考试卷数学(理) 第 1 页 共 4 页

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写在答题卡的相应位置上,要写出文字说明、证 明过程或演算过程. ) 16. (本小题满分 13 分) 已知向量 m ? ( 3 sin (Ⅰ)若 x ? ( ?

20. (本小题满分 14 分) 已知 f0 ? x ? ? x ? e , f1 ? x ? ? f0? ? x ? , f 2 ? x ? ? f1?? x ? ,…, fn ? x ? ? f n??1 ? x ? ( n ? N ).
x
?

? ?

x x x 1 ,1), n ? (cos , cos 2 ) ,函数 f ( x) ? m n ? 2 2 2 2

(Ⅰ)请写出 f n ? x ? 的表达式(不需证明) ; (Ⅱ)设 f n ? x ? 的极小值点为 P n ? xn , yn ? ,求 yn ; (Ⅲ)设 gn ? x ? ? ? x ? 2 ? n ? 1? x ? 8n ? 8 , gn ? x ? 的最大值为 a , f n ? x ? 的最小值为 b ,试
2

, ) ,求 f ( x) 的取值范围 3 6

(Ⅱ) 在 ABC 中,角 A, B, C 的对应边分别是 a, b, c ,若 f (B) ? 1, a ? 5, b ? 5 3 , 求 ABC 的面积.

求 a ? b 的最小值. 17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AB / /CD, CD ? 2 AB, (Ⅰ)在线段 CE 上找一点 M ,使得 BM / /平面ADE , 并给予证明. (Ⅱ)若 平面ADE ? 平面BCE ? l ,试证明: l / / BM 18. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 3an ? 3n (n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 bn ? (Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等差数列; (Ⅱ)设 S n ?

A

B
21. (本小题满分 14 分) 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则

D

C

按所做的前两题记分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

E

已知向量 ?

an ; 3n

?1 ? 1? ? 在矩阵 M ? ? ?0 ? ? 1? ?
2

m? ? 0? ? 变换下得到的向量是 ? ? ? ? 1? ?. 1? ? ?
?1

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求曲线 y ? x ? y ? 0 在矩阵 M 对应的线性变换作用下得到的曲线方程.

a1 a2 a3 ? ? ? 3 4 5

?

an S 1 1 ,求满足不等式 ? n ? 的所有正整数 n 的值. n?2 128 S2 n 4

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 曲线 C 的极坐标方程为 ? cos(? ? 单位长度不变建立直角坐标系 xOy . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程;

19. (本小题满分 13 分)

?
3

)?

1 ,以极点 O 为原点,极轴 Ox 为 x 的非负半轴,保持 2

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 . 在小艇出发时 ,轮船位
于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀 速行驶.假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行 驶,经过 t 小时与轮船相遇. (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计 航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) ,使得小艇能以 最短时间与轮船相遇,并说明 理由. ..
0

? x ? ?2 ? t cos 600 (Ⅱ) 直线 l 的参数方程为 ? 若曲线 C 与直线 l 的交点为 P , 求点 P (t为参数) . 0 ? y ? t sin 60
与点 A(?2, 0) 的距离 PA .

荷山中学2015届高三年第四次月考试卷数学(理) 第 2 页 共 4 页

a a a 故 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 4 5


a ? n ? 1 ? 3 ? 32 ? n?2

?3

n ?1

1 ? 3n 3n ? 1 。…………11 分 ? ? 1? 3 2

1 1 1 Sn 3n ? 1 1 S 1 1 ? n ? 。 ,由 ? 2n ? n ? n ? ,得 128 3 ? 1 4 128 S2 n 4 S2 n 3 ? 1 3 ? 1
n

即 3 ? 3 ? 127 ,得 1 ? n ? 4 。 故满足不等式

S 1 1 ? n ? 的所有正整数 n 的值为 2,3,4。………………13 分 128 S2 n 4
x

20.20、解:(Ⅰ) fn ? x ? ? ? x ? n? ? e (Ⅱ)∵ f n? ? x ? ? ? x ? n ? 1? ? e ,
x

( n ? N ).

?

……4 分

∴当 x ? ? ? n ? 1? 时, f n? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ? n ? 1? 时, f n? ? x ? ? 0 . ∴当 x ? ? ? n ? 1? 时, f n ? x ? 取得极小值 f n ? ? n ? 1? ? ?e 即 yn ? ?e
?? n?1?

?

?

?? n ?1?



( n ? N ).

?

……8 分

(Ⅲ) 解法一:∵ g n ? x ? ? ? x ? ? n ? 1?
2

?

? ? ? n ? 3?
2

2



所以 a ? g n (?(n ? 1)) ? ? n ? 3? .……9 分 ∴ a ? b ? ? n ? 3? ? e
2 ?? n ?1?

又 b ? f n ? ? n ? 1? ? ?e

?

?

?? n ?1?





an an ?1 18. (1)证明:由 bn ? n ,得 bn ?1 ? n , 3 3 ?1 an ?1 an 1 ? ? ∴ bn ?1 ? bn ? n 3 ?1 3n 3 1 所以数列 ?bn ? 是等差数列,首项 b1 ? 1 ,公差为 ………………6 分 3 1 n?2 (2) bn ? 1 ? (n ? 1) ? ,则 an ? 3n bn ? (n ? 2) ? 3n?1 。………………8 分 3 3 a n ?1 从而有 n ? 3 , n?2

令 h ? x ? ? ? x ? 3? ? e
2

?? x ?1?

? x ? 0 ? ,则 h? ? x ? ? 2 ? x ? 3? ? e?? x?1? .
?1

……10 分

∵ h? ? x ? 在 ?0, ??? 单调递增,∴ h? ? x ? ? h? ? 0? ? ?6 ? e , ∵ h? ? 3? ? ?e
?4

? 0 ,h? ? 4? ? 2 ? e?5 ? 0 , ∴存在 x0 ? ?3, 4? 使得 h? ? x0 ? ? 0 .

……12 分

∵ h? ? x ? 在 ?0, ??? 单调递增,∴当 0 ? x ? x0 时, h? ? x0 ? ? 0 ;当 x ? x0 时, h? ? x0 ? ? 0 , 即 h ? x ? 在 ? x0 , ??? 单调递增,在 ?0, x0 ? 单调递减, ∴ h ? x?

?

?

min

? h ? x0 ? ,又∵ h ?3? ? e?4 , h ? 4? ? 1 ? e?5 , h ? 4? ? h ?3? ,

荷山中学2015届高三年第四次月考试卷数学(理) 第 3 页 共 4 页

∴当 n ? 3 时, a ? b 取得最小值 e . ……14 分 解法二: ∵ g n ? x ? ? ? x ? ? n ? 1?

?4

?

? ? ? n ? 3?
2

2

,所以 a ? g n (?(n ? 1)) ? ? n ? 3? .……9 分
2

2 ?? n ?1? ? n ?1 又 b ? f n ? ? n ? 1? ? ?e ? ? ,∴ a ? b ? ? n ? 3? ? e ,

?

?

令 cn ? ? n ? 3? ? e
2

?? n ?1?

, 则 cn ?1 ? cn ? 2n ? 5 ?

1 e
n?2

?

1 en ?1

,……10 分

当 n ? 3 时 , cn ?1 ? cn ? 2n ? 5 ?

1 e
n?2

?

1 e
n ?1

, 又因 为 n ? 3 , 所以 2n ? 5 ? 1 ,

1 e
n?2

?0,

0?

e

? 0 ,所以 cn?1 ? cn .……12 分 e e n ?1 1 1 1 又 c1 ? 4 ? 2 , c2 ? 1 ? 3 , c3 ? 4 , c1 ? c2 ? c3 , e e e
n ?1

1

? 1 ,所以 2n ? 5 ?

1

n?2

?

1

∴当 n ? 3 时, a ? b 取得最小值 e . ……14 分

?4

荷山中学2015届高三年第四次月考试卷数学(理) 第 4 页 共 4 页

荷山中学2015届高三年第四次月考试卷数学(理) 第 5 页 共 4 页


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